\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, euscript}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\DeclareMathOperator{\girth}{girth}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
%\DeclareMathOperator{\Prob}{Prob}


\begin{document}


\begin{center}
\textbf{Занятие 4.}

Вероятность в теории чисел. Метод второго момента.
\end{center}

Следующий результат, принадлежащий Эрдешу, использует
довольно неожиданную вероятностную конструкцию.

Назовем множество $A\subset \mathbb{Z}$ \emph{свободным от сумм},
если не найдется трех (не обязательно различных) элементов $a$, $b$, $c\in A$ таких,
что $a+b=c$.

\textbf{Теорема}. Каждое множество $B$ из $n$ ненулевых целых
чисел содержит свободное от сумм подмножество $A$, содержащее
$|A|>n/3$ чисел.

\textbf{Доказательство}. Выберем простое число $p=3k+2$ так, что все
элементы множества $B$ меньше, чем $k$. Докажем, что можно найти
$A\subset B$ требуемой мощности свободным от сумм по модулю $p$
(то есть $a+b-c$ не кратно $p$ для всех $a$, $b$, $c$ в $A$). Заметим,
что множество $C:=\{k+1,k+2,\dots,2k+1\}$ свободно от сумм по модулю
$p$. Выберем случайно остаток $a\in\{1,2,\dots,p-1\}$ по модулю
$p$ согласно равномерному распределению и рассмотрим
случайную величину
$$
X=|a\cdot C\cap B|=\sum_{c\in C} |\{ac\}\cap B|
$$ (здесь мы отождествляем
$B$ с множеством остатков по модулю $p$). Заметим, что математическое
ожидание случайной величины $|\{ac\}\cap B|$ равно $|B|/(p-1)$, поскольку
числа $ac$ пробегают при менябщемся $a$ по разу все ненулевые остатки по модулю
$p$. Таким образом, $E(X)=|C|\cdot |B|/(p-1)>|B|/3$. Значит, найдется
такое $a$, что $|a\cdot C\cap B|>|B|/3$. В качестве $A$ можно взять
$a\cdot C\cap B$.

\textbf{Упражнение.} Если $a_i$ $(i=1,2,\dots,s)$ --- целые числа,
то найдется такая константа $c>0$, что в любом
конечном множестве $B\subset \mathbb{Z}$ найдется подмножество
$A\subset B$ такое, что $|A|\ge c|B|$ и $\sum a_ix_i\ne 0$
для любых $x_i\in A$.

Перейдем от комбинаторной теории чисел к ``настоящей''.

Рассмотрим следующий вопрос: как распределено количество
$\nu(k)$ различных
простых делителей
наугад выбранного от 1 до $n$ натурального числа $k$?

Оказывается, что это количество почти для всех чисел $k$ величина
$\nu(k)$ мало
отличается от $\ln \ln n$.

Точное утверждение дается следующей
теоремой:

\textbf{Теорема}. Пусть $w(n)\rightarrow \infty$ произвольно
медленно. Тогда количество тех $k\in\{1,2,\dots,n\}$,
для которых $|\nu(k)-\ln\ln n|>w(n) \sqrt{\ln \ln n}$,
есть $o(n)$.

Нам понадобится следующее
теоретико-числовое утверждение:

\textbf{Лемма}. $\sum_{p\le n} 1/p=\ln \ln n+O(1)$,
где суммирование производится по всем простым числам
$p\le n$.

\textbf{Доказательство леммы}. Сначала
вычислим асимптотику суммы
$\sum_{p\le n} \ln p/p$.
Для этого разложим на простые множители число $n!$:
$$
n!=\prod_{p\le n} p^{c_p},
$$

где произведение берется по простым $p$ и $c_p=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+\dots$.
Имеем 
$$
n/p-1\le [n/p]\le c_p\le n/p+n/p^2+\dots=n/(p-1).
$$
Подставляя эти значения в выражение для $n!$
и логарифмируя, получаем
$$
n\sum \frac{\ln p}{p}-\sum \ln p\le n!\le n\sum \frac{\ln p}{(p-1)}=n\sum \frac{\ln p}p+
n\sum \frac{\ln p}{p(p-1)}
$$

(суммирование везде по простым $p\le n$).
Заметим, что $(n/e)^n<n!<n^n$ (левое неравенство устанавливается,
например, по индукции). Кроме того, $\prod_{p\le n} p\le 4^n$.
Это следует из того, что указанное произведение делит
$C_{n}^{n/2}\cdot C_{n/2}^{n/4}\cdot C_{n/4}^{n/8}\dots$
(подробности, связанные с тем, что $n$ может не быть степенью двойки,
опускаются). Наконец, заметим, что $\sum \ln p/(p^2-p)=O(1)$. Резуюмируя получаем,
что
$$
S_n:=\sum_{p\le n} \frac{\ln p}{p}=\frac1n \ln n!+O(1)=\ln n+O(1).
$$

Выразим интересующую нас сумму $\Sigma_n=\sum_{p\le n} 1/p$ через $S_1$, $S_2$, $\dots$, $S_n$.
Имеем 
$$
\Sigma_n=\sum_{p\le n} 1/p=\sum_{k=1}^n \frac{S_k-S_{k-1}}{\ln k}=\sum_{k=1}^n
S_k \left(\frac1{\ln k}-\frac1{\ln(k+1)}\right)+S_n\ln(n+1).
$$

Заметим, что 
$$
S_k \left(\frac1{\ln k}-\frac1{\ln(k+1)}\right)=
(\ln (k+1)+O(1))\left(\frac1{\ln k}-\frac1{\ln(k+1)}\right).
$$

Слагаемые типа $O(1)(\frac1{\ln k}-\frac1{\ln(k+1)})$ дадут в сумме $O(1)$. 
Также $S_n\ln (n+1)=O(1)$. Далее,
$$
\ln(k+1)\left(\frac1{\ln k}-\frac1{\ln(k+1)}\right)=
\frac{\ln(k+1)}{\ln k}-1=
\ln \frac{\ln (k+1)}{\ln k}+O\left(\bigl(\frac{\ln(k+1)}{\ln k}-1\bigr)^2\right),
$$
мы воспользовались формулой Тейлора $x-1=\ln x+O((x-1)^2)$, $x\rightarrow 1$.
Заметим, что $\ln(k+1)-\ln(k)=\ln(1+1/k)=O(1/k)$, так что
$(\frac{\ln(k+1)}{\ln k}-1\bigr)^2=o(1/k^2)$. Значит, соответствующие поправки
$O\left(\bigl(\frac{\ln(k+1)}{\ln k}-1\bigr)^2\right)$ также дадут в сумме $O(1)$.

Итого 
$$
\Sigma_n =\sum_{k=2}^n \ln \frac{\ln (k+1)}{\ln k}+O(1)=\ln \ln n+O(1).
$$
Лемма доказана.

\textbf{Доказательство теоремы}.


Пусть $k$ выбирается
в множестве $\{1,2,\dots,n\}$ согласно равномерному
распределению. Определим для каждого простого
$p\le n$ случайную величину $X_p$ как индикатор события
$\{k$ кратно $p\}$. Тогда $\nu=\sum_p{p\le n} X_p$
и требуется доказать, что
$$
\Prob\left(|\nu-\ln \ln n|>w(n)\sqrt{\ln \ln n}\right)\rightarrow 0 \eqno(1)
$$

Пусть $M=n^{1/5}$ и $\nu_1=\sum_{p\le M} X_p$.
Заметим, что $\nu_1\le \nu\le \nu_1+4$ (так как любое
число $k$ от 1 до $n$ имеет не более четырех простых
множителей, больших, чем $M$).
Поэтому можно заменить в (1) $\nu$ на $\nu_1$.

Заметим, что
$$
E(\nu)=n^{-1}\sum_{p\le n} [n/p]=\sum_{p<n} 1/p+O(1)=\ln\ln n+O(1)
$$

в силу нашей леммы. Таким образом, можно заменить также $\ln \ln n$ на
$E \nu_1= E\nu +O(1)$.

Для оценки $\Prob (|\nu_1-E \nu_1|>w(n)\sqrt{\ln \ln n})$
воспользуемся неравенством Чебышева
$$
\Prob \left(|\nu_1-E \nu_1|>w(n)\sqrt{\ln \ln n}\right)\le \frac{\Var \nu_1}{w^2(n) \ln \ln n},
$$

где $\Var$ обозначает дисперсию случайной величины.

Таким образом, достаточно доказать, что $Var \nu_1=O(\ln \ln n)$.

Для этого заметим, что
$$
\Var \nu_1=\sum_{p\le M} \Var X_p+2\sum_{p<q\le M} \Cov(X_p,X_q),
$$

где $\Cov (X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)\cdot E(Y)$ обозначет
ковариацию случайных величин $X$ и $Y$. Это равенство получается
из формулы $E(X)=E(X^2)-(E X)^2$ путем раскрытия скобок.

Заметим, что $\Var X_p\le E(X_p)^2=E(X_p)$, так что первая сумма не превосходит
$E(\nu_1)=\ln\ln n+O(1)$.

Оценим $\Cov(X_p,X_q)$:

$$
\Cov(X_p,X_q)=\frac{[n/pq]}{n}-\frac{[n/p]}{n}\cdot \frac{[n/q]}{n}\le \frac1{pq}-
(1/p-1/n)(1/q-1/n)<1/n(1/p+1/q)\le 2/n.
$$

Поскольку количество пар различных $p,q$ не превосходит $M^2<n$,
получаем, что сумма ковариаций есть $O(1)$.

Доказательство теоремы завершено.

Использование неравенства Чеьышева называется \emph{методом второго момента}.

Приведем пример из теории случайных графов.

Сначала рассмотрим такую ситуацию:
имеются случайные величины $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_m$,
являющиеся индикаторами некоторых событий $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_m$
(то есть $X_i=1$, если происходит событие $A_i$ и $X_i=0$ в противном
случае). Положим $X=\sum X_i$. Как оценить сверух вероятность того,
что $X=0$? Воспользуемся неравенством Чебышева:
$$
\Prob\{X=0\}\le \Prob\{|X-E(X)|^2\ge E(X)^2\}\le \frac{\Var(X)}{E(X)^2}. \eqno(1)
$$
Теперь оценим $\Var(X)$. Будем писать $i\sim j$, если $i\ne j$
и события $A_i$, $A_j$ не являются независимыми. Имеем
$$
\Var(X)=\sum \Var(X_i)+2\sum_{i\sim j} \Cov(X_i,X_j)\le E(X)+2\sum_{i\sim j} E(X_i\cdot X_j).
\eqno(2)
$$


Теперь докажем следующее типичное утверждение
теории случайных графов:

\textbf{Теорема}. Рассмотрим случайный граф $G(n,p)$ на $n$ вершинах,
в котором каждое ребро проводится случайно независимо от других ребер с вероятностью
$p$. Тогда при $p=o(n^{-2/3})$ вероятность наличия в графе
$G(n,p)$ клики на четырех вершинах стремится к нулю, а при $p\gg n^{-2/3}$
(то есть $\lim p/n^{-2/3}=+\infty$) вероятность наличия
такой клики стремится к бесконечности.

\textbf{Доказательство}. Пронумеруем четверки вершин нашего графа
индексом $i$. Пусть $A_i$ --- вероятность того, что вершины $i$-ой
четверки образуют клику, $X_i$ --- идикатор события $A_i$, $X=\sum X_i$.
Имеем $E(X)=p^6\cdot C_n^4$, так что при $p\ll n^{-2/3}$ имеем $E(X)=o(1)$
и вероятность того, что $X\ge 1$ (то есть вероятность наличия клики) стремится к нулю.
При $p\gg n^{-2/3}$ имеем $E(X)\rightarrow +\infty$.
Докажем, что $\Var(X)=o(E(X)^2)$ --- из этого в силу (1)
будет следовать требуемое. Оценим $\Var(X)$ как в (2).
Первое слагаемое $E(X)$ есть $o(E(X)^2)$.
Оценим сумму $E(X_iX_j)=\Prob(A_i\cap A_j)$ для всех пар зависимых событий. 
Для каждого из $O(n^4)$ событий имеется $O(n^2)$ зависимых событий,
соответствующих четверкам, пересекающимся по двум вершинам,
и $O(n)$ событий, соответствующих четверкам, пересекающимся
по трем вершинам. В первом случае вероятность одновременного
выполнения событий есть $p^{11}$, во втором --- $p^9$. Итак,
$$\sum_{i\sim j} \Prob(A_i\cap A_j)=O(n^6p^{11}+n^5p^9)=o(n^8p^{12})=o(E(X)^2),
$$
что завершает доказательство.






\end{document}
