Оглавление

1 Алгебры 2 1.1 Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Алгебра Грассмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Морфизмы и идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Градуировки и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Тензоры (дополнительная информация) . . . . . . . . . . . . . 18

2 Многообразия 21 2.1 Понятие вещественного многообразия . . . . . . . . . . . . . . 21

Глава 1

Алгебры

1.1 Определение и примеры

Определение 1. Алгеброй над полем 𝕂 (при желании его везде в дальнейшем можно считать изоморфным ℝ или ℂ) называется векторное пространство A над 𝕂, снабженное операцией A × A → A, (a, b) ↦ ab, такой, что

(a + b)c = ac + bc,  (1.1)
a(b + c) = ab + ac,  (1.2)
λ(ab) = (λa)b = a(λb),  (1.3)

для любых a, b, c ∈ A, λ ∈ 𝕂.

Замечание (Модули). Иногда используют более общее определение, заменяя поле кольцом, а векторное пространство — модулем. Модуль — это, говоря неформально, �векторное пространство над кольцом�. Строгое определение звучит так:

Определение 2. Пусть R — кольцо. Левым R-модулем называется коммутативная группа M и операция �умножения на скаляр� R × M → M, удовлетворяющая свойствам:

λ(μa) = (λμ)a,  (1.4)
(λ + μ)a = λa + μa,  (1.5)
λ(a + b) = λa + λb,  (1.6)

для любых a, b ∈ M и λ, μ ∈ R.

Правый R-модуль определяется аналогично (скаляры пишутся справа). Если в кольце есть единица 1_{R}, то естественно требовать также 1_{R}a = a. Если 𝕂 — поле, то 𝕂-модуль (неважно, левый или правый) есть векторное пространство. Модули могут быть устроены более причудливо, чем векторные пространства, но многие факты для них сохраняются.

Заметим, что алгебра — это векторное пространство и кольцо одновременно (относительно одного и того же сложения), причем эти структуры согласованы в смысле аксиомы 1.3, поэтому на нее естественно переносится соответствующая терминология. Для алгебр мы будем, в частности, пользоваться понятиями базиса, размерности, ассоциативности, коммутативности etc. Напомним, что кольцо называется ассоциативным, если (ab)c = a(bc) для любых a, b, c, и и коммутативным, если ab = ba для любых a, b.

Приведем несколько примеров алгебр.

Пример 1 (Поле). Само поле 𝕂 реализует одномерную алгебру над 𝕂.

Пример 2 (Алгебра полиномов). Полиномом называют конечную сумму вида

∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, где a_{i} ∈ 𝕂.

Их можно складывать, умножать на число и между собой (умножение определяется соотношением z^{n}z^{m} = z^{n+m}, распространяемым на произвольные полиномы по дистрибутивности) — они образуют алгебру над 𝕂, обозначаемую 𝕂[x]. Она, очевидно, ассоциативна, коммутативна и бесконечномерна (так как элементы z^{k} и z^{k′} линейно независимы для k ≠ k′). Можно рассматривать алгебры полиномов от нескольких переменных, они обозначаются 𝕂[x, y, z].

Пример 3 (Полиномы Лорана). Полиномы Лорана — это выражения вида

a_{−m}z^{−m} + … + a_{−1}z^{−1} + a_{0} + a_{1}z^{1} + … + a_{n}z^{n} = ∑_{i=−m}^{n} a_{i}z^{i}.  (1.7)

Умножение снова задается соотношением z^{n}z^{m} = z^{n+m}, однако на этот раз степени могут быть любыми целыми числами. Заметим, что полиномы Лорана можно понимать как полиномы от z и z^{−1}, поэтому их обозначают как 𝕂[z, z^{−1}].

Пример 4 (Матричные алгебры). Матрицы n×n, или, что то же, координатные записи линейных отображений в себя (эндоморфизмов) n-мерного векторного пространства образуют n^{2}-мерную алгебру Mat(n, 𝕂). Для n > 1 она некоммутативна.

Пример 5 (Групповая алгебра). Пусть G — произвольная группа. Рассмотрим линейное пространство 𝕂[G] формальныx конечныx сумм

∑_{g∈G} a_{g}g, где a_{g} ∈ 𝕂.  (1.8)

Другими словами, элементы группы образуют базис 𝕂[G]. На базисных элементах определено групповое умножение, распространим его на произвольные вектора 𝕂[G] по билинейности умножения. Полученная алгебра (проверьте, что это алгебра!) называется групповой алгеброй, она ассоциативна (так как наследует умножение из группы). 𝕂[G] коммутативна одновременно с G. Размерность 𝕂[G] равна порядку группы G.

Дословно повторяя сказанное, можно построить полугрупповую алгебру по полугруппе или моноиду (напомним, что полугруппой называется множество, снабженное ассоциативной бинарной операцией, а моноидом — полугруппа с нейтральным элементом).

Задача 1. В 𝕂[G] перемножаются два вектора:

∑_{g∈G} a_{g}g ∑_{g∈G} b_{g}g = ∑_{g∈G} c_{g}g.  (1.9)

Найдите выражение для коэффициентов c_{g} (в терминах a_{g}, b_{g}).

Задача 2. Напомним: ℤ — аддитивная (то есть, относительно сложения) группа целых чисел, ℕ_{0} — аддитивный моноид неотрицательных целых чисел. Что такое 𝕂[ℤ]? 𝕂[ℕ_{0}]? 𝕂[ℤ × … × ℤ]? 𝕂[ℕ_{0} × … × ℕ_{0}]?

Свободные объекты. Сделаем небольшое отступление. Часто употребляют слово �свободный� применительно к какому-то алгебраическому объекту (например, группе или кольцу). Это означает отсутствие соотношений (кроме тех, разумеется, выполнение которых необходимо для того, чтобы, например, свободная группа, оставалась группой), в каком-то смысле это наиболее общие реализации идей группы, кольца итд. Поясним сказанное на нескольких примерах.

Зафиксируем множество S, которое будем называть алфавитом, а его элементы — образующими. Свободной полугруппой для алфавита S будем называть всевозможные строки, составленные из членов S, то есть конечные последовательности вида a_{1}a_{2} … a_{n}, где a_{i} ∈ S. Полугрупповой операцией является конкатенация: пусть s, t — две строки, тогда st есть строка, получаемая приписыванием строки t в конец строки s. Например, пусть у нас есть алфавит, содержащий буквы a, b, c: конкатенируя abbc и acbc получим строку abbcacbc. Легко видеть, что множество строк с такой операцией образуют полугруппу. Если мы позволяем строке быть пустой, то она будет нейтральным элементом, что дает свободный моноид.

Теперь рассмотрим алфавит S ∪ S̄, где S̄ состоит из �обратных� образующих : S̄ = {s^{−1} : s ∈ S}. Две строки с символами из этого алфавита будем считать эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую конечным числом операций изъятия и добавления пар элементов ss^{−1} или s^{−1}s, где s ∈ S. Так, эквивалентны строки abc и aa^{−1}abcbb^{−1}c. Множество строк с таким отношением эквивалентности образует свободную группу с образующими S. Оказывается, всякая группа G есть факторгруппа свободной для какого-то S. Если алфавит можно выбрать конечным, то G называется конечно порожденной. Заметим также, что свободная группа с одной образующей изоморфна ℤ.

Пример 6 (Свободная алгебра). Свободная алгебра^{1} с образующими S — это полугрупповая алгебра свободной полугруппы с теми же образующими, то есть линейная оболочка множества строк символов алфавита S. Опять-таки, в силу ее большой общности, можно получать важные алгебры, факторизуя свободную. Позже мы дадим для нее другое описание. Также свободную алгебру называют алгеброй некоммутирующих многочленов.

Все перечисленные алгебры ассоциативны, позже мы встретим интересные алгебры, лишенные такого свойства (например, алгебру векторных полей).

Задача 3. Вспомните, какие еще алгебры вам встречались.

1.2 Алгебра Грассмана

Перейдем к первому описанию центрального для нас объекта — алгебры Грассмана. Она будет введена повторно в секции 1.5 с других точек зрения.

Пусть V — конечномерное векторное пространство, dim V = n, построим по нему серию пространств Λ^{p}V. По определению положим Λ^{0} = 𝕂 и Λ^{1} = V. Далее, рассмотрим пространство линейных комбинаций формальных (пока) элементов вида a ∧ b, где a и b — вектора из V:

⟨{a ∧ b}_{a,b∈V} ⟩_{𝕂} = {∑ λ_{i}a_{i} ∧ b_{i} : λ_{i} ∈ 𝕂, a_{i}, b_{i} ∈ V } ,  (1.10)

где сумма в скобках конечна. Теперь потребуем выполнения трех соотношений:

(a + b) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c,  (1.11)
a ∧ b = −b ∧ a,  (1.12)
λ(a ∧ b) = a′ ∧ b, где a′ = λa,  (1.13)

Для этого нужно профакторизовать ⟨{a ∧ b}_{a,b∈V} ⟩_{𝕂} по подпространствам, натянутым на вектора вида (a+b)∧c−a∧c+b∧c, a∧b+b∧a и λ(a∧b)−(λa)∧b. Заметим, что линейность по второму аргументу вытекает из кососимметричности и линейности по первому. Полученное пространство обозначим Λ^{2}V. Пусть {e_{i}}_{i=1}^{n} — базис V. Легко видеть (увидьте!), что базисом в Λ^{2}V будет {e_{i} ∧e_{j}}_{1≤i<j≤n} (индексы можно упорядочить из-за соотношения 1.12). Какова размерность Λ^{2}V? Она совпадает с числом упорядоченных пар неравных целых чисел от 1 до dim V = n, что дает dim Λ^{2}V = \frac{n^{2}−n}{2}.

Аналогично строятся пространства Λ^{p}V: они состоят из линейных комбинаций вида ∑ λ_{i_{1}i_{2}···i_{p}}a_{i_{1}} ∧ a_{i_{2}} ∧ … ∧ a_{i_{p}}, где a_{i_{k}} ∈ V, причем выполнены свойства:

(a_{1} + a′_{1}) ∧ ⋯ ∧ a_{p} = (a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{p}) + (a′_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{p}),  (1.14)

1Строго говоря, было бы вернее использовать термин свободная ассоциативная алгебра, но для нас это излишне

a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{k} ∧ a_{k+1} ∧ ⋯ ∧ a_{p} = −(a_{1} ∧ ⋯ ∧ a_{k+1} ∧ a_{k} ∧ ⋯ ∧ a_{p}), (1.15)
λ(a_{1} ∧ a_{2} ∧ ⋯ ∧ a_{p}) = (λa_{1}) ∧ a_{2} ∧ ⋯ ∧ a_{p}.  (1.16)

Опять-таки, свойство 1.15 (говорящее, что, меняя местами любые два соседних вектора, мы изменяем знак на противоположный) позволяет нам строго упорядочить индексы в выражениях для базисных элементов: {e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}}_{1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{p}≤n}, и тогда легко вычислить:

dim Λ^{p}V = \binom{n}{p} = C_{n}^{p} = \frac{n!}{p!(n − p)!}.  (1.17)

Заметим, что Λ^{p}V = {0} для p > dim V; в самом деле, a_{1} ∧ a_{2} ∧ ⋯ ∧ a_{p} ≠ 0 тогда и только тогда, когда все a_{i} линейно независимы.

Определение 3. Элементы Λ^{p}V называеются p-векторами или поливекторами, а само Λ^{p}V — p-той внешней степенью V.

Введем обозначение:

ΛV = ⨁_{p=0}^{∞} Λ^{p}V = ⨁_{p=0}^{dim V} Λ^{p}V.  (1.18)

Определение 4. Алгеброй Грассмана векторного пространства V называется пространство ΛV, наделенное операцией ∧ : ΛV × ΛV → ΛV, действующей по правилу:

(a_{1} ∧ … ∧ a_{n}, b_{1} ∧ … ∧ b_{m}) ↦ a_{1} ∧ … ∧ a_{n} ∧ b_{1} ∧ … ∧ b_{m}.  (1.19)

Задача 4. Проверьте, что получилась ассоциативная алгебра.

Операцию ∧ называют внешним умножением, удобно обозначать ее тем же символом, который мы использовали для записи поливекторов — более того, можно было бы определить операцию ∧ как билинейную, ассоциативную и такую, что a ∧ a = 0 для всех a ∈ Λ^{1}V = V, в таком случае p-вектора становятся линейными комбинациями внешних произведений p штук векторов из Λ^{1}V = V.

Пусть dim V = n, а {e_{i}} — базис V. Заметим, что базис ΛV — это строки вида e_{1} ∧ … e_{n}, где каждый из e_{i} может быть пропущен, а, поскольку их n штук, это дает dim ΛV = 2^{n}. С другой стороны, мы уже знаем, что dim Λ^{p}V = C_{n}^{p}, так что приводит нас к известному комбинаторному факту^{2}:

∑_{p=0}^{n} C_{n}^{p} = 2^{n}.

Замечание. Описанная конструкция внешней алгебры переносится на случай бесконечномерного V, однако размерности пространств p-векторов для p > 0 становятся бесконечными, а прямая сумма ΛV = ⨁_{p=0}^{∞} Λ^{p}V не обрывается на конечном количестве слагаемых.

2Простейшее доказательство: (1 + 1)^{n} = 2^{n}

1.3 Морфизмы и идеалы

Определение 5. Пусть A, B — алгебры. Гомоморфизмом алгебры A в B называется линейное отображение φ : A → B, такое, что

φ(ab) = φ(a)φ(b).  (1.20)

Терминологическое напоминание Пусть φ : A → B — гомоморфизм^{3}. Его называют...

• ...мономорфизмом, инъекцией, вложением, если a ≠ b ⇒ φ(a) ≠ φ(b).

• ...эпиморфизмом, сюръекцией, наложением, отображением на, если φ(A) = B.

• ...изоморфизмом, биекцией, если он мономорфен и эпиморфен одновременно.

• ...эндоморфизмом, если A = B.

• ...автоморфизмом, если он есть изоморфизм и эндоморфизм.

Определение 6. Пусть A — алгебра, ее подмножество B ⊂ A называют подалгеброй, если B — алгебра (относительно наследуемых из A операций.

Определение 7. Левым идеалом алгебры A называется такое ее подпространство I, что AI ⊂ I, то есть для любых a ∈ A, i ∈ I выполнено ai ∈ I. В правом идеале IA ⊂ I. Идеалом или двухсторонним идеалом называется подпространство A, которое есть левый и правый идеал.

Заметим, что идеалы являются подалгебрами. Любая алгебра содержит два неинтересных идеала {0} и A, их называют несобственными, а все остальные — собственными. Пусть φ : A → B — гомоморфизм, тогда φ(A) — подалгебра в B, а ker φ — двухсторонний идеал в A (ядром гомоморфизма ker φ, разумеется, называется полный прообраз нуля). Если A — алгебра с единицей 1, то φ(1) — единица в φ(A) (но, вообще говоря, не единица в B). Прообраз идеала — идеал, гомоморфные образ идеала — идеал в образе алгебры.

Пусть {I_{i}} — семейство идеалов алгебры A, тогда ∩I_{i} — снова идеал, поэтому корректно следующее определение.

Определение 8. Пусть S — подмножество A, тогда идеалом, порожденным S, называют множество (S), обладающее свойствами:

1. (S) — идеал в A;

2. S ⊂ (S); 3. (S) содержится в любом идеале, удовлетворяющем первым двум свой-

3любых алгебраических структур, не обязательно алгебр

ствам.

Идеал (S) существует и единственен; можно сконструировать его, пересекая все идеалы, содержащие S. Очевидно, что идеал, содержащий единицу (или любой обратимый элемент) совпадает со всей алгеброй. Идеал, порожденный одноэлементным множеством, называется главным.

Вообще, идеалы во многом аналогичны нормальным делителям. Поясним эту мысль следующим сюжетом.

Определение 9. Пусть I — двухсторонний идеал алгебры A. Тогда факторалгеброй A/I называют векторное пространство A/I = {a + I : a ∈ A} с операцией умножения

(a + I)(b + I) = (ab + I).  (1.21)

Проверьте, что это корректно наделяет факторпространство A/I структурой алгебры.

Задача 5. Покажите, что фактор по одностороннему идеалу, вообще говоря, не является алгеброй.

Если A — алгебра с единицей, то A/I — тоже. Верно ли обратное? Каноническая проекция π : A → A/I — гомоморфизм. Гомоморфный образ алгебры изоморфен факторалгебре по ядру гомоморфизма:

A/ker φ = φ(A).  (1.22)

Определение 10. Пусть A, B — алгебры. Тогда на прямой сумме векторных пространств A ⊕ B есть структура алгебры с умножением

(a ⊕ b)(c ⊕ d) = (ac ⊕ bd).  (1.23)

Эта алгебра называется прямой суммой A и B и обозначается A ⊕ B.

В A ⊕ B есть идеалы A ⊕ {0} и {0} ⊕ B, причем (A ⊕ B)/(A ⊕ {0}) = B, (A ⊕ B)/({0} ⊕ B) = A. Прямая суммой ассоциативна: алгебры (A ⊕ B) ⊕ C и A ⊕ (B ⊕ C) изоморфны.

Задача 6. Докажите все упомянутые в параграфе утверждения и придумайте какие-нибудь другие.

1.4 Тензоры

Сейчас мы опишем важную конструкцию — тензорное произведение векторных пространств. Тензоры позволяют дать компактное единообразное описание многих объектов линейной алгебры; это не столько самостоятельная область, сколько полезный и широкоупотребимый язык. Владеть им совершенно необходимо.

Чтобы не загромождать изложение, мы будем говорить в терминах линейных пространств, хотя почти все в этом пункте элементарно переносится на случай модулей над коммутативными кольцами; призываем заинтересованных убедиться в этом.

Пусть A, B — линейные пространства над 𝕂, не обязательно конечномерные. Рассмотрим над 𝕂 линейное пространство ⟨A × B⟩_{𝕂} = ⟨{(a, b)}_{a∈A,b∈B}⟩_{𝕂}, базисом которого является все декартово произведение^{4} A × B. Это очень �большое� пространство; скажем, если, 𝕂 = ℝ, а A и B хотя бы одномерны, то ⟨A × B⟩_{𝕂} имеет континуальную размерность. Особо подчеркнем, что элементы (a, 0) и (2a, 0) (где a ∈ A, a ≠ 0) являются линейно независимыми в ⟨A × B⟩_{𝕂} как и любые другие две различные пары, а их сумма — просто формальное выражение (1a, 0) + (2a, 0) = 1 · (a, 0) + 1 · (2a, 0), но ни в коем случае не (3a, 0) и не 3(a, 0).

Теперь рассмотрим в ⟨A × B⟩_{𝕂} подпространство W, натянутое на всевозможные вектора следующих типов:

(a + b, c) − (a, c) − (b, c)  (1.24)
(a, c + d) − (a, c) − (a, d)  (1.25)
λ(a, c) − (λa, c)  (1.26)
λ(a, c) − (a, λc)  (1.27)

Определение 11. Тензорным произведением пространств A и B называется факторпространство ⟨A × B⟩_{𝕂} /W, обозначают его A ⊗ B. Если нужно явно указать поле (или кольцо), над которым оно строится, то пишут A ⊗_{𝕂} B. Элементы A ⊗ B называются тензорами.

Заметим, что на этом факторе сложение уже идет по интуитивному правилу [(1a, 0)]+[(2a, 0)] = 1·[(a, 0)]+1·[(2a, 0)] = [(3a, 0)] = [3(a, 0)], где [(1a, 0)] обозначает класс эквивалентности элемента (1a, 0). Собственно, этого мы и добивались, что объясняет вид векторов 1.24-1.27. В самом деле, на факторе все комбинации такого вида перейдут в нулевой класс.

Рассмотрим диаграмму

\xymatrix{A × B \ar[r]^{i} \ar[rr]^{⊗} & ⟨A × B⟩_{𝕂} \ar[r]^{π} & A ⊗ B}  (1.28)

Отображение i : A × B → ⟨A × B⟩_{𝕂} есть просто вложение i : (a, b) ↦ (a, b). Отображение π : ⟨A × B⟩_{𝕂} → ⟨A × B⟩_{𝕂} /W = A ⊗ B — каноническая проекция.

Определение 12. Определим композицией i и π операцию ⊗ = πi : A × B → A ⊗ B. Образ пары (a, b) относительно ⊗, обозначаемый a ⊗ b, называется тензорным произведением векторов a и b. Все такие тензоры называются разложимимы.

4Напомним, что декартовым произведением A × B множеств A, B называется множество всевозможных упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A, b ∈ B

Задача 7. Приведите пример неразложимого тензора. Покажите, что всякий тензор есть сумма разложимых. Единственно ли такое разложение?

Разложимостью по разложимым пользуются постоянно: часто на них, например на разложимом базисе (см. задачу 10), удобно определять операции, распространяя их на произвольные тензоры по линейности.

Определение 13. Пусть, A, B, C — линейные пространства. Напомним, что отображение φ : A × B → C называется билинейным, если оно линейно по каждому аргументу:

φ(a + b, c) = φ(a, c) + φ(b, c)  (1.29)
φ(a, c + d) = φ(a, c) + φ(a, d)  (1.30)
λφ(a, c) = φ(λa, c) = φ(a, λc)  (1.31)

(1.32)

Задача 8. Покажите билинейность тензорного произведения векторов.

Задача 9. Покажите, что попарно изоморфны пространства:

1. (A ⊗ B) ⊗ C и A ⊗ (B ⊗ C) (благодаря этому изоморфизму мы будем в дальнейшем опускать скобки).

2. A ⊗ B и B ⊗ A.

3. (A ⊕ B) ⊗ C и (A ⊗ C) ⊕ (B ⊗ C)

4. C ⊗ (A ⊕ B) и (C ⊗ A) ⊕ (C ⊗ B)

Задача 10. Пусть A, B — конечномерные линейные пространства, {e_{i}} — базис в A, {f_{i}} — базис в B. Докажите, что {e_{i} ⊗ f_{j}} есть базис в A ⊗ B, вычислите dim A ⊗ B.

Определение 14. Пусть A — линейный оператор в A, B — в B. Тогда на A ⊗ B определен линейный оператор A ⊗ B, действующий по правилу:

(A ⊗ B)(a ⊗ b) = (Aa) ⊗ (Bb).  (1.33)

Оператор A ⊗ B называют тензорным произведением операторов A и B.

Задача 11. Пусть A и B — операторы в A и B соответственно, причем dim A = α < ∞, dim B = β < ∞. Вычислите след и определитель A ⊗ B.

Определение 15. Пусть V_{i}, W — векторные пространства над 𝕂. Напомним, что отображение φ : V_{1} ×…×V_{n} → W называется полилинейным (или n-линейным), если оно линейно по каждому аргументу.

Пусть φ : V_{1} ×… V_{n} → W полилинейно. Тогда существует и единственно такое линейное отображение φ′ : V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n} → W, что φ = φ′⊗ (определение отображения ⊗ имеет номер 12); запишем в виде коммутативной^{5} диаграммы:

\xymatrix{V_{1} × … × V_{n} \ar[r]^{⊗} \ar[dr]_{φ} & V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n} \ar[d]^{φ′} \\  & W}  (1.34)

Это свойство называется универсальностью тензорного произведения, оно позволяет заменять полилинейные отображения более понятными линейными. За него мы и боролись.

Обратно, линейное отображение φ′ : V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n} → W продолжается до полилинейного φ : V_{1} × … × V_{n} → W (композицией с ⊗). Таким образом, интересуясь полилинейными отображениями, иметь дело с декартовыми произведениями необязательно — достаточно тензорных.

Задача 12. Докажите предыдущее свойство.

Теперь мы могли бы сказать, что алгебра — это модуль A вместе с линейным отображением A ⊗ A → A (умножением).

Определение 16. Пусть V_{i} — векторные пространства над 𝕂. Полилинейной (n-линейной) формой (функционалом) на V_{1} × … × V_{n} называется линейное отображение из V_{1} ⊗…⊗V_{n} в 𝕂 или, эквивалентно, полилинейное из V_{1} × … × V_{n} в 𝕂. Если все V_{i} = V, говорят о полилинейной форме на V.

Символ A^{∗} означает двойственное к A пространство.

Задача 13. Пусть V_{i} — конечномерные линейные пространства над 𝕂. Покажите, что пространство полилинейных форм на V_{1} × … × V_{n} изоморфно (V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n})^{∗} и V_{1}^{∗} ⊗ … ⊗ V_{n}^{∗}.

Введем обозначение: V^{⊗n} = \underbrace{V ⊗ … ⊗ V}_{n}, а V^{⊗0} = 𝕂

Пусть ϕ, ψ — n- и m-линейные формы соответственно. Иначе говоря, ϕ ∈ (V^{⊗n})^{∗}, ψ ∈ (V^{⊗m})^{∗}. Тогда из них можно изготовить (n + m)-линейную форму:

ϕψ : (v_{1}, …, v_{n+m}) ↦ ϕ(v_{1}, …, v_{n})ψ(v_{n+1}, …, v_{n+m}), где всеv_{i} ∈ V. (1.35)

Это умножение задает на полилинейных формах структуру алгебры.

5Коммутативность диаграммы означает, что, двигаясь по стрелкам от одного пункта к другому, мы получаем один и тот же результат независимо от выбора соединяющего их маршрута

Задача 14. Пусть A, B — алгебры над 𝕂. Покажите, что на тензорном произведении векторных пространств A ⊗ B можно ввести структуру алгебры с умножением по формуле

(a ⊗ b)(c ⊗ d) = (ac) ⊗ (bd).  (1.36)

Полученную алгебру A ⊗ B называют тензорным произведеним алгебр A и B.

Задача 15. Пусть V — линейное пространство над 𝕂. Покажите, что V ⊗_{𝕂}𝕂 изоморфно V. В частности, 𝕂 ⊗_{𝕂} 𝕂 = 𝕂 (даже как алгебры).

Задача 16. Пусть V — линейное пространство над 𝕂, а 𝕂 — подполе поля 𝕃. Покажите, что V ⊗_{𝕂} 𝕃 обладает структурой линейного пространства над 𝕃 (умножение на скаляры l ∈ 𝕃 происходит так: l × v ⊗ l′ ↦ v ⊗ l′l). Эта конструкция позволяет расширить поле скаляров.

Замечание. Наиболее часто встречающийся вариант · ⊗_{ℝ} ℂ называется комплесификацией.

Замечание. Предыдущая конструкция дает одно из интуитивных представлений о тензорном произведении A и B — оно есть, неформально говоря, линейное пространство (или алгебра) A с коэффициентами из линейного пространства (или алгебры) B или, наоборот, B с коэффициентами из A. Попробуйте осознать это наблюдение, взяв для примера какие-нибудь несложные A и B (прекрасно подойдет Mat(n, 𝕂)).

Пусть A, B — векторные пространства над 𝕂, символом Hom(A, B) обозначим пространство линейных операторов A → B.

Задача 17. Пусть A, B — конечномерные линейные пространства над 𝕂. Введем отображение φ : A^{∗} ⊗ B → Hom(A, B), сопоставляя f ⊗ g, где f ∈ A^{∗}, g ∈ B, оператор φ(f ⊗ g) : A → B, действующий по правилу

φ(f ⊗ g) : v ↦ f(v)g,  (1.37)

где f(v) — значение формы f на векторе v (это значение есть число, так что f(v)g — вектор из B). Покажите, что φ : A^{∗} ⊗ B → Hom(A, B) — изоморфизм. В частности, имеет место изоморфизм L^{∗} ⊗ L = Hom(L, L).

Задача 18. A, B, C — конечномерные линейные пространства над 𝕂. Введем отображение φ : Hom(A ⊗ B, C) → Hom(A, Hom(B, C)) по правилу:

φ : (f : a ⊗ b ↦ f(a ⊗ b)) ↦ (g : a ↦ (b ↦ f(a ⊗ b))).  (1.38)

То есть, оператор f : a ⊗ b ↦ f(a ⊗ b) (где f(a ⊗ b) ∈ C), перейдет под действием φ в оператор g, который, в свою очередь, сопоставит вектору a оператор, отображающий b в f(a ⊗ b). Покажите, что φ — изоморфизм.

Определение 17. Тензорной алгеброй линейного пространства V называется пространство

T (V) = ⨁_{n=0}^{∞} V^{⊗n},  (1.39)

снабженное умножением

⊗ : (a_{1} ⊗…⊗a_{n}, a_{n+1} ⊗…⊗a_{n+m}) ↦ a_{1} ⊗…⊗a_{n} ⊗a_{n+1} ⊗…⊗a_{n+m}. (1.40)

Это ассоциативная алгебра; ее размерность бесконечна, если dim V ≥ 1.

Задача 19. Пусть {e_{1}, …, e_{n}} — базис V. Докажите, что алгебра T (V) изоморфна свободной алгебре^{6} с алфавитом {e_{1}, …, e_{n}}.

Задача 20. Докажите, что алгебра T (V^{∗}) изоморфна алгебре полилинейных форм^{7} на V.

1.5 Градуировки и соотношения

Задача 21. Пусть R — подпространство T (V). Покажите, что

(R) = T (V)RT (V) = {∑ λ_{k}t_{k} ⊗ r_{k} ⊗ t′_{k} : r_{k} ∈ R, t_{k}, t′_{k} ∈ T (V), λ_{k} ∈ 𝕂},

(1.41)

где (R) — идеал, порожденный R, а сумма в скобках — конечная.

Определение 18. Пространство V называется пространством образующих, а R — пространством соотношений факторалгебры T (V)/(R). Пусть A = T (V)/(R), если V может быть выбрано конечномерным, то алгебра A называется конечно порожденной, а если конечномерным может быть выбрано еще и R, то A называется конечно представимой.

Задача 22. Докажите, что всякая конечномерная ассоциативная алгебра над полем конечно представима.

Определение 19. Алгебра A называется градуированной или ℤ-градуиро-ванной, если она разлагается в прямую сумму подпространств A = ⨁_{i∈ℤ} A^{i}, причем A^{i}A^{j} ⊂ A^{i+j} (подпространства A^{i}, называемые компонентами градуировки, могут быть нульмерными). Более общо: если G — группа (полугруппа, моноид), то G-градуированной алгеброй называется алгебра A = ⨁_{g∈G} A^{g}, а умножение устроено так, что A^{g}A^{g′} ⊂ A^{gg′}, где gg′ означает групповое (полугрупповое) произведение g и g′. Если G = ℤ × ℤ, алгебра называется биградуированной. Если G = ℤ_{2}, то пространство A^{0} называют четным, а A^{1} — нечетным.

Если в градуированной алгебре есть единица, то она лежит в нулевой компоненте. Нулевая компонента есть подалгебра градуированной алгебры.

6определение см. на стр. 4

7с умножением по формуле 1.35

Замечание. Все алгебры — градуированные: достаточно взять A^{0} = A, A^{i} = {0} для i ≠ 0. Не очень-то это интересно, обычно имеется в виду более содержательное разложение.

Задача 23. Покажите, что 𝕂[G] (групповая алгебра) является G-градуи-рованной, причем так, что для всех подпространств dim 𝕂[G]^{g} = 1.

Задача 24. Пусть A — G-градуированная алгебра, а G′ — факторгруппа G (или, эквивалентно, G′ — гомоморфный образ G). Покажите, что A — G′- градуированная.

Часто встречается случай G = ℤ, а G′ = ℤ/2ℤ = ℤ_{2}.

Задача 25. Укажите естественную градуировку прямой суммы и тензорного произведения градуированных алгебр.

Задача 26. Пусть R — подпространство T (V), такое, что R = ⨁_{i∈ℤ} R^{i}, притом R^{i} ⊂ T^{i}(V) = V^{⊗i}. Покажите, что T (V)/(R) — градуированная алгебра. В частности, T (V)/{0} = T (V) — градуированная алгебра (с разложением 1.39).

Определение 20. Алгебра S(V) = T (V)/({a ⊗ b − b ⊗ a}) называется симметрической алгеброй пространства V. Умножение на ней традиционно обозначается знаком ∨. S(V) по утверждению предыдущей задачи наследует градуировку из T (V), ее i-ая компонента (состоящая из линейных комбинаций векторов вида a_{k_{1}} ∨ … ∨ a_{k_{i}}) называется i-й симметрической степенью V и обозначается S^{i}(V).

Задача 27. Покажите, что алгебра симметрических форм S(V^{∗}) изоморфна алгебре полиномиальных функций на V, а S^{i}(V) — пространству полиномов i-й степени, не содержащих младших степеней.

Определение 21. Пусть есть двумерная вещественная алгебра с базисом 1, i, причем 1 — единица алгебры (нейтральный элемент по умножению) и выполнено соотношение i^{2} = ϵ. Это полностью характеризует алгебру. Она называется алгеброй комплексных чисел, если, разумеется, ϵ = −1, двойных чисел при ϵ = 1 и дуальных чисел при ϵ = 0.

Кватернионы ℍ — четырехмерная вещественная алгебра с базисом 1, i, j, k, причем 1 — единица ℍ, i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1 и ij = k = −ji. Паракватернионы похожи на ℍ, но в них j^{2} = k^{2} = 1 (остальные свойства сохраняются).

Заметим, что ℍ — ассоциативная алгебра с делением (всякий ненулевой кватернион обратим), такие алгебры называются телами. Разумеется, поля есть коммутативные тела.

Задача 28. Докажите обратимость ненулевых кватернионов, предъявив формулы для произведения произвольных кватернионов, определение сопряженного кватерниона и явное выражение для обратного.

Определение 22. Пусть на векторном пространстве V задана симметричная билинейная форма w(·, ·). Алгеброй Клиффорда называют алгебру Cl(V, w) = T (V)/({a_{i}a_{j} + a_{j}a_{i} − 2 · w(a_{i}, a_{j})}).

Задача 29. Реализуйте комплексные, двойные и дуальные числа, кватернионы, паракватернионы, Mat(2, ℝ) как вещественные алгебры Клиффорда.

Замечание. Двойные, дуальные и паракватернионы можно забыть навсегда.

Для пункта Mat(2, ℝ) попробуйте применить матрицы Паули:

σ_{1} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , σ_{2} = (\begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix}) , σ_{3} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .  (1.42)

Определение 23. Объект

δ_{ij} = \begin{cases}1 ⇔ i = j \\ 0 ⇔ i ≠ j \end{cases}  (1.43)

называется символом Кронекера. Иногда его правильнее обозначать как δ_{j}^{i} (см. раздел 1.6).

Определим также символ ε_{i_{1}i_{2}...i_{k}} с k индексами, каждый из которых — целое число от 1 до k следующими соотношениями:

ε_{12...k} = 1,  (1.44)
ε_{i_{1}i_{2}...i_{k}} антисимметричен по любым двум соседним значкам  (1.45)

Эти требования полностью определяют ε_{i_{1}i_{2}...i_{k}}. Его называют символом Леви-Чивита.

Задача 30. Найдите ε_{ijk}ε_{ilm} (в терминах символов Кронекера), подразумевается суммирование по повторяющемуся значку. Найдите выражение для определителя матрицы (в терминах символа Леви-Чивита и столбцов матрицы).

Задача 31. Покажите, что для матриц Паули имеют место соотношения:

[σ_{l}, σ_{m}] = 2i ε_{lmn} σ_{n},  (1.46)
{σ_{i}, σ_{j}} = 2δ_{ij},  (1.47)
det σ_{i} = −1  (1.48)
Trσ_{i} = 0  (1.49)

где [a, b] = ab − ba, а {a, b} = ab + ba.

Определение 24. Алгеброй Грассмана пространства V называется градуированная алгебра ΛV = T (V)/({a⊗b+b⊗a}). Умножение в ней обозначают значком ∧.

Другие названия ΛV — внешняя алгебра, алгебра антикоммутирующих многочленов, алгебра переменных нечетной степени.

Заметим, что алгебры ΛV и Cl(V, w) изоморфны как алгебры при w = 0 и как линейные пространства при любой w. Градуировка, индуцируемая из тензорной алгебры, совпадает с встречавшимся нам ранее разложением 1.18.

Задача 32. Покажите, что определения алгебры Грассмана, данные на страницах 6 и 15, задают изоморфные алгебры.

Задача 33. Рассмотрим разложение ΛV = Λ^{(0)}V ⊕ Λ^{(1)}V:

Λ^{(0)}V = ⨁ Λ^{i}V,  i = 2n, n ∈ ℤ,  (1.50)
Λ^{(1)}V = ⨁ Λ^{i}V,  i = 2n + 1, n ∈ ℤ.  (1.51)

Покажите, что это дает ℤ_{2}-градуировку ΛV. Покажите, что Λ^{(0)}V — коммутативная алгебра. Более того, ее элементы коммутируют со всеми элементами ΛV.

Задача 34. Докажите свойство суперкоммутативности:

a ∧ b = (−1)^{sgn(a)sgn(b)}b ∧ a,  (1.52)

где каждый из элементов a, b лежит либо в Λ^{(0)}V, либо в Λ^{(1)}V, а sgn(v) определяется как

sgn(v) = \begin{cases}0 ⇔ v ∈ Λ^{(0)}V, \\ 1 ⇔ v ∈ Λ^{(1)}V. \end{cases}

Задача 35. Пусть a ∈ Λ^{i}V и a ≠ 0. Рассмотрим оператор M_{a} : V → Λ^{i+1}V, действующий по правилу M_{a} : v ↦ v ∧ a. Докажите, что dim ker M_{a} ≤ i и что dim ker M_{a} = i тогда и только тогда, когда a разложим, то есть a = a_{1} ∧ … ∧ a_{i}, где a_{i} ∈ V.

Задача 36. Определите алгебру кососимметрических форм на V и покажите, что она изоморфна алгебре Λ(V^{∗}).

Задача 37. Пусть A — оператор на V, dim V = n, а {e_{i}} — базис в V. Тогда на Λ^{n}V индуцируется отображение:

e_{1} ∧ … ∧ e_{n} ↦ (Ae_{1}) ∧ … ∧ (Ae_{n}).  (1.53)

Но dim Λ^{n}V = 1, поэтому (Ae_{1}) ∧ … ∧ (Ae_{n}) = |A|e_{1} ∧ … ∧ e_{n}. Покажите, что число |A| не зависит от выбора базиса и равно определителю A.

Замечание. Можно использовать число |A| из предыдущей задачи в качестве определения определителя оператора, тогда известное равенство det AB = det A det B становится почти очевидным.

Временно (до задачи 41 включительно) мы полагаем характеристику^{8} 𝕂 нулевой (можно считать, что 𝕂 = ℝ или ℂ).

Определение 25. Пусть sgn(p) — знак p, где p — перестановка n чисел. Введем на V^{⊗n} два оператора:

Alt(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) = \frac{1}{n!} ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)a_{p(1)} ⊗ … ⊗ a_{p(n)}  (1.54)

Sym(a_{1} ⊗ … ⊗ a_{n}) = \frac{1}{n!} ∑_{p∈S_{n}} a_{p(1)} ⊗ … ⊗ a_{p(n)}  (1.55)

Суммирование ведется по всевозможным перестановкам. Alt называют альтернатором, а Sym — симметризатором.

Задача 38. Покажите, что Alt и Sym — идемпотенты (идемпотентом называется такой P, что P^{2} = P).

Идемпотентность — характеристическое свойство проекторов. Операторы Alt и Sym проектируют на подпространства T (V), называемые соответственно пространством кососимметрических тензоров ΛT (V) и пространством симметрических тензоров ST (V).

Задача 39. Покажите, что имеет место включение идеалов (a⊗b+b⊗a) ⊂ ker Alt и (a ⊗ b − b ⊗ a) ⊂ ker Sym.

Задача 40. Покажите, что операция умножения

a ∧ b = Alt(a ⊗ b)  (1.56)

задает на ΛT (V) структуру алгебры, изоморфной ΛV.

Задача 41. Покажите, что операция умножения

a ∨ b = Sym(a ⊗ b)  (1.57)

задает на ST (V) структуру алгебры, изоморфной S(V).

Если есть оператор A на V, то на тензорных, симметрических и внешних степенях (алгебрах) V индуцируются операторы (тензорные степени A) по правилу

A′_{T} : v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n} ↦ (Av_{1}) ⊗ … ⊗ (Av_{n}),  (1.58)
A′_{S} : v_{1} ∨ … ∨ v_{n} ↦ (Av_{1}) ∨ … ∨ (Av_{n}),  (1.59)
A′_{Λ} : v_{1} ∧ … ∧ v_{n} ↦ (Av_{1}) ∧ … ∧ (Av_{n}),  (1.60)

8характеристикой поля 𝕂 называется наименьшее целое положительное число char(𝕂), такое, что char(𝕂) · 1 = \underbrace{1 + … + 1}_{char(𝕂)} = 0, если n · 1 ≠ 0 для любого целого положительного n, полагают char(𝕂) = 0.

Более общо, имея операторы A_{i} : V_{i} → W_{i}, можно изготовить их тензорное произведение — оператор

⨂ A_{i} : ⨂ V_{i} → ⨂ W_{i},  (1.61)
⨂ A_{i} : v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n} ↦ (A_{1}v_{1}) ⊗ … ⊗ (A_{n}v_{n}).  (1.62)

Частные случаи мы рассмотрели в определении 14 и задаче 37. Это дает законы преобразования тензоров при смене базиса в V_{i} оператором A_{i} (в частности, в алгебрах S(V) и ΛV, которые мы отождествили с некоторыми подпространствами в T (V) в задачах 40 и 41).

Задача 42. Покажите, что если det A_{i} ≠ 0, то и det ⨂ A_{i} ≠ 0, то есть, что тензорное произведение невырожденных операторов невырожденно, что и дает возможность индуцированной замены базиса в тензорных произведениях.

1.6 Тензоры (дополнительная информация)

Сведения из текущего раздела в дальнейшем, видимо, использованы не будут.

Определение 26. Пусть дан изоморфизм φ : V → V^{∗}. Тогда индуцируются изоморфизмы

φ′ : V ⊗ … ⊗ V_{n} → φ(V) ⊗ … ⊗ V_{n} = V^{∗} ⊗ … ⊗ V_{n},  (1.63)
φ^{′−1} : V^{∗} ⊗ … ⊗ V_{n} → φ^{−1}(V^{∗}) ⊗ … ⊗ V_{n} = V ⊗ … ⊗ V_{n}.  (1.64)

Оператор φ′ называют опусканием индекса, а φ^{′−1} — подъемом.

Изоморфизм φ : V → V^{∗} часто задают с помощью невырожденной симметричной билинейной формы g (ее принято называть метрическим тензором). В частности, евклидово, псевдоевклидово или унитарное пространство канонически изоморфно двойственному (в унитарном случае форма g не билинейна, а полуторалинейна). Псевдоевклидовое пространство отличается от евклидового тем, что вместо положительной определенности g (скалярного произведения) мы требуем лишь невырожденность; пример — пространство Минковского — четырехмерное вещественное пространство с формой

g((ct, x^{1}, x^{2}, x^{3}), (ct̃, x̃^{1}, x̃^{2}, x̃^{3})) = c^{2}tt̃− x^{1}x̃^{1} − x^{2}x̃^{2} − x^{3}x̃^{3}  (1.65)

(интервалом). Замечая, что по существу важна только сигнатура g, пространство Минковского часто обозначают символом ℝ^{1,3}.

Определение 27. Сверткой называется оператор ψ : V ⊗ V^{∗} ⊗ V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n} → V_{1} ⊗ … ⊗ V_{n}, действущий по правилу:

ψ : a ⊗ b ⊗ v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n} ↦ b(a) · v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n},  (1.66)

где число b(a) есть вычисление формы b ∈ V^{∗} на векторе a ∈ V.

Для краткости мы определили опускание и подъем для первого индекса, а свертку для первых двух, для других индексов операции вводится абсолютно аналогично. Эти операции позволяют получать важные инварианты тензоров (простейшие примеры — норма вектора и след оператора).

Определение 28. Пространство T_{q}^{p}(V) = V^{⊗p} ⊗(V^{∗})^{⊗q} назовем пространством (p, q)-тензоров. Элементы T_{q}^{p}(V) называются p раз контравариантными и q раз ковариантными тензорами, (p, q)-тензорами или просто тензорами. Число (p + q) называется валентностью тензора.

На пространстве T_{·}^{·}(V) = ⨁ T_{q}^{p}(V) = T (V) ⊗ T (V^{∗}) есть структура биградуированной алгебры с умножением

⊗ : T_{q}^{p}(V) × T_{q′}^{p′}(V) → T_{q+q′}^{p+p′}(V).  (1.67)

Остаются в силе уважающие градуировку операторы опускания индекса φ′ : T_{q}^{p}(V) → T_{q+1}^{p−1}(V), подъема индекса φ^{′−1} : T_{q}^{p}(V) → T_{q−1}^{p+1}(V) и свертки ψ : T_{q}^{p}(V) → T_{q−1}^{p−1}(V).

Определение 29. Алгебру T_{·}^{·}(V) называют тензорной алгеброй V, но мы сохраним это название для T (V).

Заметим, что пара (p, q) есть номер компоненты биградуировки T_{·}^{·}(V), а валентность — номер компоненты градуировки. Многие компоненты T_{·}^{·}(V) пристально изучаются в линейной алгебре. Их возможные интерпретации можно задать, например, такими изоморфизмами:

• T_{0}^{1}(V) — само пространство V, T_{1}^{0}(V) — 1-формы на V (ковекторы),

• T_{1}^{1}(V) — операторы на V, T_{k}^{k}(V) — операторы на V^{⊗k},

• T_{2}^{0}(V) — билинейные формы на V, T_{0}^{2}(V) — билинейные формы на V^{∗},

• T_{q}^{p}(V) — операторы Hom(V^{⊗q}, V^{⊗p}).

Заметим, что изоморфизмы T_{p}^{0}(V) = T_{0}^{p}(V^{∗}) = (T_{0}^{p}(V))^{∗} нам уже встречались (задачи 13 и 20).

Хотя нам это не понадобится, дадим краткое описание координатного подхода к тензорной алгебре.

Пусть в V фиксирован базис {e_{i}}, двойственный базис в V^{∗} обозначим как {e^{j}} (двойственность базисов означает, что e^{j}(e_{i}) = δ_{i}^{j}. Тогда в T_{q}^{p} есть базис {e_{i_{1}}⊗…⊗e_{i_{p}}⊗e^{j_{1}}⊗…⊗e^{j_{q}}}, коэффициент разложения (p, q)-тензора T по нему обозначим как T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...i_{p}}. Тогда для координат произведения тензоров R = T ⊗ S выполнено тождество:

R_{j_{1}...j_{q}m_{1}...m_{s}}^{i_{1}...i_{p}n_{1}...n_{r}} = T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...i_{p}}S_{m_{1}...m_{s}}^{n_{1}...n_{r}}.  (1.68)

Если замена координат на V задана матрицей C : f_{i} = C_{i}^{j}e_{j} (по повторяющимся индексам происходит суммирование), то, как известно, двойственный базис преобразуется матрицей (C^{−1})^{T} = C̃ : f^{i} = C̃_{j}^{i}e^{j}. Тогда, новые координаты T в базисе {f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{p}} ⊗ f^{j_{1}} ⊗ … ⊗ f^{j_{q}}} выражаются через старые по формуле:

T_{j_{1}...j_{q}}^{′i_{1}...i_{p}} = C_{n_{1}}^{i_{1}} … C_{n_{p}}^{i_{p}} C̃_{j_{1}}^{m_{1}} … C̃_{j_{p}}^{m_{p}}T_{m_{1}...m_{q}}^{n_{1}...n_{p}}.  (1.69)

Часто тензоры определяют как наборы значков, преобразующиеся по формуле 1.69; к сожалению, такой подход имеет право на существование, будучи распространенным в физической литературе. Но мы его осуждаем!

Задача 43. Найдите координатные выражения для свертки, подъема (опускания) индекса и действия альтернатора (симметризатора).

Запись T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...(i_{l}...i_{k})...i_{p}} означает координаты симметризованного по знач-

кам i_{l} … i_{k} тензора, T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...[i_{l}...i_{k}]...i_{p}} — антисимметризованного по i_{1} … i_{k} (догадайтесь, что это значит, и придумайте определения). По нижним значкам аналогично.

Глава 2

Многообразия

2.1 Понятие вещественного многообразия

Механические системы со стационарными удерживающими голономными связями естественным образом приводят к вещественным гладким многообразиям в качестве конфигурационных пространств. Далее рассматриваются многообразия абстрактно, вне связи с конкретными примерами механических систем, подобные примеры предполагается рассмотреть в другой части курса.

Пусть M — произвольное множество.

Определение 30. Картой в M называется пара (U, ϕ), где U — подмножество в M, а ϕ : U → Ω — биекция между U и некоторым открытым подмножеством Ω в ℝ^{n}. Множество U — область определения карты, отображение ϕ — картирующее отображение. Набор из n чисел, сопоставляемых каждой точке U картирующим отображением — локальные координаты.

Пусть (U, ϕ) и (V, ψ) две карты, причем W = U ⋂ V ≠ ∅. Тогда определено отображение

ψ|_{W} ∘ (ϕ|_{W})^{−1} : ϕ(W) → ψ(W)  (2.1)

из множества ϕ(W) ⊂ ℝ^{n} в множество ψ(W) ⊂ ℝ^{n}. Его называют сквозным отображением (сквозным морфизмом). Далее мы будем писать ψ ∘ ϕ^{−1} подразумевая соответствующие сужения.

Пусть Ω — открытое подмножество ℝ. Напомним, что символом C^{r}(Ω) (где r = 0, 1, …), обозначают пространство r раз непрерывно дифференцируемых вещественных функций на Ω, C^{∞}(Ω) — пространство бесконечно дифференцируемых функций, а C^{ω}(Ω) — вещественно аналитических функций (то есть таких, что их ряды Тейлора сходятся к ним в окрестности всех точек Ω). Имеют место строгие включения

C^{0}(Ω) ⊋ C^{1}(Ω) ⊋ C^{2}(Ω) ⊋ … ⊋ C^{∞}(Ω) ⊋ C^{ω}(Ω).  (2.2)

C^{r}-диффеоморфизмом (где r = 0, 1, ..., ∞, ω), называют такую биекцию f ∈ C^{r}(Ω), что обратное отображение имеет ту же гладкость: f^{−1} ∈ C^{r}(f(Ω)). В определении 42 понятие диффеоморфизма будет обобщено на отображения многообразий.

Определение 31. Две карты (U, ϕ) и (V, ψ) в M называются C^{r}-согласо-ванными (r = 0, 1, ..., ∞, ω), если выполнено одно их следующих условий:

1. W = U ⋂ V = ∅

2. Множества ϕ(W) и ψ(W) открыты в ℝ^{n}, отображение 2.1 является C^{r}-диффеоморфизмом.

Определение 32. Множество карт {(U_{α}, ϕ_{α})} называется C^{r}-атласом на M, если

1. Любые две карты этого множества C^{r}-согласованы.

2. Имеет место равенство

⋃_{α} U_{α} = M  (2.3)

Мотивацией для подобного рода названий служило обычное картографирование местности.

Пример 1. На множестве ℝ^{1}, очевидно, картой может служить (ℝ^{1}, x ↦ x). Атлас состоит из одной карты. Другой атлас, опять же из одной карты: {(ℝ^{1}, x ↦ x^{3})}. Очевидно, оба атласа класса C^{ω}.

Упражнение 1. Возьмите на ℝ^{1} атлас, состоящий из объединения двух карт из предыдущего примера. Какой он гладкости?

Упражнение 2. Придумайте атласы разной гладкости на ℝ^{n}.

Задача 44. 1. Покажите, что на S^{1} не может быть атласа, состоящего из одной карты.

2. Постройте какой-нибудь атлас.

3. Постройте атлас из минимального числа карт. В случае, если он совпал с атласом из предыдущего пункта, постройте еще один атлас.

4. Каковы гладкости построенных атласов?

Задача 45. То же для n-мерных сфер S^{n}.

Задача 46. То же для двумерного тора T^{2}.

Задача 47. Постройте атлас для вещественного проективного пространства^{1} ℝP^{n}.

1Проективным пространством 𝕂P^{n} называется множество одномерных подпространств в n+1-мерном векторном пространстве над 𝕂, или, что то же, фактор этого пространства без нуля по действию мультипликативной группы поля: 𝕂P^{n} = 𝕂^{n+1} \ {0}/𝕂^{∗}

Задача 48. Постройте атлас для множества всех прямых в ℝ^{2}. Покажите, что полученое многообразие гомеоморфно листу Мебиуса.

Задача 49. Постройте атлас для множества обратимых матриц GL(n, ℝ).

Задача 50. Постройте атлас для множества ортогональных матриц O(n, ℝ).

Указание. Матрица A неисключительна, если det(A + id) ≠ 0. Для неисключительных матриц определен кели-образ (id − A)(id + A)^{−1}. Неисключительная матрица тогда и только тогда ортогональна, когда ее кели-образ является кососимметрической матрицей (докажите!). Кососимметрические матрицы образуют векторное пространство. Тем самым получено картирующее отображение из окрестности единицы группы (ортогональные неисключительные матрицы) в открытое множество неисключительных кососимметричных матриц. Все остальные карты получаются правым сдвигом. Осталось показать, что карты гладко согласованы.

Задача 51. Покажите, что поверхность уровня гладкой функции, определенной во всем пространстве ℝ^{n} с градиентом, отличным от нуля в каждой точке поверхности уровня, покрывается гладким атласом.

Задача 52. Покажите, что множество матриц с единичным определителем SL(n, ℝ) имеет гладкий атлас.

Определение 33. Два C^{r}-атласа {(U_{α}, ϕ_{α})}, {(U_{β}, ψ_{β})} называются эквивалентными, если C^{r}-согласованы любые две карты: (U_{α}, ϕ_{α}) и (U_{β}, ψ_{β}).

Упражнение 3. Докажите, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности.

Упражнение 4. Докажите, что два атласа C^{r}-согласованы, если и только если их объединение опять является C^{r}-атласом.

Определение 34. Атлас называется полным (максимальным), если всякая карта, гладко согласованная с каждой картой атласа, уже принадлежит атласу.

Упражнение 5. Докажите, что в каждом классе эквивалентности атласов лежит один и только один полный атлас.

Определение 35. Класс C^{r}-эквивалентных атласов называется C^{r}-струк-турой на M.

Определение 36. C^{r}-многообразие — пара (M, D), где M — некоторое множество, D — C^{r}-структура на нем.

C^{0}-многообразия называют топологическими многообразиями (или просто многообразиями), соответственно структуру называют топологической; C^{r}-многообразия (r = 1, 2, ..., ∞) — гладкими, а соответствующую структуру — гладкой или дифференциальной; C^{ω}-многообразия — вещественно аналитическими.

Определение 37. Размерность пространства ℝ^{n} в котором действуют сквозные отображения называется размерностью многообразия.

Упражнение 6. Убедитесь в том, что размерность многообразия не зависит от выбора атласа.

Гладкую структуру можно восстановить, задав любой ее C^{r}-атлас.

Пример 2. На множестве ℝ^{n} гладкая структура задается атласом (из одной карты) (ℝ^{n}, id), такая гладкая структура называется стандартной.

Задача 53. Докажите, что картами стандартной структуры могут служить пары открытые множеств и их диффеоморфизмов с ℝ^{n}.

Теорема 1. Если на M существует хотя бы одна C^{r}-структура (r ≥ 1), то на M существует не менее континуума C^{r}-структур.

Мы не будем доказывать эту теорему, дадим лишь примеры ее иллюстрирующие.

Пример 3. Рассмотрим множество ℝ^{1}. Атласы вида (каждый атлас состоит из одной карты) {(ℝ^{1}, x ↦ x^{2k+1})}, k = 0, 1, 2, ..., задают на ℝ^{1} различные дифференциальные структуры, потому что объединение любых двух атласов такого типа дают лишь C^{0}-структуру. Атлас, состоящий из единственной карты, можно считать сколь угодно гладким. Тем самым построено счетное число различных C^{ω}-структур на ℝ^{1}.

Задача 54. Постройте континуум (и докажите, что их не больше, чем континуум) различных C^{ω}-структур на ℝ^{1}.

Везде далее для дифференциальных структур r предполагается фиксированным. Дифференциальная структура индуцирует на M топологию, описанную в следующем определении

Определение 38. Подмножество A ⊂ M открыто, если для любой карты (U, ψ) множество ψ(A ⋂ U) открыто в ℝ^{n}.

Упражнение 7. Проверьте, что все аксиомы топологического пространства выполнены.

Определение 39. Говорят, что пространство локально евклидово, если каждая точка пространства имеет окрестность, гомеоморфную ℝ^{n}.

Упражнение 8. Покажите, что локально евклидово пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Многообразие — локально евклидово пространство, то есть каждое многообразие удовлетворяет первой аксиоме счетности. Но, вообще говоря, многообразия в нашем определении не удовлетворяют второй аксиоме счетности.

Пример 4. Возьмем два экземляра вещественной прямой ℝ^{1}, один с дискретной топологией, другой с обычной. Рассмотрим их декартово произведение (как множеств) ℝ^{1} ×ℝ^{1} и введем на нем топологию произведения. База получившегося пространства несчетна, потому что несчетна база одного из сомножителей. Картами может служить набор из континуума диффеоморфизмов ℝ^{1}. Полученное гладкое многообразие одномерно и не обладает счетной базой.

Гладкое многообразие как топологическое пространство может быть нехаусдорфовым. Соответствующие примеры строятся довольно элементарно. Вот парочка.

Пример 5. Пусть M = (ℝ \ {0}) ∪ {x_{0}, y_{0}}, U = M \ {x_{0}}, V = M \ {y_{0}}. Определим картирующие морфизмы:

ϕ : U → ℝ, ψ : V → ℝ  (2.4)

по формулам

ϕ(x) = \begin{cases}x, & если x ∈ ℝ \ \{0\}, \\ 0, & если x = x_{0} \end{cases}  (2.5)

для любого x ∈ U и

ψ(y) = \begin{cases}y, & если y ∈ ℝ \ \{0\}, \\ 0, & если y = y_{0} \end{cases}  (2.6)

для любого y ∈ U.

Получили вещественно аналитическое многообразие, и в топологии этого многообразия любые две окрестности точек x_{0} и y_{0} пересекаются. Построенное многообразие называется раздвоенной в нуле прямой (или нехаусдорфовой прямой с особой точкой 0 кратности два). Аналогично строятся нехаусдорфовы прямые с особыми точками кратности n, где n — натуральное число ≥ 2

Пример 6. Разобьем интервал (0, 3) в несвязное объединение трех множеств: (0, 1], (1, 2], (2, 3). Окрестности точки x_{1} = 1 имеют вид (1 − ϵ, 1] ∪ (2, 2 + ϵ). Окрестности x_{2} = 2 имеют вид (2 − ϵ, 2] ∪ (2, 2 + ϵ). Окрестности остальных точек такие же, как в топологии, индуцированной вещественной прямой. Тогда точки x_{1} и x_{2} неотделимы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда на исходном множестве уже есть топология и мы вводим на нем дифференциальную структуру. Говорят, что дифференциальная структура согласована с топологией пространства, если эта структура определяет топологию, совпадающую с данной. Очевидно, что если дифференциальная структура согласована с топологией, то области определения всех картирующих морфизмов открыты. На самом деле верно и обратное, желающие могут доказать это в качестве (несложного) упражнения. В учебной литературе встречается определение гладкого многообразия как топологического пространства с фиксированной дифференциальной структурой, но это тоже самое, что говорить про метрическое пространство, что это топологическое пространство с непрерывной функцией из декартова квадрата в себя, удовлетворяющее соответствующим аксиома. Однако так удобно делать в случае, если мы фиксируем дифференциальную структуру при помощи пучка гладких функций (чтобы говорить о пучке уже нужна топология). Или, если мы хотим избежать патологий и даем определение такого типа:

Определение 40. C^{r}-многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, с фиксированной C^{r}-структурой.

Нехаусдорфовы многообразия мы отбрасываем, потому что в дальнейшем нам придется рассматривать дифференциальные уравнения на многообразиях, а на нехаусдорфовом многообразии неверна теорема о единственности продолжения решения дифференциального уравнения (теорема о локальной единственности решения верна). Для многообразий со второй аксиомой счетности атлас состоит из не более чем счетного числа карт.

Задача 55. Покажите, что C^{0}-структура на многообразии единственна. Или, что то же самое, что топологические многообразия — это в точности локально евклидовы пространства.

Сформулируем несколько очень интересных теорем, доказательство которых выходит за план элементарного введения в основы гладких многообразий для нужд классической механики.

Теорема 2. Если на пространстве M существует C^{r}-структура (r ≥ 1), то на нем существует C^{∞}-структура (и даже C^{ω}-структура), C^{r}-согласованная с данной.

Теорема 3. Если на пространстве M существует C^{0}-структура и dim M < 4, то на нем существует C^{1}-структура (и значит C^{∞}-структура).

Многообразия, на которых есть C^{0}-структура, но невозможно ввести C^{r}-структуру (r ≥ 1) называют несглаживаемыми.

Перейдем теперь к морфизмам многообразий. Пусть M,N — гладкие многообразия (размерностей m и n соответственно).

Определение 41. Пусть f — непрерывное отображение f : M → N, x — некоторая точка M, (U, ϕ) — карта в M, такая что x ∈ U, (V, ψ) — карта в N, такая что f(x) ∈ V. Тогда имеем отображение:

f̂ = ψ ∘ f|_{U} ∘ ϕ^{−1} : ϕ(U) → ψ(V)  (2.7)

Отображение f называют гладким в точке x, если f̂ гладкое в точке ϕ(x).

Упражнение 9. Покажите, что определение гладкого отображения в точке x корректно — не зависит от выбора карт, содержащих точку x и f(x).

Отображение f : M → N называют гладким, если он гладкое во всех точках x ∈ M.

Определение 42. Гладкое отображение f : M → N называется диффеоморфизмом, если

1. оно биективно,

2. обратное отображение f^{−1} : N → M гладкое.

Многообразия, между которыми есть диффеоморфизм, называют диффеоморфными (убедитесь, что диффеоморфность многообразий является отношением эквивалентности).

Интересной представляется задача классификации дифференциальных структур на данном множестве с точностью до диффеоморфизма. Например, известно, что все дифференциальные структуры на многообразиях размерности меньше 4 диффеоморфны, все дифференциальные структуры на ℝ^{n}, n ≠ 4 диффеоморфны, а на ℝ^{4} существует континуум не диффеоморфных дифференциальных структур. В 1956 г. Дж. Милнор показал, что существуют 28 дифференциальных структур на S^{7}.

Рассмотрим индуцирование гладкости.

Определение 43. Пусть N — некоторое топологическое пространство, M — гладкое многообразие и f : N → M — гомеоморфизм, {(U_{α}, ϕ_{α})} — гладкий атлас на M. Тогда {(f^{−1}(U_{α}), ϕ_{α} ∘ f)} — атлас на N. Дифференциальную структуру, задаваемую этим атласом называют индуцированной отображением f .

Упражнение 10. Убедитесь в том, что {(f^{−1}(U_{α}), ϕ_{α} ∘ f)} — атлас.

Упражнение 11. Покажите, что M и N с индуцированной дифференциальной структурой диффеоморфны.

Упражнение 12. Покажите, что дифференциальные структуры, перенесенные на N c M посредством гомеоморфизмов f : N → M и g : N → M тогда и только тогда совпадают, когда g∘f^{−1} : M → M — диффеоморфизм.

Упражнение 13. Убедитесь в том, что множество дифференциальных структур на M, диффеоморфных данной (D) можно отождествить с пространством орбит правого действия группы Diff((M, D)) (группой всех диффеоморфизмов (M, D) с групповой операцией композиция) на группе Homeo(M).

Определение 44. Если f : M → N и N — гладкое отображение многообразий, где N есть ℝ^{1} со стандартной гладкой структурой, то f называют гладкой функцией на M.

Определение естественным образом распространятся на произвольное открытое множество в M. Продумайте, какие надо сказать слова, чтобы получить определение гладкой функции на произвольном множестве многообразия M.

Определение 45. Многообразие называется ориентируемым, если оно обладает атласом, для которого якобиан любого сквозного морфизма всюду положителен.

Как обычно, два ориентирующих атласа называют эквивалентными, если их объединение снова ориентирующий атлас (проверьте, что это отношение эквивалентности).

Определение 46. Ориентацией многообразия называется класс эквивалентных ориентирующих атласов.

Определение 47. Ориентированным многообразием называется многообразие с фиксированной ориентацией.

Теорема 4. Связное многообразие либо неориентируемо, либо допускает две ориентации.

Задача 56. Докажите, что ориентируемы:

1. Сферы S^{n}.

2. Проективные пространства нечетной размерности ℝP^{2n+1} (проективные пространства четной размерности неориентируемы).

В завершении этого параграфа укажем способ конструировать из многообразий новые.

Определение 48. Пусть (M, D_{1}), (N, D_{2}) — гладкие многообразия. На M × N вводят дифференциальную структуру, содержащую все карты вида

(ϕ × ψ, U × V); (ϕ, U) ∈ D_{1}, (ψ, V) ∈ D_{2}.  (2.8)

M × N с такой дифференциальной структурой называют декартовым произведением многообразий.

Упражнение 14. Убедитесь, что действительно получается атлас.