- Введение в теорию категорий и теорию топосов
Начало в воскресенье 5-го октября в 12:00 в ауд. 203 ПОМИ
Аннотация:
Теория категорий представляет собой язык для описание различных структур и конструкций над ними.
Язык теории категорий позволяет упростить и унифицировать различные конструкции из всевозможных областей математики, включая алгебру, топологию и даже логику, где теория категорий является источником моделей для различных формальных теорий.
Данный курс начнется с введения в базовые понятия теории категорий, после чего мы сконцентрируемся на изучении особенно хорошего вида категорий - топосов.
Мы определим внутренний язык топосов и рассмотрим два примера, в которых он применяется:
топос Eff, где все функции между натуральными числами вычислимы, и топос гладких пространств, в котором существует понятие бесконечно малого.
Примерный план:
I: Категории, функторы, естественные преобразования.
II: Сопряженные функторы, (ко)пределы, универсальные конструкции.
III: Категории предпучков.
IV: Элементарные топосы.
V: Топосы Гротендика.
VI: Внутренний язык топосов.
VII: Примеры: топос Eff, модели синтетической дифференциальной геометрии.
Геометрические сюжеты
(A) Курс ориентирован на студентов 1-3 курсов. Он состоит из нескольких несвязанных между собой частей:
Топологический сюжет. Трехмерные многообразия: разбиения Хегора, перестройки, теорема Дена-Ликориша, теорема Рохлина.
Комбинаторный сюжет. «Знаменитые многогранники»: пермутоэдр, ассоциэдр, когерентные триангуляции, многогранник Гельфанда-Капранова-Зелевинского.
Алгебро-геометрический сюжет. Проективные алгебраические многообразия, проективная двойственность; в направлении теории Пикара-Лефшеца.
Прикладной сюжет. Шарнирные механизмы – вопросы жесткости и изгибаемости,
универсальность шарнирных механизмов.
(В) Первое занятие состоится в пятницу 12 сентября, в 9-30, 14 линия, ауд. 32.
Вероятно, в дальнейшем время изменится. О своих пожеланиях по времени пишите мне;
окончательно мы определимся на первом-втором занятии.
(С) Пререквизиты: не требуется никаких особых знаний. Курс предполагается простым, его цель — вкратце познакомить слушателей с указанными темами.
- С.В.Дужин
"Арифметика гиперболических многообразий"
(по средам, в лаборатории Чебышева, ауд. 413, начало в 17 часов, первая лекция 8-го октября).
Трехмерное многообразие называется гиперболическим, если на нем есть метрика
постоянной отрицательной кривизны. Оказывается, что с гиперболическим
3-многообразием конечного объема можно связать числовое поле (конечное
расширение Q в C). Курс посвящен обсуждению этой связи. Мы будем
опираться, главным образом, на книгу C.Maclachlan, A.Reid "The arithmetic of
hyperbolic 3-manifolds".
Курс рассчитан на 10-12 лекций. Первая лекция 17.09.2014.
Предполагается, что слушатели знакомы с основами топологии, теории групп
и алгебраической теории чисел.
Краткая программа:
1. Обзор необходимых сведений из теории чисел.
2. Гиперболические многообразия и Клейновы группы.
3. Топология и геометрия дополнения к узлу восьмерка.
4. Теорема жесткости Мостова.
5. Инвариантное поле гиперболического многообразия.
6. Способы вычисления инвариантных полей. Примеры:
6-1. Дополнение к узлу восьмерка.
6-2. Группы Бьянки.
6-3. Рациональные узлы и зацепления.
6-4. Многообразия Фибоначчи.
6-5. Фуксовы группы.
7. Кватернионная алгебра Клейновой группы.
Связь с инвариантным полем.
8. Арифметические Клейновы группы.
9. Объем гиперболического многообразия.
Связь с инвариантным полем. - В пятницу 12 сентября 2014 в 19.00 в ауд.413
(лаборатория Чебышева,, 14 линия В.О., дом 29)
Николай Вавилов начнет чтение полугодового спецкурса
АЛГЕБРЫ КАРТАНОВСКОГО ТИПА
Классификация простых алгебр над (алгебраически замкнутыми) полями характеристики 0 классически известна и находилась в центре всей математики XX века. Эти алгебры образуют знаменитый список Картана—Киллинга, Al, Bl, Cl, Dl, E6, E7, E8, F4, G2. Значительно менее
известна классификация простых алгебр Ли над полями положительной характеристики. Дело в том, что при этом кроме упомянутых выше классических простых алгебр появляются новые простые алгебры совершенно другой структуры, первые примеры которых были
обнаружены Виттом, Цассенхаузом, Джекобсоном, Франк и другими.
В 1960-х годах Кострикин и Шафаревич единообразно истолковали все эти примеры как алгебры Картановского типа: общие Wl, специальные Sl, гамильтоновы Hl, и контактные Kl. В характеристике 0 эти алгебры тоже классически известны и интерпретируются как алгебры полиномиальных векторных полей, сохраняющие различные инварианты. Однако правильным аналогом многочленов над полями положительной характеристики являются вовсе не многочлены, а (конечномерные!) алгебры разделенных степеней, поэтому соответствующие алгебры становятся конечномерными.
Кострикин и Шафаревич сформулировали гипотезу о классификации простых алгебр над полями характеристики p>7, которая в дальнейшем блестяще подтвердилась. Вначале Блок, Уилсон и Штраде доказали эту гипотезу, а совсем недавно Штраде и Премет смогли распространить эту классификацию на все характеристики p>3, при этом появляется ровно
один новый тип простых алгебр, алгебры Меликяна. В настоящее время школа Кузнецова близка к завершению классификации и в характеристике p=3, где возникает много дальнейших замечательных примеров.
Целью спецкурса является построение и изучение структуры алгебр картановского типа, а также их представлений и когомологий, до уровня необходимого, чтобы сформулировать классификацию простых модулярных алгебр Ли. При этом возникает масса совершенно новых
явлений, не имеющих никаких аналогов в классической (конечномерной) теории в характеристике 0. Мы собираемся подробно обсудить нарушение полной приводимости, потерю жесткости, длинные градуировки, несопряженность подалгебр Картана и другие типичные бесконечномерные явления, которые в положительной характеристике возникают уже в конечномерной ситуации.
Никаких предварительных знаний в области теории алгебр Ли не предполагается, как обычно, мы начнем с краткого crash-course по классификации в характеристике 0 (параллельно Александр Лузгарев читает обстоятельный курс по классификации Картана—Киллинга, с
полными доказательствами). Спецкурс должен быть понятен студентам начиная со 2-го курса и интересен для всех, кто до этого не сталкивался с неклассической (= неполупростой) теорией представлений. - "Симплициальная теория гомотопий"
Лаборатория Чебышева по субботам в 17:15.
начало 20 сентябряКлассическая теория гомотопий изучает топологические пространства и непрерывные отображения между ними с точностью до гомотопии. Цель спецкурса заключается в том, чтобы построить аналог этой теории для симплициальных множеств. Эти две теории в некотором смысле эквивалентны (а именно есть эквивалентность гомотопических категорий). В частности, гомотопические группы сфер можно изучать на языке симплициальных множеств.Одним из удобств симплициального подхода является то, что, кроме обычных симплициальных множеств, можно рассматривать симплициальные группы, которые несут больше структуры, и работа с которыми намного удобнее. На этом пути появляется так называемая спектральная последовательность Кёртиса (Curtis), которая сходится к гомотопическим группам односвязного симплициального множества. С её помощью можно изучать гомотопические группы сфер. В конце курса планируется с её помощью доказать, что гомотопические группы маломерных сфер не равны нулю (кроме тех, которые равны нулю по очевидным соображениям).Основным источником будет большая статья Кёртиса:Edward B. Curtis "Simplicial Homotopy Theory" (1971).В качестве вспомогательного материала могут быть использованы книги:Paul G. Goerss, John F. Jardine "Simplicial Homotopy Theory" (1997),J. Peter May "Simplicial Objects in Algebraic Topology" (1967). - Семинар "Неклассическая алгебраическая геометрия", руководитель - М.В,
Бондарко, первое занятие - в 18:00 во вторник, 16 сентября, в
аудитории 427 лаборатории Чебышева (14 линия В.О. д. 29; встречаемся в
"холле" лаборатории - от вахты нужно долго идти по коридору налево;
если путь преградит запертая дверь - звонить в нее
). Тема первого
доклада - "Когомологии гензелизаций".
Класическая алгебраическая геометрия рассматривала, в основном,
многообразия над полем комплексных чисел (и над другими полями нулевой
характеристики). Одно из центральных ее достижений - теорема о
разрешении особенностей Хиронаки (при помощи раздутий; см.
http://en.wikipedia.org/wiki/Resolution_of_singularities. К сожалению,
за прошедшие с момента ее доказательства 50 лет доказать аналогичный
результат для поля положительной характеристики не удалось. Однако, де
Йонг придумал и доказал несколько более слабый, но вполне достаточный
для многих приложений аналог этой гипотезы. Его результат был улучшен
замечательным алгебраических геометром О. Габбером. Он же доказал ряд
других важных утверждений "неклассической" т.е. "схемной"
алгебраической геометрии (улучшающих результаты Гротендика и его
соавторов, создавших это направление в третьей четврти XX века).
Наш семинар будет посвящен различным результатам де Йонга и Габбера, в
том числе - описанным в книге http://arxiv.org/abs/1207.3648.
М.В. Бондарко будет рад любым откликам на странице
http://buddha239.livejournal.com/163367.html и всем, кто придет на
первое занятие. Возможно, начало следующих докладов будет немного
сдвинуто по времени.