Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

Возникновение математической физики было аналогично возникновению современной геометрии. Геометрия в переводе означает землемерие, и в ней изучались формы тел в окружающем мире, а также форма мира. В середине 19 века появилась идея изучать мир, в котором не выполняется пятый постулат Евклида, таким образом были придуманы новые формы. Одновременно появилась идея пространства, размерность которого превышает 3, пространства не существующего, но доступного воображению. Эти две идеи соединились в геометрии Бойяи, мир, в котором через точку не проходит ни одной прямой, параллельной данной, оказался трехмерной сферой в четырехмерном пространстве. После чего геометрия перешла к изучению не форм в нашем мире, а форм, в каком-то смысле похожих на формы, существующие в нашем мире. В математической физике основным объектом изучения являются теории, то есть миры, в чем-то похожие на наш. Некоторые существенно более простые (например, пространство-время в них одномерное или двумерное), а некоторые существенно более сложные, как 11 мерная супергравитация, но обладающие большими симметриями. В курсе будут разобраны основные идеи и методы математической физики на простейших примерах.

Примерный план курса.

1. Учимся воображать – многомерные пространства.

2. Механика Ньютона как воображаемая теория, разбор ошибок Ньютона и Галилея

3. Механика и многомерная геометрия

4. Что же такое тело – идея ренормгруппы для твердого тела и для газа

5. Поле как новый вид материи, идея эфира как попытка представить поле как эффективный, а не фундаментальный объект

6. Принцип наименьшего действия как замена мира Ньютона, включающего поля

7. Как устроена инерция при движении по искривленным пространствам

8. Массивное скалярное поле, симметрия Лоренца, фазовая и групповая скорость или почему волна не обгоняет свет.

9. Грассмановы числа, супералгебра и действие для теории Максвелла ( а также для многих родственных теорий в разных измерениях)

10. Электромагнитная двойственность и почему при размерности пространства-времени 3 теория электромагнетизма эквивалентна теории эфира.

11. Метод множителей Лагранжа и вывод Гамильтоновой механики из принципа экстремального действия

12. Взаимодействие частицы с электромагнитным полем и сила Лоренца и бесконечности классической физики, перенормировка

В этом курсе мы затронем основные методы построения модельных категорий: small object argument, факторизационные системы, трансферы через сопряжения, локализации Бусфильда универсальных модельных категорий. Применим эти методы для быстрого построения модельных структур на:

1) категории обогащенных категорий над данной моноидальной модельной категорией

2) категориях с тензором и котензором над симплициальными множествами.

3) На категориях функторов и др. основных категориях. По результатам статей Даггера увидим, что в действительности существует достаточно много симплициальных модельных категорий. (Квиллен эквивалентность A с sA, где на sA заведена некоторая модельная структура совместимая с обогащением).

Покажем как строить универсальные модельные категории по данным категориям. Оказывается, все комбинаторные модельные категории происходят из локализации универсальных, т. е. своего рода задание с помощью генераторов и образующих. Каждая комбинаторная модельная категория эквивалентна собственной слева симплициальной модельной категории.

Применим универсальные модельные категории для построения теории гомотопий с предписанными line-объектами. Подметим, что конструкция Воеводского и Мореля A1-теории гомотопий - это на самом деле и есть формальная процедура построения локализации универсальной модельной категории по категории Sm гладких схем конечного типа над фиксированным полем, и добавления соотношений возникших с Гротендиковской топологии на Sm + A1 схема это line-объект. Аналогичная ситуация возникает и с топологическими многообразиями, где A1 это вещественные числа R. Все гомотопические теории возникающих их этих модельных эквивалентны стандартной гомотопической теории пространств.

Обсудим структуру Джояла на симплициальных множествах (где фибратные объекты - это в точности малые бесконечность-категории) и установим Квиллен эквивалентность с категорией симплициальных категорией с модельной структурой Бергнера.

Затронем соответствие представимых бесконечность-категорий с модельными категориями. Рассмотрим как данное соответствие применяется например в вопросах о пределах и копределах в инф категориях (пример Cat_inf и категории отмеченных симплициальных множеств), и в вычислении когомологий Квиллена определенных в представимых стабильных бесконечность категорий.

К курсу необходимых пререквизитов нет. Единственно, что было бы желательно, так это иметь представление о том, зачем нужны модельные категории.

Список литературы использумой в изложении:

J. Ada ́mek and J. Rosicky, Locally Presentable and accessible categories

A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy limits, completions, and localizations

D. Dugger, Replacing model categories by simplicial ones

D. Dugger, Universal homotopy theories, Preprint.

D. Quillen, Homotopical Algebra,

Stefan Schwede, Spectra in model categories and applications to the algebraic cotangent complex

D. Dugger, Combinatorial model categories have presentations

Y. Harpaz and M. Prasma, The Grothendieck construction for model categories

J. Lurie, Higher topos theory

J. Lurie, Higher Algebra

Alexandru Stanculescu, Constructing model categories with prescribed fibrant objects

M. Hovey, Model categories

Paul G. Goerss, John F. Jardine, Simplicial homotopy theory

Philip S. Hirschhorn, Model categories and their localizations

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, Matan Prasma, The tangent bundle of a model category

Семинар посвящен построению и изучению представлений бесконечномерных алгебр Ли, таких как алгебры Ли бесконечных матриц, алгебра Вирасоро, алгебра Гейзенберга и аффинных алгебр Каца-Муди в приложении к конформной теории поля. Доклады основаны на Бомбейских лекциях по теории представлений, прочитанных в институте Тата (г. Бомбей) Виктором Кацем и Натальей Рожковской в 1985-1986 годах и изданных в книге: "Бомбейские лекции о представлениях со старшим весом бесконечномерных алгебр Ли", соответствующих авторов. К данному анонсу прилагаются английская и русская (дополненная и существенно исправленная) версии.

Пререквизиты:

1) Базовые знания про алгебры Ли и теорию представлений

2) Желательно предварительное ознакомление с начальными главами вышеупомянутых Бомбейских лекций: участникам, освоившим материал первых 4-х лекций будет проще, однако в случае необходимости материал первых 4-х лекций может быть повторно разобран на семинаре Семинар предполагает работу и участие каждого присутствующего - доклады организуют сами участники семинара.

The seminar is devoted to the construction and study of representations of infinite dimensional Lie algebras such as infinite matrix Lie algebras, Virasoro algebra, Heisenberg algebra and affine Katz-Moody algebras in application to conformal field theory. The seminars are based on the Bombay Lectures on representation theory given by Victor Katz and Natalia Rozhkovskaya at the Tata Institute (Bombay) in 1985-1986 and published in the book: "Bombay lectures on representations with highest weight of infinite-dimensional Lie algebras", by the respective authors. The English and Russian (extended and substantially corrected) versions are attached to this announcement.

Prerequisites:

1) Basic knowledge of Lie algebras and representation theory.

2) Previous knowledge of the first chapters of the Bombay lectures is desirable: participants who have mastered the material of the first 4 lectures will have an easier time, but if necessary the material of the first 4 lectures can be reviewed in the seminar. The seminar requires the work and participation of everyone present - the presentations will be organised by the participants themselves.