Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

You are not logged in. (Login)
 

 
Skip Main MenuSkip Calendar

Calendar

Mon Tue Wed Thu Fri Sat Sun
      1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 Today Sunday, 25 February 25
26 27 28 29    

Последние известия

Picture of Egor Pifagorov
С. Ягунов, "Модулярные формы и приложения"
by Egor Pifagorov - Friday, 16 February 2024, 03:31 PM
 

С. Ягунов

Модулярные формы и приложения III



Весной 2024 продолжается курс "Модулярные формы и приложения II"
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 20 сентября в ПОМИ (комната 311)
Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста здесь.
Сайты курса: yagunov.info/Modular/mindex4.html
https://indico.eimi.ru/category/97/
Телеграм канал: https://t.me/+-vqf-efH3yIzNzli


В первом семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций относительно полной модулярной группы SL_2(ℤ). Мы определили модулярные функции и формы, вычислили размерности их пространств, определили действующие в этих пространствах операторы Гекке (Hecke). Также обсуждались различные арифметические приложения, такие, например, как формулы для сумм степеней делителей чисел и функция Рамануджана.

Второй семестр был, в значительной степени, посвящен эллиптическим функциям и кривым. Мы ознакомились с различными подходами к теории эллиптических функций, научились считать рациональные точки на некоторых эллиптических кривых, определили их дзета-функции. Мы обсудили такие широко известные гипотезы, как гипотеза Хассе и Берча-Суиннертон-Дайера. Также, в качестве одного из хорошо известных арифметических приложений теории эллиптических кривых, мы обсуждали классическую задачу о конгруэнтных числах.

В этом семестре мы займемся развитием теории модулярных форм относительно конгруэнц-подгрупп. Постараемся рассказать немного о гипотезе Таниямы-Вейля (из которой следует, например, великая теорема Ферма) и о стратегии ее доказательства.

Однако, мы начнем семестр, как обычно, с обсуждения одного классического вопроса из арифметики. На сей раз, это будет проблема о представимости чисел суммами квадратов, и вычислении числа таких представлений. Ответы на эти вопросы мы извлечем из теории модулярных форм. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, приглашаются, также, заинтересованные слушатели, не участвовавшие в предыдущих семестрах.
Picture of Egor Pifagorov
И.А. Панин, "Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика"
by Egor Pifagorov - Sunday, 11 February 2024, 06:22 PM
 

И.А. Панин

Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика II

Курс продолжается в весеннем семестре 2024. Первое занятие в пятницу 16 февраля.
Ауд. 203 ПОМИ
19.30.-- 21.30

И.А. Панин

Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика


Лекции будут читаться в ПОМИ. Заинтересованных просьба зарегистрироваться На первом организационном занятии (на неделе 4 -- 8 августа) для спецкурса решится точный день и точное время. Все будет объявлено в рассылке зарегистрированным и на сайте физматклуба
А.Гротендик определил группы К_0(Х) алгебраических ногообразий для того, чтобы сформулировать и доказать общую теорему Римана--Роха. Последняя является одним из ключевых вычислительных средств в алгебраической геометрии. Цель настоящего курса -- сформулировать и доказать указанную теорему в формулировке А.Гротендика. В работах А.Л.Смирнова и лектора была сформулирована и доказана еще более общая теорема такого типа: а именно, было введено общее понятие интегрирования на кольцевых теорих когомологий и доказали, что любое кольцевое преобразование теории phi: А --> В такое, что phi(класс Эйлера в А)=классу Эйлера в В, согласовано с интегрированиями на А и на В. Если теперь положить А=К_0, В=когомологии с рациональными коэффициентами, phi=ch (характер Черна), и сопрячь обычную ориентацию в когомологиях на род Тодда, то получится получится новая ориентация на когомологиях такая, ch(класс Эйлера в К_0)=новый класс Эйлера в когомологиях. Поэтому характер Черна согласован с обычным интегрированием (прямыми образами) на К_0 и с новым интегрированием (прямыми образами) на когомологиях. Расшифровка поледнего утверждения совпадает с теоремой Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика. Подчеркнем, что в упомянутых работах А.Л.Смирнова и лектора был раскрыт и внутренний смысл знаменателя Рода Тодда: теории А отвечает формальный групповой закон F_A над А(точки), теории В закон F_B над В(точки). Преобразованию phi отвечает морфизм Phi(t) из закона F_B в расширенный от А(точки) до В(точки) закон F_A. Род Тодда td(phi) равен по определению формальному ряду t/Phi(t). Частным случаем и является классический род Тодда t/(1-exp(-t)).

Пререквизиты.
Предполагается знание обычных когомологий и немного теории когерентных пучков. С последними можно познакомиться, например, по статье Бореля и Серра или по Хартсхорну или по брошюре Львовского (МЦНМО). Также предполагается знакомство с комплексными алгебраическими многообразиями. Данный курс расчитан на студентов 3-го, 4-го курсов, на магистрантов и аспирантов.
Picture of Egor Pifagorov
Б.Б. Шойхет, "Операды II"
by Egor Pifagorov - Monday, 5 February 2024, 06:41 PM
 

Б.Б. Шойхет

Операды II


Курс Физматклуба - EIMI, весна 2024, ПОМИ, Zoom. Сайт курса на Indico. Желающих участвовать просьба: 1. Зарегистрироваться на Indico, 2. Подписываться на Телеграм-канал "Операды" для обсуждения расписания.
В прошлом семестре мы изучили некоторые основные вопросы связанные с операдами: основные определения и примеры, топологические операды $E_n$ и их цепные операды и гомологии, свободные операды и свободные резольвенты операд.
В этом семестре предполагается обсудить вопросы теории операд связанные с высшей теорией категорий и с теорией гомотопий. Один из основных сюжетов--$n$-операды Батанина, которые не операды в смысле первого семестра, так как арность в этих операдах не целое неотрицательное число, а уровневое дерево с $n$ уровнями. Мы рассмотрим два функтора--простой функтор {\it десимметризации} $\Des$ из симметрических операд в $n$-операды, и нетривиальный функтор {\it симметризации } $\Sym$ из $n$-операд в симметрические операды, левый сопряженный к $\Des$. Глубокая и нетривиальная теорема Батанина состоит в том что симметризация стягиваемой кофибрантной $n$-операды это операда имеющая гомотопический тип $E_n$. Значение этой теоремы в том что действиями стягиваемых $n$-операд можно описывать слабые $n$-категории.
Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. Я надеюсь рассказать его основные идеи.
Также мы рассмотрим приложения как это все работает: связь с описанием гомотопических свойств категории малых дг категорий (по работе Тамаркина What do dg categories form? и моему альтернативному подходу к той же задаче), с $n$-моноидальными категориями, и если получится с первыми главами трактата Гротендика Pursuing Stacks (последнее являлось изначальной мотивацией Батанина, и впоследствии было развито в работах Бергера и Цисински).
Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов, а также знакомство с курсом Операды читанном мной в первом семестре 2023/24 учебного года.
Литература: [1.] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer
[2.] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972
[3.] M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher operads
[4.] M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and compactification of real configuration spaces
Picture of Egor Pifagorov
Кружок любителей арифметики
by Egor Pifagorov - Friday, 15 December 2023, 11:54 PM
 
В ПОМИ работает "Кружок любителей арифметики" под руководством Александра Леонидовича Смирнова. Кружок неформальный но очень серьезный. Серьезно готовых участвовать просьба писать Александру Леонидовичу. Вот страничка кружка https://indico.eimi.ru/category/107/

Обращение Александра Леонидовича:

Здравствуйте, друзья!
Это обращение к петербургским любителям арифметики. Я трепещу всякий раз, когда
сталкиваюсь с ее неповторимой красотой. Есть ли в вас это? Сердце подскажет.
Теория чисел и арифметика – одно и то же. Но не всё, что про числа, интересует нас. Проблема
Гольдбаха не к нам (простые числа нужно умножать, а не складывать), а теорема Ферма к нам.
Аналитическая теория чисел не к нам, а гипотеза Римана к нам. Как полюбить арифметику?
Никак, но можно попробовать. Например, прочесть мемуар Эйлера в «Математике и
правдоподобных рассуждениях». Слова Манина «не мы выбираем математику ... , а она нас»
– еще больше относятся к арифметике.
Любитель не тот, кто мало знает, а тот, кто любит предмет. Среди профи немало
любителей. В Математическом институте на Фонтанке собирается кружок любителей
арифметики. Мы никуда не торопимся, за чаем обсуждаем разные вещи, причем не
только арифметику, докладов обычно не бывает. К нам можно присоединиться. Много
знаний сразу не требуется. Но на голом интересе далеко не уедешь. Серьезность
намерений нужно подтверждать.
There are two kinds of amateurs, my friend...
Наш идеал – любители с широким взглядом на математику (например, Шафаревич). Вот то, что
нужно освоить для перехода к серьезным вещам: теория Галуа (Ленг, часть «Теория полей» в
«Алгебре»); ТФКП (Гурвиц, «Теория функций»); алгебраическая геометрия (Хартсхорн,
задачи там есть). По арифметике: «Основы теории чисел» Виноградова (хороша набором задач);
«Теория чисел» и Шафаревича (хороша задачами и виденьем Шафаревича).
Наш ориентир – «Введение в современную теорию чисел» Манина и Панчишкина. Нет
доказательств, но много объяснений. Освоить весь материал почти невозможно, но нужно к этому
стремиться. Нас интересуют детские рисунки, теорема Ферма, дзета функции Хассе–Вейля,
гипотеза Рамануджана и многое другое.
Будем рады школьникам, студентам, более старшим участникам. Пишите.
Всего доброго!
Александр Леонидович Смирнов
smirnov@pdmi.ras.ru


Course categories


Skip Руководство пользователя сайта

Руководство пользователя сайта



Автоматическая регистрация на сайте пока отключена из-за нашествия роботов.
Желающим зарегестроваться на сайте чтобы получать новости и подписываться на курсы просьба пока писать на адрес pifagorov@gmail.com
Skip Наши спонсоры

Наши спонсоры

EIMI
Международный Математический Институт
имени Леонарда Эйлера

Skip Наши друзьяSkip Online Users

Online Users

(last 5 minutes)
  • Guest User