Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

"Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения"

Анонс.

Изучая алгебраическую геометрию или комплексный анализ, мы довольно быстро понимаем фундаментальное значение, которое для всей области в целом играет пучок дробно-рациональных/мероморфных функций на пополненной комплексной плоскости/проективной комплексной прямой. Помимо своего фундаментального значения, этот объект обладает также достаточно простым устройством --- большинство вопросов сводятся к изучению кольца однородных комплексных многочленов, градуированного степенями.

Модулярные функции --- суть те же мероморфные функции, но на комплексных кривых специального вида, а модулярные формы (различных весов) на этих кривых аналогичны однородным многочленам на комплексной проективной прямой. Оказывается, что пространства модулярных форм каждого веса конечномеры и существуют алгоритмы для вычисления из базисов. Такое "хорошее поведение" модулярных форм делает их теорию, располагающуюся на границе математического анализа и алгебры, чрезвычайно элегантной.

Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов, нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании функции Рамануджана (задающей число разбиений числа в сумму слагаемых), в доказательствах иррациональности значения дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.

Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.), иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.

Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.

Конечно, невозможно рассказать обо всем этом в нашем кратком курсе. Однако, мы попробуем разобраться с основными определениями и классическими результатами в теории модулярных функций/форм, что послужит для заинтересованных слушателей основой для дальнейшего изучения предмета.

Уровень сложности.

Курс рассчитан на широкий круг слушателей, обладающих знаниями в объеме обязательных матмеховских курсов алгебры и анализа (ТФКП).

Организация.

Курс будет проводиться в смешанном формате. Часть лекций будет прочитана в zoom, часть --- очно. Несмотря на это, мы будем рады видеть также "удаленных" слушателей. Мы будем стараться, по возможности, предоставить удаленный доступ ко всем лекциям. Расписание курса будет установлено в зависимости от возможностей участников. На странице регистрации отметьте, пожалуйста, какие варианты вам наиболее удобны. Предполагается начать на неделе 13-18 марта. Ссылка на zoom сессию будет отправлена на ваш email адрес.

Регистрация.

Для получения информации о месте и времени проведения занятий, пожалуйста, зарегистрируйтесь здесь.

Геометрия проективных пространств и общая теорема Римана--Роха, продолжение

И.А. Панин ( ПОМИ)

В четверг 16.02.2023 в 19.30 состоится 1-е занятие весеннего семестра данного спецкурса в ПОМИ а к. 203 С 19.30 до 21.30. Хотя это и продолжение, но приглашаются всё желающие, так как вначале будут сделаны некоторые напоминания. В частности, будет напомнено определение алгебраического многообразия и определение морфизма алгебраических многообразий.

---

Сайт курса расположен тут. Всех интересующихся просьба регистрироваться тут

---

Другой заявленной темой, которой мы в прошлом семестре почти не коснулись, была теорема формальности Концевича. В этом семестре мы обсудим эту теорему и два известные ее доказательства--одно самого Концевича, другое Тамаркина. При этом мы будем использовать не так много из обсужденного ранее, поэтому если вы не ходили на лекции в прошлом семестре, можете смело присоединяться сейчас.

Формальной деформацией ассоциативной алгебры над полем называется ассоциативная алгебра определенная над формальными рядами , умножение в которой -линейно, и специализация дает исходную алгебру . Умножение в такой алгебре представляется формальным рядом

где умножение в , , и все некоторые билинейные операторы. Условие ассоциативности для -произведения представляет собой последовательность условий, которым наши должны удовлетворять.

Предположим теперь что алгебра коммутативна. Тогда ряд (*) можно рассматривать как деформацию в некоммутативном направлении. Инфинитезимально (в первом порядке по ) ряд (*) задает Пуассонову алгебру на , в которой коммутивное умножение как в , а скобка Ли определяется как . При этом ассоциативность в порядках и транслируются в тождестве Лейбница и тождество Якоби, соответственно, что вместе и означает что возникает Пуассонова алгебра. Задача деформационного квантования это обратная задача--по Пуассоной структуре (то есть по ) построить весь ряд (*), требуется чтобы он задавл ассоциативное умножение. Случай уже крайне нетривиален.

Эта задача была решена Концевичем посредством доказательства более общего утверждения, называемого теоремой формальности. Она формулируется так: когомологический комплекс Хохшильда алгебры (более общо, гладкая коммутативная алгебра) квазиизоморфен своим когомологиям, как дг алгебра Ли. Другими словами, при данной гладкой коммутативной алгебре , теория ее формальных деформаций как ассоциативной алгебры ``гомотопически то же самое'' что и ее теория деформаций как Пуассоной алгебры.

Концевич доказал теорему формальности используя интегралы по конфигурационным пространствам точек, то есть, по существу методами топологической квантовой теории поля. Тамаркин доказал несколько более общую теорему методами теории операд. Интересно что трансцендентные числа появляются при обоих подходах, как интегралы по конфигурационным пространствам, в подходе Концевича, и как коэффициенты ассоциатора Дринфельда, в подходе Тамаркина.

Другие тэги связанные с теоремой формальности Концевича--формула Дюфло, гипотеза Делиня для коцепей Хохшильда, группа Гротендика-Тейхмюллера, ... Многие из этих вещей допускают обобщения на высшие размерности ( в том смысле что размерность задачи Концевича равна 2), но это во многом еще не сделано. Эти обобщения связаны с высшей теорией категорией, бесконечность-категориями, и другими современными вещами.

===================

Некоммутативная геометрия это очень широкий предмет, который изучает различные подходы к тому что могло бы быть некоммутативным аналогом обычных многообразий. Например, можно пытаться склеить пространство из некоммутативных ассоциативных алгебр, или же рассматривать дифференциальную градуированную (дг) категорию как замену дг категории пучков на коммутативном многообразии. При этом можно в абстрактных категорных терминах переговорить гладкость, компактность, переговорить на языке дг категорий различные когомологические теории, ассоциированные с многообразием, и тд. Можно также рассматривать некоммутативные многообразия как деформации коммутативных. Идеи некоммутативной геометрии вездесущи в современной математике--от математической физики до алгебраической геометрии и теории категорий.

Мы остановимся на нескольких темах.

1. (Ко)гомологии Хохшильда и циклические гомологии. Последние позволяют, например, определить аналог комплекса де Рама для любой некоммутативной дг алгебры или любой дг категории.

2. Теория операд, гомотопические и высшие структуры. Мы изучим в частности и алгебры, являющиеся гомотопическими версиями ассоциативных алгебр и алгебр Ли, а также $n$-алгебры. Мы определим Кошулевы операды и построим по Кошулевой операде ее каноническую свободную резольвенту.

3. Современная теория деформаций, при которой вся информация о деформируем объекте закодирована в дг алгебре Ли, а по ней строится функтор деформации на артиновых коалгебрах. Мы построим эти дг алгебры Ли связанные с деформациями ассоциативных алгебр, алгебр над операдой, комплексных структур, ... Мы покажем инвариантность функтора деформаций относительно квазиизоморфизма дг алгебр Ли.

4. Формальность Концевича в форме Концевича и в форме Тамаркина. Формальность Концевича позволяет сводить вопросы квантования алгебры полиномов (или, более общо, гладких коммутативных алгебр) к некоторым более простым инфинитезимальным вопросам. В частности это дает универсальную формулу для деформационного квантования. Подход Концевича связан с идеями пришедшими из математической физики--топологической теории поля на диске, а подход Тамаркина связан с теорией деформаций операд и приводит к более сильному утверждению. Если позволит время, мы разберем оба подхода.