- Н.А. Вавилов, "Высшие законы композиции"
Спецкурс будет проходить в аудитории 413 Лаборатории Чебышева (14
линия В.О., дом 29Б) по четвергам в 19.00, первая лекция 01 октября 2015. - Абелевы многообразия - проективные алгебраические многообразия, на
которых задана структура группы. Они обладают рядом интересных
свойств; в частности, эта группа всегда абелева. Арифметика и
геометрия абелевых многообразий представляет большой интерес; уже
простейшие (одномерные) абелевы многообразия - эллиптические кривые -
имеют большое значения для криптографии; с их помощью была доказана
теорема Ферма, и им посвящена другая проблема тысячелетия - гипотеза
Берча-Свинертон-Дайера. С абелевыми многообразиями (и их
комплексно-аналитической структурой) связана интереснейшая теория
модулярных форм. С "мотивной" точки зрения абелевы многообразия
"соответствуют" гладким проективным кривым; в частности, они позволяют
вычислить количество точек кривой над конечным полем надо рассмотреть
ее якобиан - абелево многообразие.
1-мотивы нужны, если хочется изучать не обязательно гладкие и
проективный кривые. Они были определены Делинем как "самый большой
явный кусок" гипотетической категории смешанных мотивов. За последнее
десятилетие была подробно изучена связь 1-мотивов с мотивами
Воеводского.
Опять же, то, с чего мы начнем, сильно зависит от слушателей.
Можно начать с эллиптических кривых; 1-мотивы можно и на следующий
семестр отложить. - Семинар "Геометрия и комбинаторика"
Панина Г.Ю.
Семинар начнет свою работу 16 октября, 17-30, ауд 413
Предполагаются лекции, доклады и совместные обсуждения (исследовательских) задач в примерной пропорции 1:1:1.
Мы сохраним тематику и задачи прошлогоднего семинара "Геометрия и комбинаторика", добавив несколько новых тем. Новые темы и задачи приветствуются.
Область интересов: выпуклые многогранники, момент-угол многообразия, малые накрытия, шарнирные механизмы, "чудесная" компактификация, стратификации конфигурационных пространств, теория Морса, дискретная теория Морса, теоремы универсальности.
- C.C. Подкорытов (ПОМИ) "Уравнения Зайберга - Виттена в топологии четырёхмерных гладких многообразий"
Уравнения Зайберга - Виттена в топологии четырёхмерных гладких многообразий
Размерность 4 в топологии гладких многообразий самая интересная, это
единственная размерность, в которой гипотеза Пуанкаре не доказана и не
опровергнута. В отличие от старших размерностей, в размерности 4 средства
алгебраической топологии неэффективны. Все построения делаются вручную, а
основным средством доказательства недиффеоморфности или несуществования
каких-то многообразий служит "калибровочная теория", взятая из
теоретической физики. Многообразие характеризуется свойствами множества
решений специальной системы уравнений в частных производных на этом
многообразии. Начиная с 1990-х годов используют уравнения Зайберга -
Виттена. С их помощью, например, была доказана гипотеза Тома о роде
поверхностей в комплексной проективной плоскости, реализующих данный
гомологический класс.
Планируется ввести уравнения Зайберга - Виттена, установить нужные
свойства их и получить нетривиальные топологические следствия.
Литература
J. W. Morgan, The Seiberg-Witten equations and applications to the
topology of smooth four-manifolds.
Дж. Д. Мур, Лекции об инвариантах Зайберга - Виттена.
Предполагается знакомство слушателей с гладкими многообразиями,
дифференциальными формами и фундаментальной группой.