Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ: Courses

Идея семинара: на конкретных примерах из статфизики, классической и квантовой
механики познакомиться с тем, что назвается интегрируемыми моделями, и рассказать
про основные техники, которые используются при их решении.
В этой серии семинаров мы сконцентрируемся на решении шестивершинной модели. Шестивершинная модель — хороший пример интегрируемой системы: во-первых, все действия с формулами можно сопровождать наглядными картинками;

во-вторых, в ней очень естественно появляются такие объекты, как трансфер-матрица, уравнение Янга-Бакстера и проч.; в-третьих, ее можно решать разными способами — как это было сделано впервые или более современными, что и будет
продемонстрировано на семинарах.
1. Вступление: одномерная модель Изинга.
Модель Изинга как вершинная модель. Матрица весов, понятие трансфер-
матрицы. Статсумма.

2. Шестивершинная модель.
Формулировка и картинки. Матрица весов, трансфер-матрица. Выражение для статсуммы в случае периодических граничных условий.
3. Координатный анзац Бете.
Симметрии в шестивершинной модели. Поиск собственных векторов трансфер-матрицы с помощью анзаца Бете. Формула для собственных чисел и система уравнений Бете.
4. Уравнение Янга-Бакстера.
Коммутация трансфер-матриц. Снова о симметриях в модели, и что такое R-матрица. Вывод R-матрицы для шестивершинной модели. Тригонометрическая параметризация.
5. Алгебраический анзац Бете.
Коммутационные соотношения на элементы матрицы монодромии, которые следуют из уравнения ЯБ. Простой вывод формулы для собственного числа трансфер-матрицы и системы уравнений Бете; формула для собственных векторов (аналогия с гармоническим осциллятором).
6. Метод Q-оператора.
Когда алгебраический анзац не работает. Еще один способ решения: уравнение Бакстера и Q-оператор. Вывод Q-оператора для шестивершинной модели.
7. Граничные условия доменной стенки.
Другие граничные условия. Статсумма как скалярное произведение и формула Изергина-Корепина.
Цель этой серии заключается в том, чтобы на примере знакомых всем задач из классической механики понять, что означает, что система интегрируема, и что в этом хорошего. После этого мы посмотрим, какие трудности и новые явления возникают в интегрируемых моделях теории поля, и рассмотрим разные техники их решения в применении к уравнению Кортевега-де-Фриза и нелинейному уравнению Шредингера.

План.
1. Интегрируемость на простых примерах.
Классический гармонический осциллятор: вспомнить про скобку Пуассона и фазовое пространство. Что такое интегрирумость. Задача Кеплера: сохранение энергии и момента импульса; геометрическая интерпретация. Более сложный пример: цепочка Тоды.
2. Теорема Лиувилля.
Интегрируемость в классической механике с конечным числом степеней
свободы: теорема Лиувилля и переменные действие-угол. Потоки сохраняющихся величин.
3. Уравнение Кортевега-де-Фриза.
Уравнение КдФ: формулировка, роль дисперсии и нелинейности. История про солитон. Кратко про метод обратной задачи и интегрируемость. Как по-простому получить солитонные решения: преобразование Бэклунда. Кратко про другие решения.
4. Нелинейное уравнение Шредингера.
III. Спиновые цепочки.
В этой серии, оттолкнувшись от шестивершинной модели, мы планируем прийти к такой интегрируемой модели как XXZ спиновая цепочка. Мы увидим, как себя проявляет уравнение Янга-Бакстера в квантовой механике, и как это все связано с тем, что мы уже знаем про интегрируемость в классической механике.