"Введение в континуальный интеграл для математиков"
П. Н. Мнёв (pmnev@pdmi.ras.ru, ПОМИ РАН)
Первое занятие: 22.09.10 (среда), 20:00 в аудитории 402, ПОМИ.
Начиная 29.09.10 занятия будут происходить по средам с 19:00 в 311 ауд. ПОМИ
Курс рассчитан на студентов-математиков или физиков, начиная с 3 курса. Желательно (но не обязательно) базовое знакомство с квантовой механикой и методом перевала. Для некоторых частей курса также желательно базовое знакомство с гомологической алгеброй и супер-геометрией.Предварительная программа:
- Континуальный интеграл как представление аксиом квантовой теории поля Атия-Сигала.
- Диаграммы Фейнмана.
- Континуальный интеграл в квантовой механике.
- Матричные интегралы и их приложения: перечисление планарных графов, эйлерова характеристика пространств модулей комплексных кривых.
- Континуальный интеграл для калибровочных теорий поля.
- Топологические квантовые теории поля.
Возможные дополнительные сюжеты:- Топологическая квантовая механика и теория Морса.
- Деформационное квантование Концевича как топологическая квантовая теория поля на диске.
- Континуальный интеграл и гомотопический перенос алгебраических структур.
Рекомендованная литература- Philippe Di Francesco, 2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics arXiv:math-ph/0406013v2
- Pavel Etingof, Mathematical ideas and notions of quantum field theory, 2002,
- Leon A. Takhtajan, Quantum mechanics for mathematicians 2008
- Jean Zinn-Justin, Path integral in quantum mechanics Oxford University Press, 2006
- Игорь Френкель (Йельский университет, США)
Прочтет обзорный миникурс
«Теория представлений и физика»
Лекции состоятся 23, 30 сентября и 7, 14 октября в 19:00 в 106 аудитории ПОМИ.
Курс имеет сугубо математический характер, физика в нем появляется в виде источника мотиваций и приложений. Курс адресован старшим студентам и аспирантам
математикам и матфизикам.
Лекция 1
Бесконечномерное представление группы монстра, вёртексные операторные алгебры, суммы Радемахера и трёхмерная квантовая гравитация.
Лекция 2
Теория представлений sl(2,C), её «категорификация», полиномы Каждана-Люстига и черырёхмерная топологическая теория поля.
Лекция 3
Представления симметрических групп и их обобщений, «категорификация» двумерных конформных теорий поля и модули инстантонов.
Лекция 4
Кватернионный анализ, представления конформных групп, Фейнмановские интегралы и представления бесконечномерных алгебр Ли.
Первый час каждой лекции будет иметь вводный характер, второй час – описание современного состояния сюжета. Для понимания не требуется специальных предварительных знаний по физике. В области математики полезно владение основными фактами теории унитарных представлений конечных и компактных групп, теорией характеров. Для лучшего понимания первой лекции полезно некоторое знакомство с вёртексными операторными алгебрами. Для второй лекции было бы хорошо представлять себе что такое категория O Берштейна-Гельфанда-Гельфанда и владеть основами гомологической алгебры. Для третей лекции не обязательны, но полезны некоторые базовые познания в облати комплексной алгебраической геометрии, включая гомологии, К-теорию, пространство модулей инстантонов. В понимании четвертой лекции помогло бы знакомство со спинорными конструкциями представлений алгебр петель и алгебр Вирасоро.
Панина Г.Ю.
Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию
Сетевой миникурс из 4-5 лекций
Занятия будут проходить по средам в 18-00 по системе Webex. Первая лекция состоится 4 ноября 2009 г.
========================
Чтобы прослушать курс, необходимо написать о своем желании Гаянэ Юрьевне Паниной на адрес gaiane-panina@rambler.ru . В письме надо подробно представиться -- кто Вы, откуда, где, чему и у кого учитесь. Если вы уже математик -- вы знаете как представляются математики
Всего возможно одновременное подключение 23-х удаленных компьютеров.===========================
В ближайшее время появится доступный в сети подробный конспект курса.
Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений... Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже успевшая стать классической.
Стремясь к максимальному упрощению, мы ограничимся двумерными торическими многообразиями (и, соответственно, двумерными многогранниками, то есть многоугольниками).
Программа курса.
1. Элементарные вводные примеры: проективная прямая и
проективная плоскость как торические многообразия.Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие». Пример сингулярного многообразия. 2. Торические изоморфизмы.
Принцип склейки многообразия из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия ». Раздутие. Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника». 3. Структурный пучок. Пучки
модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники. 4. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.
От слушателей требуется знакомство с понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «модуль над кольцом», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость».
- Алексей Николаевич Паршин (МИАН, Москва)
"Теория представлений и арифметика двумерных схем" (миникурс)
17.11.09 18:00 311
19.11.09 15:30 311
20.11.09 15:30 311
1. Обзор теории аделей для двумерных схем. Алгебраические поверхности над
конечным полем и арифметические поверхности.
2. Дискретные нильпотентные группы, возникающие из групп аделей.
3. Представления дискретных групп Гейзенберга. Модули индуцированных
представлений. Характеры как якобиевы формы на пространстве модулей.
4. Гармонический анализ на дискретных группах и комплексных торах. Формула
Пуассона как сумма вычетов.
5. Применения к теории (неразветленных) L-функций.
- Здесь расположенны ссылки на записи докладов на конференции
- Тут расположены записи лекций А.С. Лосева, прочитанных в сети осенью 2008 года.
