- Константин Игоревич Пименов и Игорь Михайллович Зильберборд
проводят в весеннем семестре 2020 года
Кружок
'Дополнительные главы алгебры",
прежде всего рассчитанный студентов второго и первого курса ФМиКН СПбГУ, но открытый для всех желающих.
Желательно владение университетским курсом алгебры в объеме трех семестров, но будут учтены и интересы первокурсников.
Формат кружка --- лекции руководителей на перечисленные ниже темы, решение и разбор задач силами участников.
Работа участников кружка над некоторыми из этих тем может для кого-то из них продолжиться в курсовую работу.
Подробности и материалы по перечисленным ниже темам будут обновляться по указанной ссылке:
https://drive.google.com/open?id=1g23tmJtvdE7-X0qfR0vpxovswKMBq-rr
Первое полноценное занятие по теме N1 состоится в субботу, 22 февраля, начало в 13:00 в ауд. 303 на 14 линии 29.
Участникам кружка, которые не учатся в СПбГУ, желательно для прохода в здание захватить с собой паспорт.
Задачи по первой теме уже выложены в файле BinaryInvariant.pdf
по ссылке выше.
Каждой из тем будет посвящено в среднем 2 занятия.
1. Введение в классическую теорию инвариантов: 1. Что такое каталектикант, и для чего Давид Гильберт доказывал "теорему Гильберта о базисе"?
2. Приложения алгебры Ли sl_2 в комбинаторике: свойство Шпернеровости частично упорядоченных множеств и унимодальность некоторых последовательностей по Р.Стенли.
3. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике: как задаются образующими и соотношениями дискретные группы преобразований плоскости, сферы и плоскости Лобачевского.
4. Приложения полупростых представлений конечных групп, в том числе - в теории групп и теории вероятностей.
5. Гауссовы периоды, простые числа в арифметических прогрессиях и число точек на некоторых кубических кривых над конечным полем.
6. Что такое (дискретное) преобразование Фурье, и почему там вылезает минус: взгляд через группу Гейзенберга. Одно из приложений ДПФ --- тождества МакУильямс для весовых перечислителей кодов.
7. Теорема коммутативности Джекобсона: как из тождества xn =x следует коммутативность кольца и как при этом применяются результаты структурной теории колец.
Все вопросы можно задать К.И.Пименову по электронной почте k.pimenov@spbu.ru
А.Г. Шуваев "Семинар по квантовой теории поля"
А.Г. Шуваев
Семинар по квантовой теории поля.
Первое занятие 15 февраля 12.00 ауд.203 ПОМИ
Цель семинара - введение в основные понятия и аппаратквантовой теории поля - одной из наиболее передовых областей современнойтеоретической физики. В семинаре могут участвовать студенты 4-5 курсов(при желании можно и раньше) знакомые с квантовой механикой и специальнойтеорией относительности.Примерный круг тем, которые разбираются на семинаре:- Функциональный интеграл в квантовой механике.- Формализм вторичного квантования.- Квантование свободных полей - скалярного поля, спинорного поля,электромагнитного поля,- Гамильтоновы системы со связями.- S-матрица в операторном формализме- S-матрица в формализме функционального интегрирования.- Фейнмановская диаграммная техника.- Процессы рассеяния низшего порядка в квантовой электродинамике.- Одопетлевые вклады в квантовой электродинамике.- Ультрафиолетовые расходимости в квантовой электродинамике.- Ноль заряда в квантовой электродинамике.- Ренормгруппа в квантовой теории поля.- Калибровочные поля.- Функциональный интеграл для калибровочных полей, детерминант Фаддеева - Попова.- Асимптотическая свобода в калибровочных теориях.- Невылетание цвета (конфайнмент) в квантовой хромодинамике.- Решеточные модели.Семинар проходит в достаточно свободной форме, по его ходу темы могут меняться,добавляться новые и т.п.
Е.Н. Антонов, А.М. Монахов «От классической к квантовой механике. 1-й год обучения»
Программа курса «От классической к квантовой механике. 1-й год обучения».
Начало 15 февраля 2020 в 14.00, аудитория 203
Занятия предназначены для студентов младших (первого-третьего) курсов, желающих в дальнейшем посвятить себя теоретической физике и желающих глубже разобраться в связях между классической, квантовой и релятивистской механикой. Занятия будут проходить в виде семинаров, на которых разбираются отдельные "темные места" этих наук.
·Лагранжева форма уравнений механики
1.Принцип наименьшего действия в классической механике, его связь с принципом Ферма в оптике.
2.Уравнения движения и законы сохранения классической механики как следствие уравнений Эйлера-Лагранжа и теоремы Нетер.
3.Принцип Гюйгенса-Френеля в оптике и его связь с Фейнмановским подходом к квантовой механике.
4.Интегралы по траекториям и пропагаторы (функции Грина) дифференциальных уравнений
5.Уравнение Шредингера как следствие аналогии между механикой и оптикой
·Гамильтонова форма уравнений механики
1.Уравнения Гамильтона
2.Канонические преобразования
3.Скобки Пуассона
4.Действие на классической траектории как каноническое преобразование.
5.Уравнение Гамильтона-Якоби.
6.Классические траектории как характеристики уравнения Гамильтона-Якоби.
7.Каноническое квантование и операторный формализм квантовой механики.
8.Связь классической и квантовой механики (преобразование Вигнера)
9.Связь канонических преобразований классической механики и унитарных преобразований квантовой механики.
10.Фейнмановский интеграл в фазовом пространстве.
11.Классические траектории как «точки перевала» Фейнмаровского интеграла.
12.Квазиклассическое разложение и правило Борна-Зоммерфельда на языке функциональных интегралов.
Программа курса «От классической к квантовой механике II».
Начало с 15 февраля 2020 в 12.00, аудитория 203 ПОМИ
·Квантовая механика
1.Одномерное движение.
2.Связь с классической механикой. Представления Вигнера, Баргмана-Фока, когерентные состояния.
3.Теория возмущений (стандартная и разложение функциональных интегралов).
4.Основы диаграммной техники.
5.Квазиклассика (WKB, перевальное разложение функциональных интегралов).
6.Квантование систем со связями, подход Дирака.
7.Квантование систем многих частиц. Грасмановы переменные.
8.Теория рассеяния. Асимптотические состояния.
9.Унитарность и аналитичность S-матрицы.
10.Полюсы Редже.
·Специальная теория относительности и введение в теорию поля
1.Принцип относительности и преобразования Лоренца.
2.Релятивистская механика.
3.Классическая электродинамика.
4.Квантование полей как системы осцилляторов.
5.Теория возмущений в квантовой теории поля как разложение в ряд фейнмановского интеграла по путям.
6.Примеры скалярных теорий поля.
7.Частицы со спином 1 и ½. Описание векторов и спиноров в теории поля. Свойства матриц Паули и гамма матриц.
8.Уравнение Дирака.
9.Введение в квантовую электродинамику.
Рекомендуемая литература
- Ландау, Лившиц. Т. 1 Механика
- Ландау, Лившиц. Т. 2 Теория поля.
- Арнольд. Математические методы классической механики
- П.В. Елютин, В.Д. Кривченков. Квантовая механика с задачами. М. Наука, 1976
- В.В. Киселев. Квантовая механика. Москва, МЦНМО 2009
- Р. Фейнман, А. Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
- Path Integrals in Physics Volume I Stochastic Processes and Quantum Mechanics. M Chaichian and A Demichev. Institute of Physics PublishingIOP Publishing Ltd 200
Семинар
"Геометрия и комбинаторика"
возобновит свою работу (ориентировочно) 2 марта.
Заседания семинара будут проходить по понедельникам в 11:15 на 14 линии В.О., аудитория 413.
Предполагаются лекции, доклады и совместные обсуждения (исследовательских) задач в примерной пропорции 1:1:1.
Наши интересы определяются (но не ограничены) следующими темами:
пространства модулей алгебраических кривых, ленточные графы, теория Морса-Серфа в приложениях, Н-принцип в приложениях, шарнирные механизмы, стратификации конфигурационных пространств, теоремы типа Тверберга и связанные с последними эквивариантные препятствия, теоремы о честном делении, теоремы универсальности, локальные комбинаторные формулы характеристических классов и пр.
Актуальная информация (темы докладов, перенос и отмена занятий)
будет размещаться на сайте лаборатории Чебышева в общем расписании http://www.chebyshev.spbu.ru/.
- Professor: Александр Ильич Назаров
- Professor: Евгений Олегович Степанов
(Ведут д.ф.-м.н. А.И.Назаров, д.ф.-м.н. С.Г. Крыжевич, д.ф.-м.н. Е.О. Степанов)Занятия по четвергам в 17:20 в ауд. 106 ПОМИ.Первое занятие 13.02.20Мы продолжаем серию курсов, имеющих целью повышение математической грамотности нематематиков – прежде всего инженеров и программистов. В настоящее время объем математических курсов в обязательной программе высшего образования инженеров, прикладных математиков и информатиков уменьшился кратно по сравнению с ситуацией 30-40 летней давности. Соответственно изменился и (a) объем математических знаний и (б) общая математическая культура выпускников нематематических специальностей вузов. Цель этого курса – постараться довести уровень (а) и (б) до того, который считался нормальным 30-40 лет назад, и фактически является минимально необходимым для работы инженеров во многих высокотехнологических отраслях промышленности (скажем, в разработке сложного программного обеспечения, робототехнике, анализе больших данных).Занятия могут быть полезны прежде всего студентам первого курса технических и смежных с ними специальностей вузов.В текущем, 2019/20 учебном году мы предполагаем сосредоточиться в основном на линейной алгебре и частично на аналитической геометрии, возможно, с элементами дифференциальной геометрии кривых и поверхностей. Примерный набор тем, который предполагается осветить, приведен ниже.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса-Йордана (метод полного исключения). Элементы алгебры матриц. Транспонирование, эрмитово сопряжение, умножение матриц. Матричные уравнения. Обратная матрица.
2. Квадратные матрицы. Определитель. Обращение квадратной матрицы. LU-разложение.
3. Пространства R^n и C^n. (Абстрактное) линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Размерность пространства, базисы. Пространства полиномов. Полиномиальная интерполяция. Полиномиальные сплайны.
4. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Подобные матрицы.
5. Скалярное произведение векторов. Норма вектора. Ортогональность векторов. Унитарная матрица. Площадь параллелограмма и объем параллелепипеда. Алгоритм Грама--Шмидта. $QR$-разложение матрицы.
6. Самосопряженная матрица. Свойства собственных чисел и собственных векторов. Метод Якоби.
7. Линейные формы. Квадратичные формы. Геометрическая интерпретация квадратичных форм.
8. Линейный метод наименьших квадратов. Сингулярные числа и сингулярные базисы матрицы. Псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений. Полиномиальное сглаживание. Сглаживание полиномами, ортогональными на сетке. Дискретное преобразование Фурье.
9. Элементарный анализ погрешностей. Норма матрицы. Трансформированная погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности матрицы. Метод простой итерации.
10. Аналитическая геометрия в евклидовом пространстве. Произведения векторов (векторное, скалярное, смешанные). Вычисление длин, площадей, объемов. Косоугольные системы координат и двойственные базисы. Вычисления в косоугольных координатах.
11. Элементы тензорной алгебры. Ковариантный и контравариантный координаты векторов и теноров. Метрический тензор.
12. Кривые и поверхности. Криволинейные координаты. Вычисление длин, площадей и объемов. Кривизна кривой и кривизны поверхностей.
Дополнительные главы математики для нематематиков:
"Функции комплексного переменного"
Д.ф.-м.н. Е.О. Степанов
(Курс Института Леонарда Эйлера совместно с Алферовским университетом)
Занятия по вторникам в 106 ауд., с 15.00 до 18.00. Начало 11.02
В рамках серии курсов, имеющих целью повышение математической грамотности нематематиков, прежде всего инженеров, физиков и программистов, предполагается изложить основы классической теории функций комплексного переменного и достаточно широкого набора ее приложений, в т.ч. в математическом анализе, геометрии и физике. Этот курс в настоящее время практически выпал из обязательной образовательной программы многих вузов, либо предельно сокращен. Наша цель в данном случае, как и во всей серии «Дополнительных глав для нематематиков» - постараться довести объем математических знаний и общую математическую культуру выпускников нематематических специальностей вузов до того, который считался нормальным 30-40 лет назад, и фактически является минимально необходимым для работы инженеров во многих высокотехнологических отраслях промышленности (скажем, в разработке сложного программного обеспечения, робототехнике, анализе больших данных).
Занятия могут быть полезны студентам 2-3 курсов нематематических специальностей. Вообще некоторые элементарные знания того, что такое комплексное число, и навыки работы с ними (на уровне простейших алгебраических операций) будут полезны, но подробно обсуждать, зачем собственно комплексные числа понадобились, мы будем в этом курсе.
Программа:
1.Комплексные числа: для чего они понадобились. Комплексная плоскость, сфера Римана, комплексная проективная прямая.
2.Евклидова плоскость и комплексные числа. Аналитическая геометрия на плоскости. Решение классических сложных задач евклидовой планиметрии (задача Ньютона, задача Гаусса, теорема Паскаля…) «Комплексное» описание множества плоских многоугольников.
3.Функции комплексного переменного. Непрерывность. Степенные ряды. Элементарные функции. Отображение областей. Отображения Мебиуса и производная Шварца. Двойное отношение. Профили Жуковского.
4.Голоморфные и целые функции: комплексная производная и дифференциал, условия Коши-Римана, ряды Тейлора. Конформность. Принцип максимума модуля. Теорема об открытом отображении. Конформные отображения. Теорема Римана. Гармонические функции. Теорема Лиувилля,
5.Контурные интегралы: интегральная теорема Коши, теорема Мореры, теорема о среднем, интегральная формула Коши. Вычеты дифференциальных форм.
6.Ряды Лорана. Особые точки. Теорема Сохоцкого. Мероморфные функции.
7.Логарифмические вычеты. Принцип аргумента (теорема о нулях и полюсах) и вращение двумерных векторных полей. Нули голоморфной функции. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
8.Лемма Шварца. Теорема Шварца-Пика. Гиперболическое расстояние и представление голоморфных автоморфизмов диска.
9.Решение задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона при помощи конформных отображений. Функции Грина.
10.Комплексный потенциал и функция тока. Обтекание плоских областей.