Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ: Courses

Общая теория относительности
Т.Н. Шилкин

Начало в воскресенье, 15 марта, в ПОМИ в 12:00

Общая теория относительности (ОТО) была разработана
А. Эйнштейном в начале XX века и с тех пор получила многочисленные
экспериментальные подтверждения. В настоящее время ОТО представляет
собой раздел физики, необходимый для правильного понимания
современной картины окружающего мира. К сожалению, этот раздел не
вошел в двухсеместровый курс физики, читавшийся на матмехе СПбГУ в
2014 в весеннем и осеннем семестрах. Цель данного миникурса -
восполнить этот пробел и дать короткое и по возможности элементарное
(хотя вместе с тем, вероятно, и несколько поверхностное) введение в
эту теорию.

С математической точки зрения ОТО является разделом дифференциальной
геометрии. Желательно знакомство слушателей с основными
сведениями из римановой геометрии (в пределах 5-го семестра
матмеха), хотя весь необходимый для изложения ОТО математический
аппарат мы коротко приведем на одной из лекций. Примечательно, что
на наш взгляд ОТО дает мотивировки многим понятиям дифференциальной
геометрии и способствует лучшему их пониманию. Поэтому мы не
исключаем, что данные лекции могут оказаться полезными также и
студентам, только собирающимся приступить к изучению римановой
геометрии.

Изложение будет рассчитано в первую очередь на слушателей с
математическим складом мышления. Это значит, что всюду, где это
возможно, в нашем курсе будут фигурировать "аксиомы" (за которые
будут приниматься фундаментальные физические постулаты и
эмпирические законы) и "теоремы", которые мы будем выводить из
"аксиом" при помощи чисто математических манипуляций.

Г.Ю. Панина, "Геометрия и комбинаторика", продолжение.

Занятия возобновляются 12 февраля, в 19-00, 14 линия, ауд. 413,

и будут проходить по четвергам тогда же и там же.

Внимание! 19-го семинар не состоится.

Е. Степанов
Измеримые векторные поля, потоки мер и уравнения с негладкими коэффициентами.


по вторникам в 15.15 в ЛЧ ауд. 413. Начинало во вторник 24 февраля.

Основными объектами изучения будут уравнение неразрывности (закон сохранения массы) с негладким (например, только лишь измеримым) полем скоростей и его связь с характеристическим обыкновенным дифференциальным уравнением с разрывной правой частью, а также обобщение этих объектов для произвольных метрических пространств. В связи с ними естественно возникают понятия измеримых векторных полей N. Weaver'а (операторов дифференцирования на алгебре липшицевых функций) и метрических потоков De Giorgi-Ambrosio-Kirchheim'а. Возможно, будет рассмотрена и связь параболического уравнения Фоккера-Планка с соответствующим стохастическим дифференциальным уравнением.

1. Метрические потоки De Giorgi-Ambrosio-Kirchheim'а. Принцип суперпозиции для одномерных нормальных потоков
(теорема Смирнова и аналоги).
2. Измеримые векторные поля. Представление векторных полей и одномерных потоков.
3. Потоки мер. Метрики Канторовича-Вассерштейна. Уравнение неразрывности.

Семинар "Относительные мотивные категории"
Время: четверг, 18:30-20:30.
14 линия В.О., д. 29а, аудитория 413
Руководитель: М.В,Бондарко

Мотивы были определены Гротендиком в 1960х годах; они должны были
стать универсальной теории когомологий Вейля для алгебраической
геометрии. Мотивы Гротендика (т.н. "чистые мотивы") получили признание
как удобный язык для изучения ряда когомологических вопросов, однако
содержательное их применение сильно затруднено нашим неумением
доказывать т.н. "стандартные" гипотезы для алгебраических циклов.
Кроме того, чистые мотивы соответствуют когомологиям исключительно
гладких проективных многообразий, что, конечно же, также ограничивает
их применимость. Поэтому важнейшим шагом стало построение (в 1990х)
триангулированных категорий, позволяющие успешно изучать произвольные
многообразия. Наконец, в последние годы были построены и подробно
изучены триангулированные мотивные категории для схем над произвольной
базой. Эти категории и связывающие их функторы дают мотивный аналог
категорий конструктивных этальных пучков (а соответствующий формализм
кросс-функторов дает нетривиальные результаты даже для "классических"
категорий). Они позволяют изучать когомологии произвольных схем, в том
числе, "сложные" - например, когомологии пересечения.

На нашем семинаре мы рассмотрим как стабильные гомотопические мотивные
категории над базой, так и категории "мотивов" над базой, определенные
Сизинским и Деглизом (и неоднократно рассмотренные в работах
руководителя семинара, в частности, построившего для них весовую
структуру Чжоу и превратную гомотопическую т-структуру).

Семинар "Мотивное интегрирование"
Время: вторник, 19:30-21:30.
14 линия В.О., д. 29а, аудитория 413
Руководители: М.В,Бондарко, А.Ю. Лузгарев

Мотивное интегрирование родилось из блестящей идеи М. Концевича,
позволившей применить методы математического анализа (меру, интеграл,
формулу замены переменной) для изучения мотивов и алгебраических
многообразий. Была определена т.н. мотивная мера, которая дает новые
инварианты особенностей многообразий, но позволяет изучать также и
гладкие многообразия (в частности, сравнивать когомологии
бирационально эквивалентных многообразий Калаби-Яу). Кроме того, была
исследована важная связь мотивного интегрирования с интересными
разделами математической логики (исключением кванторов и пр.).

В ходе нашего семинара мы постараемся понять основные достижения этой
области и обсудить ее перспективы.

Программа и начало будут объявлены

Панина Гаянэ Юрьевна

Первое занятие состоится во вторник, 10 февраля, в 11-15 (2-я пара) , матмех, 14 линия В.О. ауд. 22.



Неофициальное название ск -- "Топологические методы в комбинаторной геометрии".

Примерная программа: Теорема Борсука-Улама с комбинаторными вариациями,теорема Какутани,

теорема Брауэра, теорема о центральной точке, теоремы Дольникова и т.п. Поскольку (в качестве

почти универсального средства) нам потребуется класс Эйлера, мы пройдем также начала теории

(ко)гомологий.

Предварительные знания не требуются. Предполагается, что спецкурс простой,

поэтому приглашаются (в том числе и) младшекурсники.