Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию.

(официальный полугодовой спецкурс матмеха)

Лектор Г.Ю. Панина

Первое занятие состоится в конце сентября, пожелания о времени и месте (ПОМИ или 14 линия) присылайте по адресу gaiane-panina@rambler.ru

Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений и т.п. Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу).

Целевая аудитория:

— геометры, желающие разобраться в параллелизме между геометрией выпуклых многогранников и АГ

— студенты-алгебраисты, начавшие недавно (или собирающиеся начать) учить АГ.

— неалгебраисты, желающие познакомиться с основами АГ на примере ТМ.

Программа курса:

Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие».

Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Структурныйпучок.

Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия. Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия».

Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника».

Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». Виртуальные многогранники.

Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения», «неравенство Александрова-Фенхеля для смешанных объемов — неравенство Ходжа для индексов пересечения». Теорема Бернштейна-Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.