Конечные поля и пересыпание песка
С.В.Дужин
Курс рассчитан на 11 лекций и проходит по пятницам, начиная с 16:00,
в аудитории 311 ПОМИ. Последняя лекция планируется 20 апреля.
=================================
Записи лекций выкладываюся тут http://www.lektorium.tv/speaker/?id=2984
=================================
Учебные материалы и полезные таблицы здесь:
http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/
=================================

Краткое содержание курса:

1. Конечные поля (поля Галуа).
Примитивные многочлены.
Мультипликаативная группа конечного поля.

2. Построение конечных полей.
Процедура Конвея.
Проблема Концевича о построении более регулярной процедуры.

3. Теория Галуа конечных полей.

4. Изображение неприводимых многочленов в виде ожерелий.
Группа автоморфизмов непериодических ожерелий.

5. Песочная группа направленного графа.

6. Песочная группа как аналог якобиана комплексной кривой.
Теорема Римана-Роха для песочных групп.

7. Тропическое обобщение песочных групп и теоремы Римана-Роха.

8. Гипотеза об изоморфизме группы автоморфизмов ожерелий с
песочными группами специальной серии направленных графов.

Литература.
1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М, 1999.
2. Э.Артин. Теория Галуа. М., МЦНМО, 2004.
3. E.Weinstein, http://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html,
http://mathworld.wolfram.com/Necklace.html.
4. S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. CDBooK, главы 6, 10 (arXiv:1103.5628).
5. Deepak Dhar, The abelian sandpile and related models,
http://arxiv.org/abs/cond-mat/9808047.
6. Lionel Levine, Sandpile groups and spanning trees of directed line
graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series A (15 April 2010).
(http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/sandpile_levine.pdf).
7. Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph
Matthew Baker, Serguei Norine, http://arxiv.org/abs/math/0608360.
8. A.Holroyd, L.Levine, K.Meszaros, Y.Peres, J.Propp and D.Wilson.
Chip-Firing and Rotor-Routing on Directed Graphs.
(http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/holroyd.pdf)
9. D.Perkinson. Primer for the algebraic geometry of sanbdpiles.
(http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/primer071109.pdf).
10. F. Redig. Mathematical aspects of the abelian sandpile model.
(http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/sandpilelectures.pdf)
11. A.Gathmann, M.Kerber. A Riemann-Roch theorem in tropical geometry.
http://arxiv.org/abs/math/0612129.
12. В.И.Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. М., МЦНМО 2005.
13. Lidl, Niederreiter. Finite Fields (англ., рус.)
http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/sandpile/