Математические вопросы квантовой механики

Т.Н. Шилкин (ПОМИ РАН)

начало 30 сентября 2012

по воскресеньям, 12:00-14:00

Первые одна-две лекции будут вводными: мы постараемся определить, какое место квантовая механика занимает в современной квантовой физике, какие взаимодействия и какие конкретные физические эксперименты она описывает. Далее мы перейдем собственно к изучению квантовой механики. Мы намерены двигаться согласно следующему плану (настолько далеко, насколько хватит времени).

· Экспериментальные предпосылки квантовой теории

· Основные разделы квантовой физики и место квантовой механики среди них

· Волновая функция и наблюдаемые

· Спектральные меры и спектральная теорема

· Чистые и смешанные состояния

· Одновременная измеримость величин и соотношения неопределенности

· Важнейшие наблюдаемые и правила квантования

· Уравнение Шредингера

· Законы сохранения

· Связь квантовой механики с классической

· Атом водорода

· Элементы спектральной теории дифференциальных операторов. Операторы Шредингера с убывающим и периодическим потенциалами

· Спин электрона. Уравнение Паули

· Многоэлектронные атомы. Принцип запрета Паули

· Теория возмущений

· Теория рассеяния

· Элементы квазирелятивистской теории. Уравнения Дирака

Как всегда, изложение будет ориентировано на слушателей с математическим складом мышления. Мы будем стремиться не столько к последовательному изложению полного курса квантовой механики, сколько к выяснению того, каким математическим аппаратом необходимо владеть, чтобы понимать основы данного раздела физики. Везде, где возможно, мы будем стремиться приводить точные формулировки используемых по ходу дела математических фактов. Мы не будем использовать принятых в квантовой механике обозначений Дирака («бра» и «кет»), а будем вместо них пользоваться стандартными обозначениями, принятыми в функциональном анализе. Также мы намерены максимально выделить ту роль, которую в квантовой механике играет теория линейных операторов в гильбертовом пространстве (и, в частности, теорема о разложении самосопряженного оператора в интеграл по спектральной мере).

 От слушателей предполагается знакомство с основами функционального анализа. Более специальные математические факты (в частности, необходимые сведения из теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве) будут четко формулироваться, но доказывать мы их будем избирательно. Мы надеемся, что такой стиль изложения позволит нам продемонстрировать то влияние, которое квантовая механика оказала на развитие тех или иных разделов математики, а студентам создаст дополнительную мотивацию к освоению различных математических дисциплин, изучаемых на старших курсах.