Сергей Ягунов (ПОМИ)

Эллиптические  функции и кривые: арифметика, анализ, геометрия (введение).
(мини-курс 3-4 пары)


Эллиптическая кривая является воистину «всепроникающим» объектом в математике.
Зародившись в работах Гаусса, Абеля и Якоби,теория эллиптических функций/кривых давно вышла далеко за  рамки первоначально отведенного ей раздела матанализа.  Достаточно заметить, что решение, пожалуй, самой знаменитой математической проблемы – доказательство теоремы Ферма, базируется на глубоком понимании арифметики эллиптических кривых.  В последние десятилетия эллиптические кривые активно используются в таких, казалось бы, несхожих областях математики, как алгебраическая топология (эллиптические когомологии, топологические модулярные формы) и математическая криптография (эллиптические кривые над конечными полями).
 
К сожалению, временные рамки курса не позволят нам рассказать обо всех многочисленных приложениях этой замечательной теории.
Мы планируем дать достаточно элементарное введение в предмет, доступное, по большей части,  студентам 1-2 курса. Будут изложены основы классической аналитической теории (предполагается знание ТФКП), намечены связи теории эллиптических кривых с задачами арифметики, в конце курса будет представлен алгебро-геометрический взгляд на предмет. Последняя часть курса предполагает владение языком алгебраической геометрии на уровне первых двух глав книги Хартсхорна, хотя все необходимые  алгебро-геометрические результаты будут «напомнены» слушателям.