А.А. Иванов
DG-категории

по субботам в 13-00 с 28-го сентября ПОМИ



Ключевую роль в современной теории представлений и алгебраической геометрии играют понятия производной категории и триангулированной категории, введенные Александром Гротендиком и Жаном-Луи Вердье в 1960-е годы. Это очень полезные и эффективные конструкции, однако еще сам Гротендик отметил определенную неестественность некоторых ключевых свойств этих объектов. В связи с этим он создал теорию дериваторов, призванную решить эти проблемы. Однако дериваторы довольно трудны для восприятия и очень трудны для работы. Спецкурс будет посвящен альтернативному подходу к этой проблеме, активно развивающемуся в течение последних двадцати лет - теории DG-категорий. Мы начнем с классического понятия дифференциальной градуированной алгебры или, иначе говоря, DG-алгебы. Например, дифференциальные формы на многообразии образуют DG-алгебру. DG-категория - это категорификация понятия DG-алгебры. Далее мы вспомним ряд классических конструкций теории категорий, таких как локализация категорий по Габриэлю-Цисману, триангулированная категория, структура модельной категории по Квиллену, а потом адаптируем и применим их для DG-категорий. Основная цель спецкурса - понять конструкцию триангулированной DG-категории, которая выгодно отличается от обычной триангулированной категории тем, что в ней конус морфизма определен функториально, и тем, что её К-теория и её гомологии Хохшильда являются её инвариантами, что не выполнено для обычных триангулированных категорий. Планируется также обсудить применения этой теории в алгебраической геометрии и К-теории. В частности К-теорию Вальдхаузена.

Литература

Bertrand Toёn Lectures on DG-categories
Bernhard Keller On differential graded categories