Панина Г.Ю.

Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию

Сетевой миникурс из 4-5 лекций

Занятия будут проходить по средам в 18-00 по системе Webex. Первая лекция состоится 4 ноября 2009 г.

========================

Чтобы прослушать курс, необходимо написать о своем желании Гаянэ Юрьевне Паниной на адрес gaiane-panina@rambler.ru . В письме надо подробно представиться -- кто Вы, откуда, где, чему и у кого учитесь. Если вы уже математик -- вы знаете как представляются математики Всего возможно одновременное подключение 23-х удаленных компьютеров.

===========================

В ближайшее время появится доступный в сети подробный конспект курса.

Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений... Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже успевшая стать классической.

Стремясь к максимальному упрощению, мы ограничимся двумерными торическими многообразиями (и, соответственно, двумерными многогранниками, то есть многоугольниками).

Программа курса.

1. Элементарные вводные примеры: проективная прямая и проективная плоскость как торические многообразия.Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие». Пример сингулярного многообразия.

2. Торические изоморфизмы. Принцип склейки многообразия из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия ». Раздутие. Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника».

3. Структурный пучок. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.

4. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.

От слушателей требуется знакомство с понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «модуль над кольцом», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость».