There still remain three studies
suitable for freemen.
Arithmetic is one of them...
Plato, Laws, Book VII.

1 Введение

1.1 О чем эти лекции

В основном это рассказ о теории чисел. Экспериментальный факт: для теории чисел полезна и нужна вся хорошая математика, а плохая не нужна. План такой: разбираться в теории чисел, а заодно и подучить хорошую математику. Таким образом, у этих лекций есть начало, но, видимо, нет конца...

Постараемся придерживаться следующих принципов:
• учимся математике на примере хороших задач;
• стараемся особое внимание уделить "простым" вопросам: "Зачем это нужно?"; "Как до этого можно было догадаться?" и т. д.
• рассматриваем много примеров и "антипримеров".
Кроме того, время от времени будут появлятся учебные задачи, темы для докладов на семинаре и темы для самостоятельной научной работы.

1.2 Хорошие и плохие задачи

Что делает задачу хорошей или плохой? Например:

Хорошая задача	Качество неизвестно	Плохая задача
Теорема Ферма	Простые близнецы	Проблема 4-х красок

По Манину, задачи о близнецах и задача о 4-х красках не хороши, так как не включены ни в какой контекст. Заниматься "близнецами" очень рискованно.

В качестве нерешенных хороших задач выбрано несколько проблем Гильберта, проблем
тысячелетия и несколько других задач.

1. Гипотеза Римана.
2. Гипотеза Берча–Суиннертона-Дайера.
3. 12-я проблема Гильберта и программа Ленглендса.
4. Гипотезы Ходжа и Тэйта.
5. Вычисление гомотопических групп сфер.

В качестве решенных хороших задач выбраны
1. программа Вейля – теоремы Гротендика и Делиня;
2. гипотеза Морделла – теорема Фалтингса;
3. гипотеза ("теорема") Ферма – теорема Вайлса.