 | Е.О. Степанов, "Задача Плато и родственные ей задачи оптимизации формы" |
|
Курс лекций "Задача Плато и родственные ей задачи оптимизации формы" (2 cеместр) По субботам 15:30 10 линия (старый матмех) ауд 66 Аннотация. Основной вопрос, который будет рассмотрен в курсе, – это правильная постановка задачи о минимальных поверхностях (задачи Плато) и существование ее «обобщенных» решений. Понятие «обобщенного» решения такой задачи весьма нетривиально, более того, таких понятий придумано много (потоки, варифолды, (M,\varepsilon,\delta)- минимальные множества и т.д.). В курсе будут рассматриваться в основном два обобщения понятия поверхности, одно – основанное на функциях ограниченной вариации и множествах конечного периметра, – хорошо подходит для задачи в коразмерности 1, другое – основанное на понятии потоков де Рама (или De Giorgi-Ambrosio-Kirchheim'a), – подходит для любой коразмерности. Второй вопрос, который предполагается затронуть в курсе (если успеем, что вряд ли), – регулярность обобщенных решений. Курс должен быть в принципе доступен всем студентам, знакомым с основными понятиями теории меры и с элементарными основами функционального анализа. Содержание курса 1. Интуитивная постановка задачи Плато. Меры Хаусдорфа, плотности мер. Липшицевы функции, продолжимость, дифференцируемость. Задача Штейнера – одномерная задача Плато, существование решений. 2. Периметр. Функции ограниченной вариации и множества конечного периметра (множества Cacioppoli). Существование множеств минимального периметра. 3. Потоки де Рама в конечномерном евклидовом пространстве. Формы, потоки, нормальные потоки, спрямляемые потоки, целочисленные потоки, плоские цепи. Массы потоков. Метод калибровок, примеры потоков минимальной массы. 4. Метрические потоки De Giorgi-Ambrosio-Kirchheim’а. Нормальные и спрямляемые потоки. Евклидовы плоские цепи и метрические потоки. Топологии в пространствах потоков. Сечения потоков. Компактность. Сходимость Громова-Хаусдорфа. Изопериметрические неравенства. Конусы. Существование решений задачи Плато. 5. [Регулярность минимальных поверхностей в коразмерности 1]. |