Fizmatclub: Коллоквиум лаборатории Чебышева, четверг 11 сентября.

Александр Звонкин

Университет Бордо (Франция)
и
Кафедра им. Габриэля Ламе (Санкт-Петербург)

Комбинаторный подход к решению одной экстремальной
задачи о многочленах

В 1965 году Бёрч, Чоула, Холл и Шинцель (Birch, Chowla, Hall, and Schinzel) поставили следующую задачу. Пусть даны два комплексных многочлена $A$ и $B$ . Какова может быть минимальная степень разности $A^3-B^2$ (если эта разность не равна тождественно
нулю)? Авторы предложили две гипотезы: первая из них давала оценку для искомой степени, а вторая утверждала, что эта оценка неулучшаема. Первая гипотеза была доказана в том же году Дэвенпортом (Davenport); вторая гипотеза оказалась более трудной и была доказана Стозерсом (Stothers) лишь 16 лет спустя, в 1981 году. В 1995
году Занньер (Zannier) рассмо\-трел существенно более общую задачу --- о наименьшей степени разности двух многочленов с заданными кратностями корней. Он нашёл нижнюю границу этой степени и доказал её неулучшаемость. В 2010 году Бёйкерс и Стьюарт (Beukers and Stewart) вернулись к частному случаю задачи Занньера, а именно, к степени разности $A^p-B^q$ , но при этом наложили условие рациональности на коэффициенты многочленов $A$ и $B$ .

В недавней совместной работе с Фёдором Паковичем (университет Беер-Шевы, Израиль) мы устанавливаем соответствие между парами многочленов, для которых достигается оценка Занньера, и плоскими деревьями, рёбра которых снабжены целочисленными весами. Если дерево, отвечающее заданному набору степеней вершин, единственно,
то соответствующие многочлены имеют рациональные коэффициенты. Мы
классифицировали все такие деревьья, а также вычислили все соответствующие им многочлены. Рассмотрены также другие комбинаторные инварианты действия группы
Галуа на взвешенных деревьях. Наконец, в совместной работе с Николаем Адриановым (МГУ) мы установили полную классификацию примитивных групп монодромии взвешенных деревьев.

Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

You are here