Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

Семинары (предположительно) "Теория Ходжа" и "Абелевы многообразия";
руководитель - М.В. Бондарко.

Оргсобрание - 17:00 8.09 (вторник), 413 аудитория (лаборатория
Чебышева, 14 линия В.О., д. 29а, встречаемся в "холле" лаборатории -
от вахты нужно долго идти по коридору налево; если путь преградит
запертая дверь - звонить в нее). Целевая аудитория - начиная с 4
курса, если 4 курс реально будет ходить.

Руководитель предпочел бы, чтобы обе темы изучались в форме семинаров
(тогда нужны
желающие сделать доклад); но по абелевым многообразиям можно вместо
этого устроить спецкурс.
Время "регулярных" собраний может быть другим (в частности, можно
развести темы по дням) - но для того, чтобы на это повлиять, нужно
связаться с М.В. Бондарко (лучше всего - как раз придя на
оргсобрание)!

Анонсы подробно.

Теория Ходжа.

Теория Ходжа - замечательный сплав комплексного анализа, матфизики,
алгебраической геометрии и гомологической алгебры.
С алгебраической точки зрения, она представляет собой инструмент,
позволяющий сопоставить комплексному (как алгебраическому, так и не
совсем) многообразию когомогии с весьма нетривиальной структурой.
Гипотеза Ходжа предсказывает, что по этим структурам можно "почти
восстановить" само алгебраическое (проективное) многообразие; эта
гипотеза входит в список Проблем Тысячелетия.

Уровень и "направленность" занятий (аналитическая/алгебраическая)
будет, в значительной степени, определяться пожеланиями участников.


Абелевы многообразия и 1-мотивы.

Абелевы многообразия - проективные алгебраические многообразия, на
которых задана структура группы. Они обладают рядом интересных
свойств; в частности, эта группа всегда абелева. Арифметика и
геометрия абелевых многообразий представляет большой интерес; уже
простейшие (одномерные) абелевы многообразия - эллиптические кривые -
имеют большое значения для криптографии; с их помощью была доказана
теорема Ферма, и им посвящена другая проблема тысячелетия - гипотеза
Берча-Свинертон-Дайера. С абелевыми многообразиями (и их
комплексно-аналитической структурой) связана интереснейшая теория
модулярных форм. С "мотивной" точки зрения абелевы многообразия
"соответствуют" гладким проективным кривым; в частности, они позволяют
вычислить количество точек кривой над конечным полем надо рассмотреть
ее якобиан - абелево многообразие.

1-мотивы нужны, если хочется изучать не обязательно гладкие и
проективный кривые. Они были определены Делинем как "самый большой
явный кусок" гипотетической категории смешанных мотивов. За последнее
десятилетие была подробно изучена связь 1-мотивов с мотивами
Воеводского.

Опять же, то, с чего мы начнем, сильно зависит от слушателей.
Можно начать с эллиптических кривых; 1-мотивы можно и на следующий
семестр отложить.