Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

В осеннем семестре 2022 года будет читаться спецкурс

Студенты МКН могут выбрать этот спецкурс официально.

Контактный адрес Б. Шойхета borya_port@yahoo.com

Сайт курса расположен здесь

Всех интересующихся просьба регистрироваться тут

Время и место будет объявлено после согласований с заинтересованными лицами

Некоммутативная геометрия это очень широкий предмет, который изучает различные подходы к тому что могло бы быть некоммутативным аналогом обычных многообразий. Например, можно пытаться склеить пространство из некоммутативных ассоциативных алгебр, или же рассматривать дифференциальную градуированную (дг) категорию как замену дг категории пучков на коммутативном многообразии. При этом можно в абстрактных категорных терминах переговорить гладкость, компактность, переговорить на языке дг категорий различные когомологические теории, ассоциированные с многообразием, и тд. Можно также рассматривать некоммутативные многообразия как деформации коммутативных. Идеи некоммутативной геометрии вездесущи в современной математике–от математической физики до алгебраической геометрии и теории категорий. Мы остановимся на нескольких темах.

1. (Ко)гомологии Хохшильда и циклические гомологии. Последние позволяют, например, определить аналог комплекса де Рама для любой некоммутативной дг алгебры или любой дг категории.

2. Теория операд, гомотопические и высшие структуры. Мы изучим в частности A∞ и L∞ алгебры, являющиеся гомотопическими версиями ассоциативных алгебр и алгебр Ли, а также n-алгебры. Мы определим Кошулевы операды и построим по Кошулевой операде ее каноническую свободную резольвенту.

3. Современная теория деформаций, при которой вся информация о деформируем объекте закодирована в дг алгебре Ли, а по ней строится функтор деформации на артиновых коалгебрах. Мы построим эти дг алгебры Ли связанные с деформациями ассоциативных алгебр, алгебр над операдой, комплексных структур, ... Мы покажем инвариантность функтора деформаций относительно квазиизоморфизма дг алгебр Ли.

4. Формальность Концевича в форме Концевича и в форме Тамаркина. Формальность Концевича позволяет сводить вопросы квантования алгебры полиномов (или, более общо, гладких коммутативных алгебр) к некоторым более простым инфинитезимальным вопросам. В частности это дает универсальную формулу для деформационного квантования. Подход Концевича связан с идеями пришедшими из математической физики–топологической теории поля на диске, а подход Тамаркина связан с теорией деформаций операд и приводит к более сильному утверждению. Если позволит время, мы разберем оба подхода.