Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

Курс будет посвящен изучению операд. Операды были введены Мэем как способ ответить на вопрос: когда топологическое пространство $X$ является $n$-кратным пространством петель: $X=\Omega^nY$, при $n\ge 1$. Мэй ввел операду маленьких дисков $E_n$ и доказал что если операда $E_n$ действует на $X$ и $\pi_0(X)$ группа, то $X$--$n$-кратное пространство петель. Более того, из этого действия можно и найти само пространство $Y$, посредством некоторого обобщения бар-конструкции. Мы начнем с основных определений связанных с операдами, и перейдем к обсуждению этих результатов Мэя. Затем мы обсудим "несимметрические версии" операды $E_n$--а именно, $n$-операды Батанина. Если в обычных операдах "арность" операции это натуральное число, то в $n$-операдах арность это $n$- уровневое дерево. Имеется довольно простой функтор десимметризации--из $n$-операд в симметрические операды, и нетривиальный левый сопряженный к нему--функтор симметризации из $n$-операд в симметрические. При этом оказывается что \\ симметризация стягиваемой в каждой арности кофибрантной $n$-операды--это операда $E_n$, в этом состоит фундаментальная и совершенно нетривиальная теорема Батанина. Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. С другой стороны, стягиваемые $n$-операды приспособлены к действию на колчанах и старших колчанах, и приводят к определению ``слабых $n$-категорий''. При этом слабые $n$-категории и $E_n$-алгебры оказываются связанными, весьма явным образом.

Пререквизиты: Курс не предполагает никаких специальных знаний и доступен студентам начиная со 2 курса. Все неизвестное но требуемое будет рассказано по просьбе слушателей.

Литература:

1. J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer

2. P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972

3. M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher operads

4. M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and compactification of real configuration spaces