 | И.А. Панин, "Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика" |
И.А. ПанинТеорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика IIКурс продолжается в весеннем семестре 2024. Первое занятие в пятницу 16 февраля. Ауд. 203 ПОМИ 19.30.-- 21.30 И.А. ПанинТеорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме ГротендикаЛекции будут читаться в ПОМИ. Заинтересованных просьба зарегистрироваться На первом организационном занятии (на неделе 4 -- 8 августа) для спецкурса решится точный день и точное время. Все будет объявлено в рассылке зарегистрированным и на сайте физматклуба А.Гротендик определил группы К_0(Х) алгебраических ногообразий для того, чтобы сформулировать и доказать общую теорему Римана--Роха. Последняя является одним из ключевых вычислительных средств в алгебраической геометрии. Цель настоящего курса -- сформулировать и доказать указанную теорему в формулировке А.Гротендика. В работах А.Л.Смирнова и лектора была сформулирована и доказана еще более общая теорема такого типа: а именно, было введено общее понятие интегрирования на кольцевых теорих когомологий и доказали, что любое кольцевое преобразование теории phi: А --> В такое, что phi(класс Эйлера в А)=классу Эйлера в В, согласовано с интегрированиями на А и на В. Если теперь положить А=К_0, В=когомологии с рациональными коэффициентами, phi=ch (характер Черна), и сопрячь обычную ориентацию в когомологиях на род Тодда, то получится получится новая ориентация на когомологиях такая, ch(класс Эйлера в К_0)=новый класс Эйлера в когомологиях. Поэтому характер Черна согласован с обычным интегрированием (прямыми образами) на К_0 и с новым интегрированием (прямыми образами) на когомологиях. Расшифровка поледнего утверждения совпадает с теоремой Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика. Подчеркнем, что в упомянутых работах А.Л.Смирнова и лектора был раскрыт и внутренний смысл знаменателя Рода Тодда: теории А отвечает формальный групповой закон F_A над А(точки), теории В закон F_B над В(точки). Преобразованию phi отвечает морфизм Phi(t) из закона F_B в расширенный от А(точки) до В(точки) закон F_A. Род Тодда td(phi) равен по определению формальному ряду t/Phi(t). Частным случаем и является классический род Тодда t/(1-exp(-t)).
Пререквизиты.
Предполагается знание обычных когомологий и немного теории когерентных пучков. С последними можно познакомиться, например, по статье Бореля и Серра или по Хартсхорну или по брошюре Львовского (МЦНМО). Также предполагается знакомство с комплексными алгебраическими многообразиями. Данный курс расчитан на студентов 3-го, 4-го курсов, на магистрантов и аспирантов. |