Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

В этом курсе мы затронем основные методы построения модельных категорий: small object argument, факторизационные системы, трансферы через сопряжения, локализации Бусфильда универсальных модельных категорий. Применим эти методы для быстрого построения модельных структур на:

1) категории обогащенных категорий над данной моноидальной модельной категорией

2) категориях с тензором и котензором над симплициальными множествами.

3) На категориях функторов и др. основных категориях. По результатам статей Даггера увидим, что в действительности существует достаточно много симплициальных модельных категорий. (Квиллен эквивалентность A с sA, где на sA заведена некоторая модельная структура совместимая с обогащением).

Покажем как строить универсальные модельные категории по данным категориям. Оказывается, все комбинаторные модельные категории происходят из локализации универсальных, т. е. своего рода задание с помощью генераторов и образующих. Каждая комбинаторная модельная категория эквивалентна собственной слева симплициальной модельной категории.

Применим универсальные модельные категории для построения теории гомотопий с предписанными line-объектами. Подметим, что конструкция Воеводского и Мореля A1-теории гомотопий - это на самом деле и есть формальная процедура построения локализации универсальной модельной категории по категории Sm гладких схем конечного типа над фиксированным полем, и добавления соотношений возникших с Гротендиковской топологии на Sm + A1 схема это line-объект. Аналогичная ситуация возникает и с топологическими многообразиями, где A1 это вещественные числа R. Все гомотопические теории возникающих их этих модельных эквивалентны стандартной гомотопической теории пространств.

Обсудим структуру Джояла на симплициальных множествах (где фибратные объекты - это в точности малые бесконечность-категории) и установим Квиллен эквивалентность с категорией симплициальных категорией с модельной структурой Бергнера.

Затронем соответствие представимых бесконечность-категорий с модельными категориями. Рассмотрим как данное соответствие применяется например в вопросах о пределах и копределах в инф категориях (пример Cat_inf и категории отмеченных симплициальных множеств), и в вычислении когомологий Квиллена определенных в представимых стабильных бесконечность категорий.

К курсу необходимых пререквизитов нет. Единственно, что было бы желательно, так это иметь представление о том, зачем нужны модельные категории.

Список литературы использумой в изложении:

J. Ada ́mek and J. Rosicky, Locally Presentable and accessible categories

A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy limits, completions, and localizations

D. Dugger, Replacing model categories by simplicial ones

D. Dugger, Universal homotopy theories, Preprint.

D. Quillen, Homotopical Algebra,

Stefan Schwede, Spectra in model categories and applications to the algebraic cotangent complex

D. Dugger, Combinatorial model categories have presentations

Y. Harpaz and M. Prasma, The Grothendieck construction for model categories

J. Lurie, Higher topos theory

J. Lurie, Higher Algebra

Alexandru Stanculescu, Constructing model categories with prescribed fibrant objects

M. Hovey, Model categories

Paul G. Goerss, John F. Jardine, Simplicial homotopy theory

Philip S. Hirschhorn, Model categories and their localizations

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, Matan Prasma, The tangent bundle of a model category