 | Б.Б. Шойхет, "Операды II" |
Б.Б. ШойхетОперады IIКурс Физматклуба - EIMI, весна 2024, ПОМИ, Zoom. Сайт курса на Indico. Желающих участвовать просьба: 1. Зарегистрироваться на Indico, 2. Подписываться на Телеграм-канал "Операды" для обсуждения расписания. В прошлом семестре мы изучили некоторые основные вопросы связанные с операдами: основные определения и примеры, топологические операды $E_n$ и их цепные операды и гомологии, свободные операды и свободные резольвенты операд. В этом семестре предполагается обсудить вопросы теории операд связанные с высшей теорией категорий и с теорией гомотопий. Один из основных сюжетов--$n$-операды Батанина, которые не операды в смысле первого семестра, так как арность в этих операдах не целое неотрицательное число, а уровневое дерево с $n$ уровнями. Мы рассмотрим два функтора--простой функтор {\it десимметризации} $\Des$ из симметрических операд в $n$-операды, и нетривиальный функтор {\it симметризации } $\Sym$ из $n$-операд в симметрические операды, левый сопряженный к $\Des$. Глубокая и нетривиальная теорема Батанина состоит в том что симметризация стягиваемой кофибрантной $n$-операды это операда имеющая гомотопический тип $E_n$. Значение этой теоремы в том что действиями стягиваемых $n$-операд можно описывать слабые $n$-категории. Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. Я надеюсь рассказать его основные идеи. Также мы рассмотрим приложения как это все работает: связь с описанием гомотопических свойств категории малых дг категорий (по работе Тамаркина What do dg categories form? и моему альтернативному подходу к той же задаче), с $n$-моноидальными категориями, и если получится с первыми главами трактата Гротендика Pursuing Stacks (последнее являлось изначальной мотивацией Батанина, и впоследствии было развито в работах Бергера и Цисински). Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов, а также знакомство с курсом Операды читанном мной в первом семестре 2023/24 учебного года. Литература: [1.] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer [2.] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972 [3.] M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher operads [4.] M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and compactification of real configuration spaces |