Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

 

You are here

Help with Search (new window)
 
Picture of Egor Pifagorov
С. Ягунов, "Модулярные формы и приложения"
by Egor Pifagorov - Friday, 16 February 2024, 03:31 PM
 

С. Ягунов

Модулярные формы и приложения III


Весной 2024 продолжается курс "Модулярные формы и приложения II"
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 20 сентября в ПОМИ (комната 311)
Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста здесь.
Сайты курса: yagunov.info/Modular/mindex4.html
https://indico.eimi.ru/category/97/
Телеграм канал: https://t.me/+-vqf-efH3yIzNzli

В первом семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций относительно полной модулярной группы SL_2(ℤ). Мы определили модулярные функции и формы, вычислили размерности их пространств, определили действующие в этих пространствах операторы Гекке (Hecke). Также обсуждались различные арифметические приложения, такие, например, как формулы для сумм степеней делителей чисел и функция Рамануджана.

Второй семестр был, в значительной степени, посвящен эллиптическим функциям и кривым. Мы ознакомились с различными подходами к теории эллиптических функций, научились считать рациональные точки на некоторых эллиптических кривых, определили их дзета-функции. Мы обсудили такие широко известные гипотезы, как гипотеза Хассе и Берча-Суиннертон-Дайера. Также, в качестве одного из хорошо известных арифметических приложений теории эллиптических кривых, мы обсуждали классическую задачу о конгруэнтных числах.

В этом семестре мы займемся развитием теории модулярных форм относительно конгруэнц-подгрупп. Постараемся рассказать немного о гипотезе Таниямы-Вейля (из которой следует, например, великая теорема Ферма) и о стратегии ее доказательства.

Однако, мы начнем семестр, как обычно, с обсуждения одного классического вопроса из арифметики. На сей раз, это будет проблема о представимости чисел суммами квадратов, и вычислении числа таких представлений. Ответы на эти вопросы мы извлечем из теории модулярных форм. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, приглашаются, также, заинтересованные слушатели, не участвовавшие в предыдущих семестрах.