 | И.А. Панин (ПОМИ), "Алгебраическая геометрия I" |
|
И.А. Панин начинает курс "Алгебраическая геометрия I"
Первое орг занятие будет
В четверг 5-го сентября В 18.00 В поми, к. 203 Фонтанка 27 Официальный сайт курса https://indico.eimi.ru/category/118/
Просьба регистрироваться https://indico.eimi.ru/event/1678/
Анонс.
Мы будем сначала работать над алгебраически замкнутым полем k, например над полем С. Будут определены аффинные алгебраические многообразия, алгебраические многообразия и морфизмы между ними. Построим произведение алгебраических многообразий. Далее рассмотрим классы проективных и квази-проективных, аффинных и квази-аффинных многообразий. Рассмотрим конструкции Мах:=Specm и Proj. Первая описывает все аффинные,вторая—все проективные многообразия. Рассмотрим примеры: Р^n, гиперповерхности в Р^n, квадрика, Грассмановы многообразия и т.д. Докажем, что образ проективного проективен. Определим понятие размерности, неприводимости, разложим каждое многообразие на неприводимость компоненты (однозначно). Определим касательное пространство в точке, дадим определения гладкости в точке и гладкости многообразия. Докажем лемму Нетер о нормализации, теорему о размерности слоев и научимся «считать параметры». Докажем, гладких неприводимых кривых над k столько, сколько расширений K/k вида K > k(t)>k таких, что K конечно над k(t). Покажем, что каждый непостоянный морфизм между такими кривыми — это разветвленное накрытие. Докажем формулу Гурвица (если k=C) и выведем следствия. Введём понятие алгебраического векторного расслоения. Если его база Х аффинна, то докажем, что пространство Sect его сечений над Х — это локально свободный С[Х]-модуль. Дадим конструкцию раздутия гладкого многообразия в точке (в замкнутом гладком подмногообразии). Докажем, что гладкая квадрика в Р^3 — это произведение Р^1 на себя, что гладкая кубика в Р^3 - это Р^2 с шестью раздутыми точками. Отсюда увидим, что на такой кубике лежит ровно 27 прямых. Далее поле k станет не замкнутым (R, Q, конечное поле, C(t), … ). Определим аффинные и произвольные алгебраические многообразия над таким k. Определим морфизмы между ними. Разберём примеры, чтобы развить интуицию о многообразиях над таким полем k. Одна из целей курса — подвести слушателей к теории схем Гротендика. Последних пока не будет. Но, мы будем систематически использовать язык, который позже плавно приведёт к схемам Гротендика. Списка литературы пока нет, но появится. Предполагается знание полей, колец (коммутативных), модулей, идеалов. Знакомство с с понятиями топологического пространства и непрерывного отображения. Буду пояснять по ходу курса, что ещё надо почитать (с чем познакомиться) самостоятельно. Курс рассчитан на вдумчивых студентов 2-го курса и старше. |