Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

---

Лекции будут проходить по субботам в ПОМИ в аудитории 311. Время уточняется . Коммуникация
будет происходить через тг канал. Большая просьба регистрироваться..

---

Мы продолжим изучение этальных когомологий, начатое в прошлом семестре.
В прошлом семестре мы обсуждали в основном общие вещи, относящиеся к топологиям Гротендика: когомологи пучков в топологии, спуск для плоской топологии, когомологии Чеха, спектральная последовательность Лере, эквивалентность топологий.

В этом семестре мы займемся собственно этальной топологией.

После напоминания основных свойств этальных морфизмов и их примеров, мы определим этальную фундаментальную группу. Мы покажем независимость этальной фундаментальной группы от выбора базовой геометрической точки, необходимой для ее определения, где геометрическая точка может быть связана как с замкнутой точкой многообразия, так и например с его общей точкой. В случае мноогобразия $X$ над $\mathbb{Q}$, этальная фундаментальная группа соответствующего многообразия $\bar{X}$ над $\bar{\mathbb{Q}}$ оказывается изоморфной проконечному пополнению обычной топологической фундаментальной группы комплексного многообразия $X_{\mathbb{C}}$, и при этом возникает короткая точная последовательность

из чего следует что каждое многообразие $X$ над $\mathbb{Q}$ задает действие группы Галуа $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ внешними автоморфизмами проконечного пополнения топологической фундаментальной группы. По существу каждый выбор выбор ``рациональной формы" $X$ данного комплексного многообразия $X_\mathbb{C}$ задает такое действие. Два связанных сюжета--теорема Белого и группа Гротендика-Тейхмюллера. Дальше мы вычислим этальные когомологии $spec(k)$ спектра поля (ответ дается непрерыным в смысле проконечной топологии аналогом когомологий групп $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$), и этальные когомологии гладких кривых над алгебраически замкнутым полем. Самым нетривиальным шагом вычисления для кривых является теорема Тцена, для чего нам потребуется группа Брауэра поля и ее когомологическая интерпретация: $\mathrm{Br}(K)=H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), \overline{K}^{\times})$. Наконец мы докажем теорему Артина обещанную в прошлом семестре, утверждающую что для гладкого комплексного многообразия $X$ над $\mathbb{C}$, и для конечного пучка кручения $F$ на $X$, этальные когомологии $H^\udot_{\et}(X,F)$ изоморфны когомологиям $X$ с коэффициентами в $F$ в классической аналитической топологии.

Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:

G.Tamme, Introduction to \'{e}tale cohomology, Springer 1994

M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962

P.Deligne, \'{E}tale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский перевод)

Ж.-П. Серр, Когомологии Галуа

J.P. Murre, Lectures on An Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group

H.W.Lenstra, Galois theory for schemes

Ph. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology

Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии, и самыми базовыми понятиями алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, а также некоторое знакомство с содержанием курса в прошлом семестре.