Интегрируемые спиновые цепочки

Мини-курс (4-5 занятий)

С.Э. Деркачев

Обычно исследование модели спиновой цепочки разбивается на два этапа. На первом (алгебраическом) этапе исходная задача сводится к исследованию системы алгебраических уравнений — уравнений Бете. Второй этап (аналитический) состоит в исследовании решений уравнений Бете.

Цель курса — на примере простейшей спиновой XXX-цепочки объяснить алгебраическую часть.

Примерный план:

• Квантовая XXX цепочка спина 1/2 — модель Гейзенберга.
  1. Описание модели. Матрицы Паули. Гамильтониан. Цепочка с двумя узлами. Цепочка с тремя узлами. sl(2)-инвариантность.
  2. sl(2)-инвариантная R-матрица Янга. Уравнение Янга-Бакстера. Оператор Лакса. Коммутационные соотношения для операторов Лакса. Матрица монодромии и коммутационные соотношения между ее элементами.
  3. Алгебраический анзатц Бете. Уравнения Бете. Уравнения Бете в форме Бакстера.
• Квантовая XXX цепочка произвольного спина.
  1. Представления алгебры sl(2).
  2. Оператор Лакса. Коммутационные соотношения для операторов Лакса. Матрица монодромии.
  3. Алгебраический анзатц Бете. Уравнения Бете. Уравнения Бете в форме Бакстера.
  4. Гамильтониан. R-матрица, действующая в тензорном произведении двух произвольных представлений алгебры sl(2). Общее уравнение Янга-Бакстера.
  5. Оператор Бакстера и его свойства.

Это примерный план, который может быть изменен.

Возможные дополнительные темы:

• Решение Бакстера шестивершинной модели.
• Факторизация общего решение уравнения Янга-Бакстера на примере sl(2)- и sl(3)-инвариантных R-матриц.
• Спиновые цепочки и перенормировка составных операторов в QCD.

«Что касается принятого способа изложения, то автор полагал, что достаточно подробное рассмотрение математической части задачи скорее облегчает, чем затрудняет понимание».