Введение в теорию представлений конечных групп, представления симметрических групп.

Лектор — А.М. Вершик

Программа:

1. Начала теории комплексных представлений конечных групп и конечномерных алгебр. Групповая алгебра, скалярное произведение, инволюция, унитарность конечномерных представлений.
2. Лемма Шура, полная приводимость представлений и полупростота групповой алгебры. Регулярное представление. Характеры и центральные функции, положительная определенность.
3. Дубль группы, левое и правое представления разложение групповой алгебры на минимальные двусторонние идеалы. Формула Бернсайда, мера Планшереля.
4. Индуцированные представления, формула Фробениуса. Примеры.
5. Симметрическая группа, задание ее образующими Коксетера. Группа кос и ее интерпретация, локальность.
6. Централизатор подгруппы. Простота ветвления представлений. Подалгебра Гельфанда-Цетлина, коммутативность и максимальность; образующие Юнга. Вырожденная аффиинная алгебра Гекке и ее представления. Спектр алгебры Гельфанда-Цетлина и таблицы Юнга. Теорема ветвления и граф Юнга.
7. Представление симметрической группы с данной диаграммой. Ортогональная форма Юнга. Формула размерности (крюков). Примеры реализаций представлений.
8. Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута.
9. Симметрические функции, базисы, функции Шура. Изоморфизм кольца симметрических функции и прямой суммы групповых алгебр симметрических групп. Бесконечная симметрическая группа.
10. Асимптотика диаграмм и представлений.
11. Группы Коксетера и простые алгебры Ли (обзор).

Отличие курса от многочисленных известных введений в данный круг вопросов состоит в двух главных пунктах:

• в общей теории — систематическое использование групповой алгебры и дубля группы с самого начала изложения;
• в теории представлений сииметрических групп — индуктивная точка зрения и использование алгебры Гельфанда-Цетлина.