Теория торических многообразий связывает объекты алгебраической геометрии и геометрии (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников.
В основном мы будем следовать книге Гюнтера Эвальда «Комбинаторная выпуклость и алгебраическая геометрия» (djvu доступна), дополнив курс естественными темами (т. Бернштейна-Кушниренко, т. Брийона, работы А. Хованского, Мак Маллена...)
Мой личный интерес в этой теме — разобраться, какие объекты в теории торических многообразий соответствуют гиперболическим виртуальным многогранникам.
Я буду предполагать, что слушатели что-то помнят из коммутативной алгебры (коммутативное кольцо, идеал, алгебра, модуль), а алгебраическую геометрию не знают совсем (однако такое знание вовсе не помешает).
Первое занятие курса состоится во вторник, 30 сентября в 18:00, в ПОМИ, ауд. 203.
Метрическая геометрия — это, по существу, дифференциальная геометрия без дифференцирования. Ее начала восходят к работам А.Д.Александрова о внутренней геометрии выпуклых поверхностей. В отличие от аналитических методов, подход Александрова был намного более геометричным — например, кривизна поверхности определялась через суммы углов треугольников. Позже эти идеи были применены к исследованию гораздо более сложных геометрических объектов и привели к созданию теории пространств Александрова. Результаты этой теории применимы и в дифференциальной геометрии, причем передоказать их аналитическими методами бывает очень сложно.
Я расскажу об основных понятиях и некоторых результатах этой области. Необходимые предварительные знания — топология и анализ в объеме первого курса матмеха. Знакомство с дифференциальной геометрией поверхностей полезно, но не обязательно.
Семинар будет посвящен разбору примеров, проработке технических деталей и решению задач.
Метрическое пространство — одно из основных понятий в математике. Уже в случае конечного количества точек возникает множество вопросов. Например: когда данный набор расстояний между точками реализуется в евклидовом (или другом) пространстве данной размерности? А если разрешить немного менять расстояния? Как устроен оптимальный транспорт на данном метрическом пространстве? Планируется обсудить эти и многие другие вопросы о метрических пространствах, относящиеся к теории графов, анализу, комбинаторике многогранников и др. Имеется много элементарных по постановке, но вполне содержательных задач, которые было бы неплохо решить. Предварительных знаний, выходящих за рамки расширенной школьной программы, не требуется.
Курс дает введение в современные методы спектрального анализа разностных операторов (бесконечных матриц) на прямой, связанные с теорией функций. Основное внимание уделяется качественным вопросам — связи структуры спектра и асимптотики полиномов.
Примерная программа:
Курс посвящен некоторым темам современной комбинаторики, имеющим отношение к топологии и физике. Изложение по большей части будет следовать книжке С. Ландо «Производящие функции« и его совместному с А. Звонкиным трактату «Embedded graphs». Большая часть курса не требует никаких специальных знаний и доступна студентам, знающим основы математики в объеме 1 курса математических специальностей.
Я предполагаю прочитать 8--10 лекций, в которых будет обсуждаться примерно следующий набор тем:
Римановы поверхности — это одномерные комплексно-аналитические многообразия, или гладкие алгебраические кривые. Они естественно возникают в самых разных областях математики и физики. Риман описывал их как разветвленные накрытия комплексной проективной прямой (сферы Римана), на которых алгебраические функции становятся однозначными. Он же впервые показал, что классы эквивалентных комлексных структур на топологической поверхности рода g зависят от 3g-3 комплексных параметров, называемых модулями. Несколько позже Гурвиц использовал римановы поверхности при решении такой чисто комбинаторной задачи, как подсчет числа различных представлений произвольной подстановки в виде произведения транспозиций. Эти числа (называемые числами Гурвица) прямо связаны с задачей классификации разветвленных накрытий сферы Римана, но до недавнего времени явные формулы для них были получены лишь в простейших случаях. Прорыв в понимании (и вычислении) чисел Гурвица связан с замечательной теоремой Экедала-Ландо-Шапиро-Вайнштейна (ELSV), выразившей их через характеристические числа пространств модулей.
Цель настоящего курса — это формулировка теоремы ELSV, а попутно — изложение необходимых для ее понимания основ теории пространств модулей римановых поверхностей. Минимальные требования включают основы комлексного анализа (функции одной переменной), теории дифференциальных форм и топологии (фундаментальная группа и накрытия). Элементарное знакомство с гомологиями и характеристическими классами также весьма приветствуется, хотя и не является абсолютно обязательным.
Грубо говоря, «dimer model» — это (комбинаторная) задача о статистических свойствах случайного покрытия доминошками доски очень большого размера. Оказывается, что эта задача непосредственно связана с дискретным комплексным анализом (и не только) и весьма интересна в пределе, когда размер клеток стремится к нулю (или, что то же самое, когда размер доски стремится к бесконечности). Из статьи R.Kenyon'а «Dimer problems» (An introduction to dimers written for the Encyclopedia of mathematical physics, см. www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/index.html):
Dimer model возникла в середине ХХ века, как пример точно решаемой двумерной модели статистической физики с фазовым переходом. Она применяется для моделирования различных физических объектов: свободные фермионы в размерности 1, двумерная модель Изинга, другие двумерные решеточные модели. Такие наблюдаемые, как « функция высоты» (height function) и «плотность локальных конфигураций» (density of motifs) имеют конформно-инвариантные свойства в пределе (когда шаг решетки стремится к нулю). Недавно эта модель также была использована в качестве простейшей модели поверхностей кристаллов в R^3.
Планируется начинать с разбора текста (2002 год) R. Kenyon. An Introduction into dimer models (arXiv:math/0310326) (и близлежащих тем (например, дискретный комплексный анализ сам по себе)) на уровне, доступном для понимания среднекурсников. Вообще говоря, требуются кое-какие предварительные знания по анализу и вероятности, но их можно получать и в процессе. Неизвестно, с какой скоростью удастся продвигаться, однако перспективная цель — разбор современного курса R. Kenyon. Lectures on dimers (лекции в pdf).
В частности, этот курс включает в себя совместные результаты Кеньона, Окунькова и Шеффилда (Dimers and Amoebae, Ann. of Math. (2006), arXiv:math-ph/0311005) о геометрии кривых, разграничивающих «фазы» в модели (впрочем, добраться до них за один семестр очевидно не удастся).
Ближайшее возможное время старта (если наберется достаточное количество заинтересованных слушателей) — третья неделя сентября. Просьба присылать пожелания о дне и времени на dchelkak@gmail.com. Если Вы хотите участвовать, но не имеете конкретных пожеланий — пожалуйста, напишите об этом. В частности, хочется изучить возможность дня, отличного от субботы (например, четверга).
Первая лекция состоится в Математическом институте (Фонтанка, 27), к. 311, 12:00.
Это курс предназначен для всех, интересующихся математикой, а не только для будущих топологов.
Предполагаемые знания: курс начинается «с нуля». От слушателей предполагаются элементарные знания по топологическим пространствам, группам и кольцам.
На примере вычисления гомотопических групп сфер планируется постепенно вводить алгебраические и геометрические структуры теории гомотопий.
Литература
Тропическая геометрия — новая красивая наука, открывающая море перспектив. На первых порах доступна всем — специальных знаний не требуется. Первая половина курса будет в целом совпадать с лекциями М. Казаряна в Дубне.
Я более подробне расскажу о исторической мотивации и pathworking. Последнее налаживает мостики между алгебраическими многообразиями и комбинаторикой многогранников. См. работы Г. Михалкина на citebase, по ссылке практически все материалы, которыми я буду пользоваться. Вторая часть курса определится пожеланиями слушателей ? например, можно изучить вещественные алгебраические кривые, тоже несложно, но красиво и интересно. Возможно, в конце удастся пересечься с курсом Г. Паниной.
Ещё материалы:
Первая лекция 21 сентября, 10:00 ПОМИ, к. 311. О пожеланиях насчёт времени пишите на nikaan@mathcenter.spb.ru.
Каждая тема будет занимать от 1 до 3 лекций. Материалы и текущее положение дел будут отражаться на mathcenter.spb.ru/nikaan.
Занятия будут происходить днем по средам в ПОМИ, комната 306 или 318.
Построение курса будет свободным, базовые понятия строго опеределяться не будут и разговор о схемах и пучках планируется только в форме неформального обсуждения и ответов на вопросы слушателей.
Главный упор будет сделан на конкретные сюжеты, такие как: Теорема Понселе о вписанно-описанных многоугольниках, формулы для рода плоской кривой, прямые на кубической поверхности и аналогичные задачи, связанные с теорией пересечений на многообразиях, Теорема Шварца-Клейна об автоморфизмах кривой рода больше одного, формулы Плюккера про особенности плоской кривой.
Подробный последовательный рассказ запланирован про дивизоры и линейные расслоения, линейные системы, раздутия, кольцо Чжоу.
Пререквизитом по коммутативной алгебре отстутвие страха при словах «локальное кольцо», «нормирование», «целое замыкание« и способность самостоятельно разбираться в коммутативной алгебре.
Пререквизитом по геометрии является хорошее интуитивное представление о гладком многообразии.
Первое занятие начнется в среду, 10 сентября, в 13:00.
Процесс "квантования", или замены алгебры классических, коммутирующих наблюдаемых на наблюдаемые "квантовые" на определенном пространстве событий, как бы он не происходил, имеет в своей основе ту идею, что классическая и квантовая механика являются разными реализациями одной и той же абстрактной схемы. Однако, до сих пор не удалось придумать универсальный рецепт, который бы предлагал адекватную замену такого рода в произвольной ситуации.
В асимптотическом квантовании считается, что наблюдаемые и состояния можно разложить в ряды по малому параметру h. Свободные члены этих рядов соответствуют классической механике, а члены первого порядка задают так называемое квазиклассическое приближение. Деформационное квантование исследует алгебраическую структуру алгебры наблюдаемых и рассматривает квантовую ситуацию как деформацию классической.
Геометрическое квантование ставит своей целью построение квантовых объектов исходя из геометрии соответствующих классических объектов. Источниками геометрического квантования являются, с одной стороны, попытки физиков распространить известные процедуры квантования простых механических систем на более общие конфигурации и фазовые пространства, а с другой стороны --- развитие математиками теории унитарных представлений, приведшие к методу орбит. Идеи геометрического квантования стали отправной точкой для многих математических теорий, например, для понимания некоторых инвариантов узлов и зацеплений в терминах топологической квантовой теории поля.
В предлагаемом цикле лекций не ставится цель аккуратно изложить процедуру геометрического квантования. Я попытаюсь всего лишь обрисовать круг идей и понятий, который является необходимым введением в эту теорию.
Литература
Программа курса (2 семестра)
Необходимые предварительные знания: элементарные сведения по теории групп и теории полей.
Литература:
Семинар (пока 1 семестр)
Предполагается обсудить, как понятия теории ветвления, хорошо известные в одномерном случае (т.е. для кривых и для числовых полей) - дифферента, дискриминант, группы ветвления, кондукторы - могут быть обобщены на многомерную (алгебро-геометрическую) ситуацию.
Изложение будет вестись на языке коммутативной алгебры, знание алгебраической геометрии не требуется. Необходимый материал из элементарной коммутативной алгебры будет кратко повторен.
Литература:
Ориентировочно первая лекция 26 октября.
Атом водорода является достаточно простой и одновременно достаточно нетривиальной квантово-механической системой, на примере которой можно иллюстрировать многие темы.
В D-мерии задача об атоме водорода обладает группой симметрии SO(D+1), что было обнаружено В.А. Фоком. Группа действует простым образом в импульсном пространстве, поэтому решение задачи сильно упрощается при переходе к импульсному представлению.
Связанные состояния образуют конечно-мерные представления группы, а состояния рассеяния принадлежат представлениям непрерывной унитарной серии. S-матрица, описывающая рассеяние в кулоновском поле, по существу совпадает со сплетающим оператором, который сплетает эквивалентные представления непрерывной серии.
При D=3 возникает группа SO(4), что является евклидовым вариантом группы Лоренца. Таким образом, на конкретном примере можно разобрать представления группы SO(4), группы Лоренца, SO(D): конечно-мерные представления, непрерывные серии, сплетающие операторы и т.д.
Вот ещё темы, которые содержательно иллюстрируются на этом нетривиальном конкретном примере.
Конкретный план лекций будет зависеть от состава участников.
Этот спецкурс не для тех, кто хочет просто расширить свой математический кругозор. Этот спецкурс для тех, кто хочет как можно быстрее попробовать свои силы в решении реальной, а не учебной математической задачи.
Метод получения оценок, связанный с нахождением так называемой функции Беллмана рассматриваемой экстремальной задачи, возник сравнительно недавно. Тем не менее, он успел зарекомендовать себя, как довольно мощный, а с другой стороны — элементарный, инструмент доказательства самых разных оценок, часто с точными константами. Так, с помощью этого метода была вычислена норма мартингального преобразования, найдены точные константы в обратном неравенстве Гёльдера для макенхауптовских весов, в неравенстве Геринга, в неравенстве Йона-Ниренберга для функций из ВМО, в диадической теореме вложения Карлесона и в ряде других задач. От слушателей не предполагается какие-либо знания, относящиеся к перечисленным задачам. Требуемые знания вообще минимальны: интеграл Лебега, пространства Lp и, пожалуй, большего не требуется.
Данный метод очень молод, и теории, как таковой, ещё не существует. Поэтому курс будет в основном состоять из рассмотрения конкретных задач, для решения которых данный метод применяется. Предполагается активная работа слушателей: часть материала будет даваться в качестве домашних заданий и, кроме того, по ходу курса будут формулироваться нерешённые задачи, которые будут предлагаться слушателям для самостоятельного исследования.
Новизна данной тематики даёт существенные преимущества молодым исследователям, поскольку для того, чтобы начать заниматься реальными, а не учебными задачами, не требуется освоения слишком обширного материала, уже накопленного к настоящему моменту – передний край науки оказывается необычно близок. Попробуйте свои силы.
Первое занятие предполагается провести в помещении ПОМИ (Фонтанка 27) в воскресенье 28-го сентября, 11:00. Время и место последующих лекций предполагается согласовать со всеми слушателями на первом занятии.
Курс является продолжением прошлогоднего. Мы начнем со стохастического дифференциала и формулы Ито, научимся решать стохастические уравнения методом последовательных приближений. Далее займемся диффузионными процессами и инфинитезимальными операторами, что позволяет моделировать процесс диффузии.
Предполагается, что слушатели знакомы различными видами сходимости, производной, стохастическими интегралами от неслучайной и случайной функций. Кроме того, предполагается знакомство с марковскими процессами. Подробнее мы обсудим это на первом занятии.
Мы будем заниматься целочисленными случайными величинами. Дискретная теория вероятностей не требует аппарата теории меры, однако позволяет познакомиться с такими понятиями как марковские цепи и ветвящиеся процессы. Таким образом, используя минимальный математический аппарат можно познакомиться с математической моделью некоторых реальных процессов. Список необходимых предварительных знаний будет обсуждаться на первом занятии.
Одна из тем, которые планируется разобрать — это относительно недавние работы Расмуссена и Манолеску — по мнению многих, самое значительное достижение топологии за посление годы, дающие надежду на избавление доказательств важных топологических теорем от громоздкой аналитической техники, на чисто комбинаторно-топологические доказательства.
Если найдётся много желающих, то разберём и другие свежие статьи, например, обзор Акбулута — arxiv.org/0807.4248.
5-го октября в 16:00 — доклад В. Левченко. Анонс за пару дней появится тоже на mathcenter.spb.ru/nikaan и в гугл-группе семинара.
Будет продолжение того, что было в прошлом семестре и в на первом занятии начнем разбирать тему «движение твёрдого тела».
Функциональный интеграл (он же континуальный интеграл, он же интеграл по траекториям, он же фейнмановский интеграл) — один из основных инструментов в современной квантовой теории поля. Несмотря на то, что формально (математически) доказать его существование довольно трудно, физики успешно работают с ним, получая нетривиальные результаты в квантовой механике, статистической физике, теории поля, теории суперструн и в смежных областях (в геометрии, топологии, интегрируемых системах и т.д.).
Чаще всего вычисление функционального интеграла ведётся с помощью теории возмущений, откуда берёт начало знаменитая техника фейнмановских диаграмм, которую мы рассмотрим на примере простейших моделей теории поля, а также (если будет время) на примере электродинамики. Также на этом примере можно продемонстрировать связь с некоторыми математическими вопросами, в частности, с комбинаторикой графов.
Также может быть рассмотрена (в зависимости от состава участников) неабелева теория поля (например, теорию Янга-Миллса), в которой появляются духи Фаддеева-Попова, а также т.н. «асимптотическая свобода» — важный эффект в квантовой хромодинамике.
Знание квантовой механики приветствуется, но в принципе не является обязательным.
Ориентировочное время начала лекций — 18-19 октября.
Описания пока нет. См. запись форуме.
Окончание курса предыдущего семестра.
За основу этого курса взята книжка А.Г. Хованского «Комплексный анализ». До конца курса (16 ноября) студентам предлагается решить серию задач по всему курсу для закрепления полученных знаний.
Примерная программа курса:
Квантовые группы — область современной математики, активно развивающаяся в своих чисто математических аспектах (теория представлений, связь с C*-алгебрами, инварианты зацеплений и т.д.) и имеющая многочисленные приложения в теории квантовых интегрируемых систем. Очень содержательным примером квантовых групп являются квантовые алгебры и группы Ли (алгебры Хопфа, зависящие от параметра деформации q и переходящие при q=1 в соответствующих классических объекты).
Примерный план на осенний семестр: квантовая алгебра Uq(sl(2)) и её представления (для слушателей, не знакомых с теорией представлений алгебр Ли, эта часть будет введением в данную область, поскольку для q в общем положении представления sl(2) и Uq(sl(2)) устроены одинаково), особенности представлений для q^N=1. Алгебры Хопфа, квазитреугольные алгебры Хопфа, универсальная R-матрица. Квантовая группа SL_q(2).
Курс ориентирован на студентов, от слушателей ожидается знание основ линейной алгебры. Занятия начнутся с ноября. Пожелания о дне и времени занятий просьба присылать на abytsko @ mail.ru
В классической механике интегрируемыми называются гамильтоновы динамические системы, если они имеют максимальный набор интегралов движения, находящихся в инволюции. Соответствующие уравнения движения являются точно решаемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, допускающими стабильные локализованные решения (солитоны). Многие классические интегрируемые модели тесно связаны с теорией классических алгебр Ли. В квантовой механике интегрируемыми называются модели, имеющие максимальный набор независимых самосопряженных операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Такие модели также являются точно решаемыми и они часто оказываются связаны с теорией квантовых групп. Теория интегрируемых моделей имеет важные приложения в теоретической, статистической и математической физике.
Примерный план на осенний семестр: нелинейные уравнения (КдФ, sin-Гордон, цепочка Тоды), солитоны, метод обратной задачи рассеяния, уравнение нулевой кривизны, классическая r-матрица, уравнение Янга-Бакстера, модели на решетке. Далее планируется перейти к квантовым интегрируемым моделям с использованием некоторых фактов из параллельного курса «Введение в теорию квантовых групп».
От слушателей ожидается знание линейной алгебры и анализа в объёме первого курса. Знакомство с основами теоретической и квантовой механики приветствуется, но не является обязательным (при необходимости нужный материал будет рассказан).
Начало ориентировочно в конце октября начале ноября.
В данном курсе будет представлено введение в алгебру SU(n) преобразований для новичков. Упор будет сделан на группе SU(3), лежащей в основе калибровочной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамике (КХД). Мы обсудим основные понятия, стуктуру и проблемы КХД. Также рассмотрим процедуру вывода цветовых факторов, фейнмановских диаграмм, вычислим «КХД-заряд» цветных объектов, определяющих интенсивность сильного взаимодействия и т.п.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля.
Фейнмановская программа расчитана на школьников 9-11 классов, интересующихся физикой и направлена на выработку вкуса к физическим рассуждениям. Подразумевает изучение знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» дома и обсуждение всех трудных и непонятных мест на семинаре вместе с решением соответствующих задач.
Начало ориентировочно в конце октября начале ноября.
Предполагается, что слушатели умеют дифференцировать и слегка интегрировать. Желательно (но не обязательно) знание основ квантовой механики.
Литература