Первое занятие состоится в четверг 14 февраля в 18:00 в ауд. 106 ПОМИ
Курс составлен в основном по книге Jiri Matousek «Lectures on Discrete Geometry» (Springer, 2002). Эта книга замечательна разнообразными задачами, которые предполагается решать и обсуждать на занятиях (лекции, разумеется, тоже будут).
Материалы по курсу: конспекты лекций и задачи.
Вопросы и пожелания можно присылать по адресу panina@iias.spb.su
Продолжение семинара.
Продолжение курса. Через 2-3 лекции опять начнется относительно независимая глава, к которой будет написан новый анонс.
Одно из достижений топологии в этом веке — описание гомотопического типа пространства одномерных узлов в R^n для n>3. Опираясь на идеи Гудвилли, Синха показал, что пространство узлов «склеено» из конфигурационных пространств — пространств конечных наборов различных точек в R^n. Это позволило найти рациональные гомологии и гомотопии пространства узлов.
Мы познакомимся с необходимой гомотопической и геометрической техникой: гомотопическими пределами, косимплициальными пространствами и их спектральными последовательностями, компактификациями конфигурационных пространств, теоремой Концевича о формальности операд кубиков.
Требуется предварительное знакомство с основными понятиями теории гомотопий, а во второй половине курса — и с теорией гомологий.
Литература:
Аддитивная комбинаторика изучает комбинаторные свойства аддитивных групп целых чисел и конечных полей. Сюда относится, например, знаменитая теорема Ван дер Вардена: если натуральные числа покрашены в конечное количество цветов, то найдется сколь угодно длинная одноцветная арифметическая прогрессия. Глубоким усилением теоремы Ван дер Вардена является теорема Семереди: для всяких $\varepsilon>0$ и натурального $m$ при достаточно большом натуральном $n$ любое множество, состоящее из $\varepsilon N$ натуральных чисел, меньших $N$, содержит арифметическую прогрессию длины $m$. Известно много доказательств теоремы Семереди, использующих как чисто комбинаторные соображения (как в исходном доказательстве Семереди), так и аппарат эргодической теории (подход Фюрстенберга). Эта область бурно развивается в последние тридцать лет. Одним из самых звонких ее достижений является теорема Грина-Тао о существовании сколь угодно длинной арифметической прогрессии, состоящей из простых чисел. Мы постараемся познакомиться по крайней мере с основными идеями, а если хватит сил — то и с деталями доказательств.
Другая тема, которую хочется затронуть в курсе — свойства сумм вычетов по простому модулю. Отправной точкой тут служит теорема Коши-Дэвенпорта: для множеств $A$, $B$ вычетов по модулю простого числа $p$ множество $A+B$ имеет хотя бы $\min(|A|+|B|-1,p)$ элементов. В настоящее время здесь применяются комбинаторные, алгебраические (Combinatorial Nullstellensatz Ноги Алона), аналитические (гармонический анализ) методы.
SLE — это случайная кривая (т.е. вероятностная мера на пространстве кривых), заданная в односвязной области на плоскости с двумя отмеченными граничными точками. Этот объект (под названием Stochastic Lowner Evolution) был введен O.Schramm'ом [1] в 1999г. и, благодаря своей важности и «каноничности», практически мгновенно стал предметом активных исследований (за работы по этой тематике С. Смирнов был награжден премией института Клэя (2001), а W. Werner медалью Филдса (2006)).
В курсе планируется обсудить две группы вопросов. Первая относится к самой конструкции SLE и включает в себя (по-видимому, лишь в обзорном (!) порядке): доказательство теоремы единственности, упомянутой выше [1]; простейшие свойства кривой (гельдеровость; простота/самокасание при kappa< 4, kappa>4) [2]; обратимость/дуальность SLE [3],[4]; размерность кривой [5],[6]; естественные обобщения при наличии других выделенных точек на границе [7]. Поскольку доказательства всех этих результатов довольно сложны, глубина обзора будет меняться от темы к теме (почти никогда не доходя до полностью законченных рассуждений).
Вторая группа вопросов связана с доказательством (!) сходимости (в частности, существования предельной вероятностной меры на кривых при измельчении решетки) интерфейсов двумерных статистических решеточных моделей к SLE. На сегодняшний день этот предельный переход осуществлен лишь для нескольких моделей (перколяция на шестиугольной решетке [8], LERW/UST на квадратной [9], модель Изинга при критической температуре [10]). В частности, планируется обсудить: принцип конформного мартингала [10], лежащий в основе доказательств сходимости; возникающую теорию голоморфных функций на (квадратной) решетке; (только при удачном стечении обстоятельств) дискретные голоморфные функции в задачах «random domino tiling» (работы R.Kenyon'а [11]); теорию голоморфных функций на изорадиальных графах [11], [12]; недавно полученное доказательство универсальности (т.е. независимости предела от конкретного вида решетки) модели Изинга на изорадиальных графах.
Идеальная аудитория — старшекурсники, аспиранты и все желающие узнать про эту современную область чуть больше и чуть более строго, чем это можно сделать на обзорных докладах. Для понимания необходимо уверенное знание базовых курсов ТФКП и ТВ (однако никаких знаний о решеточных моделях не предполагается). Из-за катастрофического недостатка образования у докладчика, обсуждение связей, например, с конформной теорией поля не планируется, акцент будет сделан на доказательствах в рамках самой теории SLE.
Курс непосредственно связан с двумя миникурсами С. Смирнова, читавшимися в рамках проекта fizmatclub.spb.ru в 2005 и 2006 г.г.
Библиография:
Оригинальные работы:
Геометрическая теория меры выросла из задачи Плато о нахождении поверхности минимальной площади с наперед заданным краем. Самый сложный аспект теории — вопрос об определениях: что такое «поверхность» и «площадь». Я планирую, не вдаваясь (пока) в вопросы о минимальных поверхностях, рассказать об основах, которые относятся скорее к анализу, чем к геометрии.
Планируется порядка 10 лекций в этом семестре (с перерывом на апрель). Потом возможно продолжение. Примерный список тем:
Предварительные знания: я собираюсь ориентироваться на уровень подготовки, соответствующий второму курсу матмеха. Для понимания большей части достаточно знать основы анализа — счетные и несчетные множества, последовательности и ряды, непрерывные функции, компактные множества в евклидовом пространстве. Иногда будут нужны функции нескольких переменных. Полезно (но не обязательно) знакомство с общей топологией.
Записки по курсу (pdf), лектор планирует дополнять и улучшать их по мере продвижения курса.
Курс планируется как введение, сообщающее основные понятия, связанные с теорией случайных процессов, такие как конечномерные распределения и построение процесса с заданными конечномерными распределениями. Далее будут изучаться марковские процессы и особенно винеровский процесс, являющийся математической моделью броуновского движения. Далее мы коснемся стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений.
Первые две лекции будут посвящены дискретной версии случайного процесса — марковским цепям. Частными случаями марковских цепей являются случайное блуждание и процесс радиоактивного распада. Будет проведена классификация состояний марковской цепи, доказано наличие предельного стационарного распределения.
Материал первых лекций будет доступен студентам младших курсов, изучавшим в школе основы теории вероятностей, т.к. использует только основные понятия дискретной теории вероятностей.
Продолжение курса предыдущего семестра.
План первых лекций:
Феймановская программа расчитана на школьников 9-11 классов, интересующихся физикой и направлена на выработку вкуса к физическим рассуждениям. Подразумевает изучение знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» дома и обсуждение всех трудных и непонятных мест мест на семинаре вместе с решением сответствующих задач.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля
Продолжение курса предыдущего семестра.
За основу этого курса взята книжка А.Г. Хованского «Комплексный анализ», в которой вся теория состоит из маленьких простых понятных красивых фактов. Кроме этого будут разобраны многочисленные примеры, позволяющие слушателям «войти в предмет».
Краткая программа теоретической части:
Интегралы по траекториям без теории поля (введение в фейнмановские интегралы)
Предполагается, что слушатели умеют дифференцировать и слегка интегриговать. Желательно (но не обязательно) знание основ квантовой механики.
Литература:
Программа:
Системы параметров. Комплекс Кошуля. Регулярные последовательности. Глубина модуля. Кольца и модули Коэна-Маколея. Проективная и инъекьтивная размерность, теорема Ауслендера-Бухсбаума. Гомологическая размерность в нетеровых локальных кольцах, гомологический критерий регулярности Серра. Факториальность регулярных локальных колец. Критерий нормальности Серра.
Литература:
Плоские модули и алгебры. Достаточные условия плоскостности. Модули дифференциалов. Неразветвленные, гладкие, этальные алгебры. Конечные и квазиконечные алгебры, основная теорема Зарисского. Чистота локуса ветвления.
Литература:
Необходимые предварительные знания: элементарная коммутативная алгебра в объеме книги Атьи-Макдональда, элементарная гомологическая алгебра.
Мы хотим рассказать о простейших понятиях дифференциальной геометрии и их связи с калибровочными теориями поля.
Программа:
Мы ориентируемся на младшекурсников, приветствуется знакомство с лагранжевым формализмом. Чуть позже будет добавлен список литературы.
Планируется обсуждать всякую топологию, преимущественно связаную с теорией узлов. Хотя программа вольная.
Цель курса — познакомить слушателей с основными понятиями теории векторных расслоений.
Программа (с чего мы начнем):
Литература:
Курс ориентирован на студентов, желательно знакомство с элементарной гомотопической топологией, в частности, c когомологиями.
Продолжение курса предыдущего семестра.
Продолжение курса предыдущего семестра.
Курс рассчитан на студентов первого и второго курса, однако приглашаются все желающие. Никаких предварительных знаний не предполагается.
Вы познакомитесь с понятиями коммутативной алгебры и их геометрической интерпретацией. Коммутативная алгебра без сомнения нужна всем, кто хотя бы как-то связан с математикой: алгебраическим геометрам, алгебраистам, физикам…
Программа курса будет варьироваться под интересы слушателей.
Первое занятие состоится 9 марта (воскресенье) в 14:00 в ПОМИ.
Мы познакомимся с таким крайне полезным алгебраическим объектом как спектральная последовательность. Семинар будет по книжке J. McCleary A User's Guide to Spectral Sequences (pdf-ка доступна).
Спектральные последовательности — один из наиболее элегантных, мощных и сложных методов вычисления в математике. На семинаре мы разберем самые важные примеры спектральных последовательностей и их приложения: спектральная последовательность Лере-Серра, спектральная последовательность Эйленберга-Мура, спектральная последовательность Адамса, спектральная последовательность Хохшильда-Серра.
Первое занятие состоится 12 марта (среда) в 17:30 в ПОМИ.
Будет три лекции: 20 апреля в 12:00, 26 апреля в 14:00 и 1 мая в 12:00.
Миникурс посвящен памяти Михаила Гусарова (1958–1999), которому в этом году исполнилось бы 50 лет.
Основной целью курса является доказательство теоремы Гусарова о представимости любого инварианта конечного типа комбинацией стрелочных диаграмм. Простейшим примером к этой теореме служит формула Поляка-Виро для Arf-инварианта узла (коэффициента при t^2 в полиноме Конвея). Помимо этого, будет дан обзор других результатов Гусарова, относящихся к инвариантам конечного типа, в частности, речь будет идти об n-эквивалентности узлов и о вариациях заузленных графов.
Некоторые физические модели допускают точное решение (в курсе будет рассказано, что это означает). Поиск таких систем, а также доказательство точной решаемости — довольно большая ветвь современной теоретической и математической физики. Подобные системы возникают в задачах разных областей: в аналитической механике, в физике твёрдого тела, в статистической физике, а также в квантовой теории поля и теории струн.
Оказывается, что к решению всех этих интегрируемых систем можно подойти унифицировано, выработать единый способ. Изучению этого метода (т.н. квантовый метод обратной задачи) на примере простейших систем и будут посвящены лекции.
Программа вводной части:
Литература: