Курсы осеннего семестра 2007 года:
Миникурсы осеннего семестра 2007 года:
Курсы весеннего семестра 2007 года:
Миникурсы весеннего семестра 2007 года:
Курсы осеннего семестра 2006 года:
Миникурсы осеннего семестра 2006 года:
Курсы весеннего семестра 2006 года:
Миникурсы весеннего семестра 2006 года:
Курсы осеннего семестра 2005 года:
Миникурсы осеннего семестра 2005 года:
Курсы, завершенные в весеннем семестре 2005 года:
Также обратите внимание на расписание ПОМИ-потока МатМеха (весенний семестр 2005 года).
Курсы, завершенные в осеннем семестре 2004 года:
Мероприятия в институте им. Эйлера (весенний семестр 2005 года):
Курс не предполагает почти никаких предварительных знаний. Нужно только знать что такое коммутативные кольца и что такое кольцо многочленов. Курс может иметь продолжение с выходом на алгебраическую K-теорию (K_0, K_1).
Занятия будут проходить в ПОМИ (Фонтанка 27) по понедельникам, в 18:00, ауд. 106. Первое занятие состоится во вторник 17 февраля в 18:00, ауд. 106. Время проведения может быть изменено — если есть конкретные предложения, пишите gaiane-panina@rambler.ru.
Особенности курса:
Программа курса:
Литература к курсу:
Продолжение курса осеннего семестра
Начало 11 февраля в 19:00
Онтологией философы называют науку, цели которой отчетливо сформулированы уже Аристотелем, науку, занимающуюся сущим как сущим, т. е. «вещами» не в силу того, что они обладают теми или иными заранее предположенными свойствами, а в силу того, что они есть. К загадочным «пифагорейцам» и Платону восходит традиция рассматривать «число» (структурированное множество) в качестве фундаментального понятия и главного инструмента такого исследования. Эта традиция много раз выходила на передний план в истории европейской мысли. В определенной степени именно к ней можно отнести появление и развитие математизированных естественных наук, претендующих на роль универсальной онтологии природного. Но при этом вопрос о сущем как таковом был благополучно забыт. На рубеже ХХ-ХХI вв. Ален Бадью пытается к нему вернуться, используя при этом сравнительно современную математическую технику — форсинг П. Коэна, теорию топосов и пр. В нашем семинаре ставим перед собой задачу разобраться в этих попытках и ответить на вопрос, имеем ли мы дело с математической метафорой или, как декларирует сам Бадью, с математической онтологией (онтологией как математикой).
Продолжение семинара осеннего семестра
Продолжение курса осеннего семестра
Окончание курса осеннего семестра
Программа:
Продолжение курса осеннего семестра
Программа
В этом семестре мы будем заниматься цепями Маркова. Самые известные примеры цепей Маркова: случайные блуждания по прямой, плоскости или пространству, ветвящиеся процессы, урновые модели. Предельные теоремы, показывающие, что при стремлении временем к бесконечности распределение вероятностей цепи Маркова не зависит от начального распределения и стремится к некоторому инвариантному. Научимся находить это инвариантное распределение.
От слушателей требуется знание основных понятий теории вероятностей. Участие в занятиях прошлого семестра не обязательно.
Продолжение курса осеннего семестра
Хорошо известен следующий факт: петля в топологическом пространстве X, реализующая элемент a фундаментальной группы pi_1(X) пространства Х затягивается в X двумерной поверхностью тогда и только тогда, когда a лежит в коммутанте pi_1(X). А узел в R^3 тривиален тогда и только тогда, когда он затягивается несамопересекающимся диском.
С другой стороны, известно, что на любой узел в R^3 можно натянуть несамопересекающуюся двумерную поверхность — поверхность Зейферта.
Тем самым, теорию узлов можно рассматривать как некий ландшафт, протягивающийся от коммутанта pi_1(X) до e. Теория групп даёт нам некоторую тропку от одного к другому : пусть G — группа, G_0:=[G,G], G_{k+1} =[G_k,G_k], бывает так, что G_i = e для некоторого i.
Грубо говоря, гропиус (grope) класса i — это геометрическая интерпретация элемента из G_i. Придирчивый взгляд на эту ситуацию много дал для понимания теории узлов в последние 5-7 лет.
Возможно, мы успеем посмотреть на инварианты Васильева с этой точки зрения.
Необходимые знания: коммутант, фундаментальная группа. Интересующийся слушатель, вне всякого сомнения, легко узнает эти понятия за пару дней, если раньше с ними не сталкивался.
Семинар предполагает собой совместный разбор статей. Лица, желающие участвовать в разборе статей или слушать выбравших предыдущий пункт, должны написать об этом на nikaan@mathcenter.spb.ru. Встречные предложения с удовольствием принимаются.
Ronald Fintushel, Ronald J. Stern. Knots, Links, and 4-Manifolds. Theorem 1.1 Let X be a simply connected smooth 4-manifold with b^{+} >1. Suppose that X contains a smoothly c-embedded torus T such that \pi_1(X \ T) = 1. Then for any A-polynomial P(t), there is a smooth 4- manifold X_P which is homeomorphic to X and has Seiberg-Witten invariant SW_X_P = SW_X * P(t) where t = exp(2[T]).
Кратко: вырезаем из многообразия окрестность тора, и вклеиваем туда дополнение в S^3 к узлу K, помноженное на окружность. При некоторых предположениях полученное многообразие гомотопически эквивалентно (а, значит, и гомеоморфно) исходному. А знаменитый инвариант Зайберга-Виттена у полученного многообразия, оказывается, от исходного многообразия отличается умножением на полином Александера узла K.
------------------------------------------------------------------------Кроме того, мы продолжим разбираться в инварианте Зайберга-Виттена.
------------------------------------------------------------------------XIAO-SONG LINT. FINITE TYPE LINK INVARIANTS OF 3-MANIFOLDS
Название говорит само за себя - построение инвариантов конечного порядка в трёхмерных многообразиях. Никаких особых знаний разбор статьи не требует.
------------------------------------------------------------------------JACOB RASMUSSEN. KHOVANOV HOMOLOGY AND THE SLICE GENUS
Abstract. We use Lee?s work on the Khovanov homology to define a knot invariant s. We show that s(K) is a concordance invariant and that it provides a lower bound for the slice genus of K. As a corollary, we give a purely combinatorial proof of the Milnor conjecture.
Гладкий род узла - минимальный род гладко вложенной поверхности, затягивающей узел в D^4. Оказывается, что некий инвариант, легко считающийся по диаграмме узла (правда, реальные вычисления для конкретных узлов займут слишком много времени при нынешней скорости вычислений) не меняется при замене узла на конкордантный ему (два узла конкордантны, если существует вложение S^1\times I -> S^3\times I, на концах дающее наши узлы).
SELMAN AKBULUT. EXOTIC STRUCTURES ON SMOOTH 4-MANIFOLDS
Abstract. A short survey of exotic smooth structutes on 4-manifolds is given with a special emphasis on the corresponding cork structures. Along the way we discuss some of the more recent results in this direction, obtained jointly with R. Matveyev, B.Ozbagci, C.Karakurt and K.Yasui.
Corks
Let M be a smooth closed simply connected 4-manifold, and M' be an exotic copy of M (a smooth manifold homeomorphic but not diffeomorphic to M). Then we can find a compact contractible codimension zero submanifold W \subset M with complement N, and an involution f : ∂W → ∂W giving a decomposition: M = N \cup_{id} W , M' = N \cup_{f} W....
Это обзор - определения, примеры и идеи, что делать дальше. Интересно было бы разобрать и написанное выше утверждение - называемое теоремой о пробке. Есть доказательство Кирби на несколько страниц - сугубо геометрическое, вот первая страница:
Akbulut?s corks and h-cobordisms of smooth, simply connected 4-manifolds. Rob Kirby
Theorem: Let M^5 be a smooth 5-dimensional h-cobordism between two simply connected, closed 4-manifolds, M_0 and M_1. Then there exists a subh- cobordism A^5 \subset M^5 between A_0 \subset M_0 and A_1 \subset M_1 with the properties: (1) A_0 and hence A and A_1 are compact contractible manifolds, and (2) M − intA is a product h-cobordism, i.e. it is diffeomorphic to (M_0−intA_0) ? [0, 1]. This theorem first appeared in a preprint of Curtis & Hsiang in fall 1994. Soon after, much shorter proofs were found by Freedman & Stong [3], Matveyev [9], and Z. Biˇzaca. The following improvements were also shown: Addenda: The h-cobordism A can be chosen so that, (A) M − A (and hence each M_i − A_i) is simply connected (Freedman & Stong) [3], (B) A is diffeomorphic to B_5 (Biˇzaca, Kirby) (but not, of course, preserving the structure of the h-cobordism), (C) A_0 ? I and A_1 ? I are diffeomorphic to B5 [9], (D) A_0 is diffeomorphic to A_1 by a diffeomorphism which, restricted to ∂A_0 = ∂A_1, is an involution [9]. Corollary: Any homotopy 4-sphere, \Sigma^4, can be constructed by cutting out a contractible 4-manifold, A_0 from S_4 and gluing it back in by an involution of ∂A_0.
-----------------------------------------------------------------------------New topologically slice knots
Stefan Friedl, Peter Teichner
Abstract In the early 1980?s Mike Freedman showed that all knots with trivial Alexander polynomial are topologically slice (with fundamental group Z). This paper contains the first new examples of topologically slice knots. In fact, we give a sufficient homological condition under which a knot is slice with fundamental group Z \times Z[1/2]. These two fundamental groups are known to be the only solvable ribbon groups. Our homological condition implies that the Alexander polynomial equals (t − 2)(t^{−1} − 2) but also contains information about the metabelian cover of the knot complement (since there are many non-slice knots with this Alexander polynomial).
Топологически срезанный узел - это узел, лежащий в S^3, который можно затянуть в D^4 несамопересекающимся диском. Тут можно поступить двояко : разобрать всё, поверив в точную последовательность хирургии, а можно изучить оную(например, по книжке Мандельбаума) - это, видимо, общеобязательная топологическая техника, совершившая революцию несколько десятилетий назад.
Курс рассчитан на 8-10 лекций. Его конечной целью является доказательство теоремы о том, что инварианты Васильева различают косы и гомотопически различают струнные зацепления. Основная ссылка — 4.
Программа
Литература
Цель курса — выучить современные методы рассчёта амплитуд рассеяния в теории Янга-Миллса, используя следующие обзоры
Примерный план первых лекций
Поскольку цель состоит в практическом овладении различными полезными приемами, курс будет лекционно-семинарский, т.е. с решениями конкретных задач у доски.
Первое занятие — 19 февраля в 18:00 ауд. 311
Время может меняться. Если кто-то из заинтересованных лиц не может в это время, пишите по адресу derkach@pdmi.ras.ru. Попробуем выбрать время таким образом, чтобы все желающие смогли присутствовать.
Организационные сведения на форуме.
В неком смутном виде давно известно, что между комплексами представлений алгебр Вирасоро или Каца-Муди на дополнительных уровнях (c и 26-с, в случае Вирасоро) существует соответствие. Цель данного курса — сформулировать это утверждение в виде теоремы об эквивалентности триангулированных категорий. Для этого нужны две серии определений: понятие контрамодуля (над коассоциативной коалгеброй, тейтовской алгеброй Ли, тейтовской парой Хариш-Чандры) и понятия экзотических производных категорий (копроизводных, контрапроизводных, полупроизводных). В свете этих определений, утверждение об эквивалентности экзотических производных категорий представлений на соответствующих уровнях становится немедленным следствием двух результатов: абстрактного гомологического принципа (комодульно-контрамодульного соответствия для полуалгебр) и теоремы об изоморфизме двух полуалгебр, связанных с тейтовской алгеброй Ли. Подробности доказательств этих теорем могут быть приведены или опущены по желанию аудитории в зависимости от продолжительности курса.
Желающих и заинтересованных просим писать на pifagorov@gmail.com и positselski@yandex.ru. Заявки принимаются со всей планеты. Для успеха сетевого курса нужно хотя бы два мотивированных заинтересованных слушателя.
Предварительные сведения:
Набросок плана:
Литература: Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. arXiv:0708.3398.
Курс посвящен определению того, что такое «теория гомотопий» в смысле достаточно общем для всевозможных приложений. Основным определением является определение модельной категории, аксиомы которой образуют список основных свойств топологических пространств, используемых в обычной теории гомотопий.
Понятие модельной категории возникло при попытке аксиоматизировать «теории гомотопий» возникающие при обобщении гомологической алгебры на произвольные неабелевы категории и обычную теорию гомотопий в алгебраической топологии.
Целью курса является ознакомление с техникой модельных категорий и тем как эта техника проявляет себя в конкретных примерах в алгебраической топологии, гомологической алгебре симплициальных множествах и т.д.
Изложение будет следовать книжкам Daniel G. Quillen «Homotopical algebra» и M. Hovey «Model categories».
Требуется знакомство с теорией категорий, началами алгебраической топологии и гомологической алгебры.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля.
Запланировано 6 лекций с 25 мая до 6 июня. Слушатели должны знать квантовую механику. Общий материал курса.
В курсе лекций я сформулирую открытые математические задачи, важные для предмета. В конце будут экзамены для добровольцев. Однако студенты, не сдавшие экзамены, не смогут со мной обсуждать предмет после окончания курса лекций.
Речь пойдет о современных достижениях в нескольких классических задачах вариационного исчисления и геометрической теории меры:
Требуется знание основ общей теории меры. Желательно знание основ функционального анализа.
Детальный план курса:
Примечание: материал, помеченный курсивом, — если (как) получится или если будет нужно по ходу дела.
Литература:
Начало 16 марта 17:00, ауд. 106.
Планируется обсуждение книги Джета Неструева «Гладкие многообразия и наблюдаемые» и решение задач. На семинаре будет предложен необычный взгляд на гладкие многообразия. Мы попытаемся разобрать преимущества и недостатки нового подхода. Также слушатели узнают почему физическая лаборатория это коммутативная R-алгебра, научатся складывать килограммы и кельвины, вводить дифференциальное исчисление на конусе и кресте.
Данный семинар предназначен для начинающих математиков и физиков,для понимания достаточно знаний элементарных определений из общей алгебры.
Среди любых шести людей найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Это нехитрое утверждение знакомо многим с детства. Многим также известно его естественное обобщение, известное как теорема Рамсея: если покрасить все r-элементные подмножества (гиперребра) n-элементного множества в k цветов, то при достаточно большом n>R(r,k,N) в нем найдется N-элементное подмножество, все гиперребра которого одноцветны.
Менее известно, что идеи теории Рамсея проникли во многие (иной сказал бы, что во все) области математики. Упомянем знаменитые теоремы ван дер Вардена: при покраске натурального ряда в несколько цветов найдется арифметическая прогрессия одного цвета и Грэхема-Ротшильда: при покраске пространства достаточно большой размерности над данным конечным полем в данное число цветов найдется одноцветное аффинное подпространство данной размерности. Некоторым дочитавшим до этого места может быть приятно узнать, что обе сформулированные теоремы допускают одновременное обобщение на языке теории категорий.
Мы планируем сосредоточиться главным образом на применении рамсеевских методов в геометрии банаховых пространств. В частности, планируется разобрать теорему Розенталя о пространствах, содержащих l_1; результаты Гоуэрса-Мори о пространствах, не обладающих в некотором смысле никакой структурой и решение Гоуэрса проблемы Банаха о пространстве, изоморфном всем своим бесконечномерным подпространствам (да, оно обязательное гильбертово).
Начальные сведения общего характера, особенно по банаховым пространствам, приветствуются, но не обязательны.
Большое количество явлений может быть понято уже на классическом (квазиклассическом ) уровне. В данном курсе хотелось бы дать достаточно подробное изложение «классической теории поля», акцентировав внимание на геометрической интерпретации, используемых понятий, и конкретных физических приложениях в физике элементарных частиц и конденсированного состояния.
Программа
Справка по многообразиям и дифференциальным формам (pdf).
Литература:
Миникурс (4 лекции): 22,23,24,25 июня в 14:00 в 106 аудитории.
Предположительно будут затронуты следующие темы: теория асферичности клеточных комплексов, картинки в К-теории, размерные подгруппы, гомотопические группы сфер, трансфинитные ряды в группах, пределы по категориям расширений, производные функторы от неаддитивных функторов, неабелевы тензорные произведения и др. Будут разобраны алгебраические методы, позволяющие, к примеру, доказать существование 3-кручения в H_7SL(Z), отсутствие 3-кручения в \pi_{11}(S^2), посчитать маломерные гомотопические группы надстроек над классифицирующими пространствами некоторых групп.
Будет рассказано о новых проектах, открытых вопросах и гипотезах. Например. будут обсуждаться идеи, как искать контрпримеры к гипотезе делителей нуля в групповых кольцах, www.mi.ras.ru/~romanvm/zero-divisors.pdf
Многие вещи из планируемого написаны в R. Mikhailov, I.B.S. Passi: Lower central and dimension series of groups, Lecture Notes in Mathematics 1952, Springer (2008), 354p.
Теория торических многообразий связывает объекты алгебраической геометрии и геометрии (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников.
В основном мы будем следовать книге Гюнтера Эвальда «Комбинаторная выпуклость и алгебраическая геометрия» (djvu доступна), дополнив курс естественными темами (т. Бернштейна-Кушниренко, т. Брийона, работы А. Хованского, Мак Маллена...)
Мой личный интерес в этой теме — разобраться, какие объекты в теории торических многообразий соответствуют гиперболическим виртуальным многогранникам.
Я буду предполагать, что слушатели что-то помнят из коммутативной алгебры (коммутативное кольцо, идеал, алгебра, модуль), а алгебраическую геометрию не знают совсем (однако такое знание вовсе не помешает).
Первое занятие курса состоится во вторник, 30 сентября в 18:00, в ПОМИ, ауд. 203.
Метрическая геометрия — это, по существу, дифференциальная геометрия без дифференцирования. Ее начала восходят к работам А.Д.Александрова о внутренней геометрии выпуклых поверхностей. В отличие от аналитических методов, подход Александрова был намного более геометричным — например, кривизна поверхности определялась через суммы углов треугольников. Позже эти идеи были применены к исследованию гораздо более сложных геометрических объектов и привели к созданию теории пространств Александрова. Результаты этой теории применимы и в дифференциальной геометрии, причем передоказать их аналитическими методами бывает очень сложно.
Я расскажу об основных понятиях и некоторых результатах этой области. Необходимые предварительные знания — топология и анализ в объеме первого курса матмеха. Знакомство с дифференциальной геометрией поверхностей полезно, но не обязательно.
Семинар будет посвящен разбору примеров, проработке технических деталей и решению задач.
Метрическое пространство — одно из основных понятий в математике. Уже в случае конечного количества точек возникает множество вопросов. Например: когда данный набор расстояний между точками реализуется в евклидовом (или другом) пространстве данной размерности? А если разрешить немного менять расстояния? Как устроен оптимальный транспорт на данном метрическом пространстве? Планируется обсудить эти и многие другие вопросы о метрических пространствах, относящиеся к теории графов, анализу, комбинаторике многогранников и др. Имеется много элементарных по постановке, но вполне содержательных задач, которые было бы неплохо решить. Предварительных знаний, выходящих за рамки расширенной школьной программы, не требуется.
Курс дает введение в современные методы спектрального анализа разностных операторов (бесконечных матриц) на прямой, связанные с теорией функций. Основное внимание уделяется качественным вопросам — связи структуры спектра и асимптотики полиномов.
Примерная программа:
Курс посвящен некоторым темам современной комбинаторики, имеющим отношение к топологии и физике. Изложение по большей части будет следовать книжке С. Ландо «Производящие функции« и его совместному с А. Звонкиным трактату «Embedded graphs». Большая часть курса не требует никаких специальных знаний и доступна студентам, знающим основы математики в объеме 1 курса математических специальностей.
Я предполагаю прочитать 8--10 лекций, в которых будет обсуждаться примерно следующий набор тем:
Римановы поверхности — это одномерные комплексно-аналитические многообразия, или гладкие алгебраические кривые. Они естественно возникают в самых разных областях математики и физики. Риман описывал их как разветвленные накрытия комплексной проективной прямой (сферы Римана), на которых алгебраические функции становятся однозначными. Он же впервые показал, что классы эквивалентных комлексных структур на топологической поверхности рода g зависят от 3g-3 комплексных параметров, называемых модулями. Несколько позже Гурвиц использовал римановы поверхности при решении такой чисто комбинаторной задачи, как подсчет числа различных представлений произвольной подстановки в виде произведения транспозиций. Эти числа (называемые числами Гурвица) прямо связаны с задачей классификации разветвленных накрытий сферы Римана, но до недавнего времени явные формулы для них были получены лишь в простейших случаях. Прорыв в понимании (и вычислении) чисел Гурвица связан с замечательной теоремой Экедала-Ландо-Шапиро-Вайнштейна (ELSV), выразившей их через характеристические числа пространств модулей.
Цель настоящего курса — это формулировка теоремы ELSV, а попутно — изложение необходимых для ее понимания основ теории пространств модулей римановых поверхностей. Минимальные требования включают основы комлексного анализа (функции одной переменной), теории дифференциальных форм и топологии (фундаментальная группа и накрытия). Элементарное знакомство с гомологиями и характеристическими классами также весьма приветствуется, хотя и не является абсолютно обязательным.
Грубо говоря, «dimer model» — это (комбинаторная) задача о статистических свойствах случайного покрытия доминошками доски очень большого размера. Оказывается, что эта задача непосредственно связана с дискретным комплексным анализом (и не только) и весьма интересна в пределе, когда размер клеток стремится к нулю (или, что то же самое, когда размер доски стремится к бесконечности). Из статьи R.Kenyon'а «Dimer problems» (An introduction to dimers written for the Encyclopedia of mathematical physics, см. www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/index.html):
Dimer model возникла в середине ХХ века, как пример точно решаемой двумерной модели статистической физики с фазовым переходом. Она применяется для моделирования различных физических объектов: свободные фермионы в размерности 1, двумерная модель Изинга, другие двумерные решеточные модели. Такие наблюдаемые, как « функция высоты» (height function) и «плотность локальных конфигураций» (density of motifs) имеют конформно-инвариантные свойства в пределе (когда шаг решетки стремится к нулю). Недавно эта модель также была использована в качестве простейшей модели поверхностей кристаллов в R^3.
Планируется начинать с разбора текста (2002 год) R. Kenyon. An Introduction into dimer models (arXiv:math/0310326) (и близлежащих тем (например, дискретный комплексный анализ сам по себе)) на уровне, доступном для понимания среднекурсников. Вообще говоря, требуются кое-какие предварительные знания по анализу и вероятности, но их можно получать и в процессе. Неизвестно, с какой скоростью удастся продвигаться, однако перспективная цель — разбор современного курса R. Kenyon. Lectures on dimers (лекции в pdf).
В частности, этот курс включает в себя совместные результаты Кеньона, Окунькова и Шеффилда (Dimers and Amoebae, Ann. of Math. (2006), arXiv:math-ph/0311005) о геометрии кривых, разграничивающих «фазы» в модели (впрочем, добраться до них за один семестр очевидно не удастся).
Ближайшее возможное время старта (если наберется достаточное количество заинтересованных слушателей) — третья неделя сентября. Просьба присылать пожелания о дне и времени на dchelkak@gmail.com. Если Вы хотите участвовать, но не имеете конкретных пожеланий — пожалуйста, напишите об этом. В частности, хочется изучить возможность дня, отличного от субботы (например, четверга).
Первая лекция состоится в Математическом институте (Фонтанка, 27), к. 311, 12:00.
Это курс предназначен для всех, интересующихся математикой, а не только для будущих топологов.
Предполагаемые знания: курс начинается «с нуля». От слушателей предполагаются элементарные знания по топологическим пространствам, группам и кольцам.
На примере вычисления гомотопических групп сфер планируется постепенно вводить алгебраические и геометрические структуры теории гомотопий.
Литература
Тропическая геометрия — новая красивая наука, открывающая море перспектив. На первых порах доступна всем — специальных знаний не требуется. Первая половина курса будет в целом совпадать с лекциями М. Казаряна в Дубне.
Я более подробне расскажу о исторической мотивации и pathworking. Последнее налаживает мостики между алгебраическими многообразиями и комбинаторикой многогранников. См. работы Г. Михалкина на citebase, по ссылке практически все материалы, которыми я буду пользоваться. Вторая часть курса определится пожеланиями слушателей ? например, можно изучить вещественные алгебраические кривые, тоже несложно, но красиво и интересно. Возможно, в конце удастся пересечься с курсом Г. Паниной.
Ещё материалы:
Первая лекция 21 сентября, 10:00 ПОМИ, к. 311. О пожеланиях насчёт времени пишите на nikaan@mathcenter.spb.ru.
Каждая тема будет занимать от 1 до 3 лекций. Материалы и текущее положение дел будут отражаться на mathcenter.spb.ru/nikaan.
Занятия будут происходить днем по средам в ПОМИ, комната 306 или 318.
Построение курса будет свободным, базовые понятия строго опеределяться не будут и разговор о схемах и пучках планируется только в форме неформального обсуждения и ответов на вопросы слушателей.
Главный упор будет сделан на конкретные сюжеты, такие как: Теорема Понселе о вписанно-описанных многоугольниках, формулы для рода плоской кривой, прямые на кубической поверхности и аналогичные задачи, связанные с теорией пересечений на многообразиях, Теорема Шварца-Клейна об автоморфизмах кривой рода больше одного, формулы Плюккера про особенности плоской кривой.
Подробный последовательный рассказ запланирован про дивизоры и линейные расслоения, линейные системы, раздутия, кольцо Чжоу.
Пререквизитом по коммутативной алгебре отстутвие страха при словах «локальное кольцо», «нормирование», «целое замыкание« и способность самостоятельно разбираться в коммутативной алгебре.
Пререквизитом по геометрии является хорошее интуитивное представление о гладком многообразии.
Первое занятие начнется в среду, 10 сентября, в 13:00.
Процесс "квантования", или замены алгебры классических, коммутирующих наблюдаемых на наблюдаемые "квантовые" на определенном пространстве событий, как бы он не происходил, имеет в своей основе ту идею, что классическая и квантовая механика являются разными реализациями одной и той же абстрактной схемы. Однако, до сих пор не удалось придумать универсальный рецепт, который бы предлагал адекватную замену такого рода в произвольной ситуации.
В асимптотическом квантовании считается, что наблюдаемые и состояния можно разложить в ряды по малому параметру h. Свободные члены этих рядов соответствуют классической механике, а члены первого порядка задают так называемое квазиклассическое приближение. Деформационное квантование исследует алгебраическую структуру алгебры наблюдаемых и рассматривает квантовую ситуацию как деформацию классической.
Геометрическое квантование ставит своей целью построение квантовых объектов исходя из геометрии соответствующих классических объектов. Источниками геометрического квантования являются, с одной стороны, попытки физиков распространить известные процедуры квантования простых механических систем на более общие конфигурации и фазовые пространства, а с другой стороны --- развитие математиками теории унитарных представлений, приведшие к методу орбит. Идеи геометрического квантования стали отправной точкой для многих математических теорий, например, для понимания некоторых инвариантов узлов и зацеплений в терминах топологической квантовой теории поля.
В предлагаемом цикле лекций не ставится цель аккуратно изложить процедуру геометрического квантования. Я попытаюсь всего лишь обрисовать круг идей и понятий, который является необходимым введением в эту теорию.
Литература
Программа курса (2 семестра)
Необходимые предварительные знания: элементарные сведения по теории групп и теории полей.
Литература:
Семинар (пока 1 семестр)
Предполагается обсудить, как понятия теории ветвления, хорошо известные в одномерном случае (т.е. для кривых и для числовых полей) - дифферента, дискриминант, группы ветвления, кондукторы - могут быть обобщены на многомерную (алгебро-геометрическую) ситуацию.
Изложение будет вестись на языке коммутативной алгебры, знание алгебраической геометрии не требуется. Необходимый материал из элементарной коммутативной алгебры будет кратко повторен.
Литература:
Ориентировочно первая лекция 26 октября.
Атом водорода является достаточно простой и одновременно достаточно нетривиальной квантово-механической системой, на примере которой можно иллюстрировать многие темы.
В D-мерии задача об атоме водорода обладает группой симметрии SO(D+1), что было обнаружено В.А. Фоком. Группа действует простым образом в импульсном пространстве, поэтому решение задачи сильно упрощается при переходе к импульсному представлению.
Связанные состояния образуют конечно-мерные представления группы, а состояния рассеяния принадлежат представлениям непрерывной унитарной серии. S-матрица, описывающая рассеяние в кулоновском поле, по существу совпадает со сплетающим оператором, который сплетает эквивалентные представления непрерывной серии.
При D=3 возникает группа SO(4), что является евклидовым вариантом группы Лоренца. Таким образом, на конкретном примере можно разобрать представления группы SO(4), группы Лоренца, SO(D): конечно-мерные представления, непрерывные серии, сплетающие операторы и т.д.
Вот ещё темы, которые содержательно иллюстрируются на этом нетривиальном конкретном примере.
Конкретный план лекций будет зависеть от состава участников.
Этот спецкурс не для тех, кто хочет просто расширить свой математический кругозор. Этот спецкурс для тех, кто хочет как можно быстрее попробовать свои силы в решении реальной, а не учебной математической задачи.
Метод получения оценок, связанный с нахождением так называемой функции Беллмана рассматриваемой экстремальной задачи, возник сравнительно недавно. Тем не менее, он успел зарекомендовать себя, как довольно мощный, а с другой стороны — элементарный, инструмент доказательства самых разных оценок, часто с точными константами. Так, с помощью этого метода была вычислена норма мартингального преобразования, найдены точные константы в обратном неравенстве Гёльдера для макенхауптовских весов, в неравенстве Геринга, в неравенстве Йона-Ниренберга для функций из ВМО, в диадической теореме вложения Карлесона и в ряде других задач. От слушателей не предполагается какие-либо знания, относящиеся к перечисленным задачам. Требуемые знания вообще минимальны: интеграл Лебега, пространства Lp и, пожалуй, большего не требуется.
Данный метод очень молод, и теории, как таковой, ещё не существует. Поэтому курс будет в основном состоять из рассмотрения конкретных задач, для решения которых данный метод применяется. Предполагается активная работа слушателей: часть материала будет даваться в качестве домашних заданий и, кроме того, по ходу курса будут формулироваться нерешённые задачи, которые будут предлагаться слушателям для самостоятельного исследования.
Новизна данной тематики даёт существенные преимущества молодым исследователям, поскольку для того, чтобы начать заниматься реальными, а не учебными задачами, не требуется освоения слишком обширного материала, уже накопленного к настоящему моменту – передний край науки оказывается необычно близок. Попробуйте свои силы.
Первое занятие предполагается провести в помещении ПОМИ (Фонтанка 27) в воскресенье 28-го сентября, 11:00. Время и место последующих лекций предполагается согласовать со всеми слушателями на первом занятии.
Курс является продолжением прошлогоднего. Мы начнем со стохастического дифференциала и формулы Ито, научимся решать стохастические уравнения методом последовательных приближений. Далее займемся диффузионными процессами и инфинитезимальными операторами, что позволяет моделировать процесс диффузии.
Предполагается, что слушатели знакомы различными видами сходимости, производной, стохастическими интегралами от неслучайной и случайной функций. Кроме того, предполагается знакомство с марковскими процессами. Подробнее мы обсудим это на первом занятии.
Мы будем заниматься целочисленными случайными величинами. Дискретная теория вероятностей не требует аппарата теории меры, однако позволяет познакомиться с такими понятиями как марковские цепи и ветвящиеся процессы. Таким образом, используя минимальный математический аппарат можно познакомиться с математической моделью некоторых реальных процессов. Список необходимых предварительных знаний будет обсуждаться на первом занятии.
Одна из тем, которые планируется разобрать — это относительно недавние работы Расмуссена и Манолеску — по мнению многих, самое значительное достижение топологии за посление годы, дающие надежду на избавление доказательств важных топологических теорем от громоздкой аналитической техники, на чисто комбинаторно-топологические доказательства.
Если найдётся много желающих, то разберём и другие свежие статьи, например, обзор Акбулута — arxiv.org/0807.4248.
5-го октября в 16:00 — доклад В. Левченко. Анонс за пару дней появится тоже на mathcenter.spb.ru/nikaan и в гугл-группе семинара.
Будет продолжение того, что было в прошлом семестре и в на первом занятии начнем разбирать тему «движение твёрдого тела».
Функциональный интеграл (он же континуальный интеграл, он же интеграл по траекториям, он же фейнмановский интеграл) — один из основных инструментов в современной квантовой теории поля. Несмотря на то, что формально (математически) доказать его существование довольно трудно, физики успешно работают с ним, получая нетривиальные результаты в квантовой механике, статистической физике, теории поля, теории суперструн и в смежных областях (в геометрии, топологии, интегрируемых системах и т.д.).
Чаще всего вычисление функционального интеграла ведётся с помощью теории возмущений, откуда берёт начало знаменитая техника фейнмановских диаграмм, которую мы рассмотрим на примере простейших моделей теории поля, а также (если будет время) на примере электродинамики. Также на этом примере можно продемонстрировать связь с некоторыми математическими вопросами, в частности, с комбинаторикой графов.
Также может быть рассмотрена (в зависимости от состава участников) неабелева теория поля (например, теорию Янга-Миллса), в которой появляются духи Фаддеева-Попова, а также т.н. «асимптотическая свобода» — важный эффект в квантовой хромодинамике.
Знание квантовой механики приветствуется, но в принципе не является обязательным.
Ориентировочное время начала лекций — 18-19 октября.
Описания пока нет. См. запись форуме.
Окончание курса предыдущего семестра.
За основу этого курса взята книжка А.Г. Хованского «Комплексный анализ». До конца курса (16 ноября) студентам предлагается решить серию задач по всему курсу для закрепления полученных знаний.
Примерная программа курса:
Квантовые группы — область современной математики, активно развивающаяся в своих чисто математических аспектах (теория представлений, связь с C*-алгебрами, инварианты зацеплений и т.д.) и имеющая многочисленные приложения в теории квантовых интегрируемых систем. Очень содержательным примером квантовых групп являются квантовые алгебры и группы Ли (алгебры Хопфа, зависящие от параметра деформации q и переходящие при q=1 в соответствующих классических объекты).
Примерный план на осенний семестр: квантовая алгебра Uq(sl(2)) и её представления (для слушателей, не знакомых с теорией представлений алгебр Ли, эта часть будет введением в данную область, поскольку для q в общем положении представления sl(2) и Uq(sl(2)) устроены одинаково), особенности представлений для q^N=1. Алгебры Хопфа, квазитреугольные алгебры Хопфа, универсальная R-матрица. Квантовая группа SL_q(2).
Курс ориентирован на студентов, от слушателей ожидается знание основ линейной алгебры. Занятия начнутся с ноября. Пожелания о дне и времени занятий просьба присылать на abytsko @ mail.ru
В классической механике интегрируемыми называются гамильтоновы динамические системы, если они имеют максимальный набор интегралов движения, находящихся в инволюции. Соответствующие уравнения движения являются точно решаемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, допускающими стабильные локализованные решения (солитоны). Многие классические интегрируемые модели тесно связаны с теорией классических алгебр Ли. В квантовой механике интегрируемыми называются модели, имеющие максимальный набор независимых самосопряженных операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Такие модели также являются точно решаемыми и они часто оказываются связаны с теорией квантовых групп. Теория интегрируемых моделей имеет важные приложения в теоретической, статистической и математической физике.
Примерный план на осенний семестр: нелинейные уравнения (КдФ, sin-Гордон, цепочка Тоды), солитоны, метод обратной задачи рассеяния, уравнение нулевой кривизны, классическая r-матрица, уравнение Янга-Бакстера, модели на решетке. Далее планируется перейти к квантовым интегрируемым моделям с использованием некоторых фактов из параллельного курса «Введение в теорию квантовых групп».
От слушателей ожидается знание линейной алгебры и анализа в объёме первого курса. Знакомство с основами теоретической и квантовой механики приветствуется, но не является обязательным (при необходимости нужный материал будет рассказан).
Начало ориентировочно в конце октября начале ноября.
В данном курсе будет представлено введение в алгебру SU(n) преобразований для новичков. Упор будет сделан на группе SU(3), лежащей в основе калибровочной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамике (КХД). Мы обсудим основные понятия, стуктуру и проблемы КХД. Также рассмотрим процедуру вывода цветовых факторов, фейнмановских диаграмм, вычислим «КХД-заряд» цветных объектов, определяющих интенсивность сильного взаимодействия и т.п.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля.
Фейнмановская программа расчитана на школьников 9-11 классов, интересующихся физикой и направлена на выработку вкуса к физическим рассуждениям. Подразумевает изучение знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» дома и обсуждение всех трудных и непонятных мест на семинаре вместе с решением соответствующих задач.
Начало ориентировочно в конце октября начале ноября.
Предполагается, что слушатели умеют дифференцировать и слегка интегрировать. Желательно (но не обязательно) знание основ квантовой механики.
Литература
Первое занятие состоится в четверг 14 февраля в 18:00 в ауд. 106 ПОМИ
Курс составлен в основном по книге Jiri Matousek «Lectures on Discrete Geometry» (Springer, 2002). Эта книга замечательна разнообразными задачами, которые предполагается решать и обсуждать на занятиях (лекции, разумеется, тоже будут).
Материалы по курсу: конспекты лекций и задачи.
Вопросы и пожелания можно присылать по адресу panina@iias.spb.su
Продолжение семинара.
Продолжение курса. Через 2-3 лекции опять начнется относительно независимая глава, к которой будет написан новый анонс.
Одно из достижений топологии в этом веке — описание гомотопического типа пространства одномерных узлов в R^n для n>3. Опираясь на идеи Гудвилли, Синха показал, что пространство узлов «склеено» из конфигурационных пространств — пространств конечных наборов различных точек в R^n. Это позволило найти рациональные гомологии и гомотопии пространства узлов.
Мы познакомимся с необходимой гомотопической и геометрической техникой: гомотопическими пределами, косимплициальными пространствами и их спектральными последовательностями, компактификациями конфигурационных пространств, теоремой Концевича о формальности операд кубиков.
Требуется предварительное знакомство с основными понятиями теории гомотопий, а во второй половине курса — и с теорией гомологий.
Литература:
Аддитивная комбинаторика изучает комбинаторные свойства аддитивных групп целых чисел и конечных полей. Сюда относится, например, знаменитая теорема Ван дер Вардена: если натуральные числа покрашены в конечное количество цветов, то найдется сколь угодно длинная одноцветная арифметическая прогрессия. Глубоким усилением теоремы Ван дер Вардена является теорема Семереди: для всяких $\varepsilon>0$ и натурального $m$ при достаточно большом натуральном $n$ любое множество, состоящее из $\varepsilon N$ натуральных чисел, меньших $N$, содержит арифметическую прогрессию длины $m$. Известно много доказательств теоремы Семереди, использующих как чисто комбинаторные соображения (как в исходном доказательстве Семереди), так и аппарат эргодической теории (подход Фюрстенберга). Эта область бурно развивается в последние тридцать лет. Одним из самых звонких ее достижений является теорема Грина-Тао о существовании сколь угодно длинной арифметической прогрессии, состоящей из простых чисел. Мы постараемся познакомиться по крайней мере с основными идеями, а если хватит сил — то и с деталями доказательств.
Другая тема, которую хочется затронуть в курсе — свойства сумм вычетов по простому модулю. Отправной точкой тут служит теорема Коши-Дэвенпорта: для множеств $A$, $B$ вычетов по модулю простого числа $p$ множество $A+B$ имеет хотя бы $\min(|A|+|B|-1,p)$ элементов. В настоящее время здесь применяются комбинаторные, алгебраические (Combinatorial Nullstellensatz Ноги Алона), аналитические (гармонический анализ) методы.
SLE — это случайная кривая (т.е. вероятностная мера на пространстве кривых), заданная в односвязной области на плоскости с двумя отмеченными граничными точками. Этот объект (под названием Stochastic Lowner Evolution) был введен O.Schramm'ом [1] в 1999г. и, благодаря своей важности и «каноничности», практически мгновенно стал предметом активных исследований (за работы по этой тематике С. Смирнов был награжден премией института Клэя (2001), а W. Werner медалью Филдса (2006)).
В курсе планируется обсудить две группы вопросов. Первая относится к самой конструкции SLE и включает в себя (по-видимому, лишь в обзорном (!) порядке): доказательство теоремы единственности, упомянутой выше [1]; простейшие свойства кривой (гельдеровость; простота/самокасание при kappa< 4, kappa>4) [2]; обратимость/дуальность SLE [3],[4]; размерность кривой [5],[6]; естественные обобщения при наличии других выделенных точек на границе [7]. Поскольку доказательства всех этих результатов довольно сложны, глубина обзора будет меняться от темы к теме (почти никогда не доходя до полностью законченных рассуждений).
Вторая группа вопросов связана с доказательством (!) сходимости (в частности, существования предельной вероятностной меры на кривых при измельчении решетки) интерфейсов двумерных статистических решеточных моделей к SLE. На сегодняшний день этот предельный переход осуществлен лишь для нескольких моделей (перколяция на шестиугольной решетке [8], LERW/UST на квадратной [9], модель Изинга при критической температуре [10]). В частности, планируется обсудить: принцип конформного мартингала [10], лежащий в основе доказательств сходимости; возникающую теорию голоморфных функций на (квадратной) решетке; (только при удачном стечении обстоятельств) дискретные голоморфные функции в задачах «random domino tiling» (работы R.Kenyon'а [11]); теорию голоморфных функций на изорадиальных графах [11], [12]; недавно полученное доказательство универсальности (т.е. независимости предела от конкретного вида решетки) модели Изинга на изорадиальных графах.
Идеальная аудитория — старшекурсники, аспиранты и все желающие узнать про эту современную область чуть больше и чуть более строго, чем это можно сделать на обзорных докладах. Для понимания необходимо уверенное знание базовых курсов ТФКП и ТВ (однако никаких знаний о решеточных моделях не предполагается). Из-за катастрофического недостатка образования у докладчика, обсуждение связей, например, с конформной теорией поля не планируется, акцент будет сделан на доказательствах в рамках самой теории SLE.
Курс непосредственно связан с двумя миникурсами С. Смирнова, читавшимися в рамках проекта fizmatclub.spb.ru в 2005 и 2006 г.г.
Библиография:
Оригинальные работы:
Геометрическая теория меры выросла из задачи Плато о нахождении поверхности минимальной площади с наперед заданным краем. Самый сложный аспект теории — вопрос об определениях: что такое «поверхность» и «площадь». Я планирую, не вдаваясь (пока) в вопросы о минимальных поверхностях, рассказать об основах, которые относятся скорее к анализу, чем к геометрии.
Планируется порядка 10 лекций в этом семестре (с перерывом на апрель). Потом возможно продолжение. Примерный список тем:
Предварительные знания: я собираюсь ориентироваться на уровень подготовки, соответствующий второму курсу матмеха. Для понимания большей части достаточно знать основы анализа — счетные и несчетные множества, последовательности и ряды, непрерывные функции, компактные множества в евклидовом пространстве. Иногда будут нужны функции нескольких переменных. Полезно (но не обязательно) знакомство с общей топологией.
Записки по курсу (pdf), лектор планирует дополнять и улучшать их по мере продвижения курса.
Курс планируется как введение, сообщающее основные понятия, связанные с теорией случайных процессов, такие как конечномерные распределения и построение процесса с заданными конечномерными распределениями. Далее будут изучаться марковские процессы и особенно винеровский процесс, являющийся математической моделью броуновского движения. Далее мы коснемся стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений.
Первые две лекции будут посвящены дискретной версии случайного процесса — марковским цепям. Частными случаями марковских цепей являются случайное блуждание и процесс радиоактивного распада. Будет проведена классификация состояний марковской цепи, доказано наличие предельного стационарного распределения.
Материал первых лекций будет доступен студентам младших курсов, изучавшим в школе основы теории вероятностей, т.к. использует только основные понятия дискретной теории вероятностей.
Продолжение курса предыдущего семестра.
План первых лекций:
Феймановская программа расчитана на школьников 9-11 классов, интересующихся физикой и направлена на выработку вкуса к физическим рассуждениям. Подразумевает изучение знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» дома и обсуждение всех трудных и непонятных мест мест на семинаре вместе с решением сответствующих задач.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля
Продолжение курса предыдущего семестра.
За основу этого курса взята книжка А.Г. Хованского «Комплексный анализ», в которой вся теория состоит из маленьких простых понятных красивых фактов. Кроме этого будут разобраны многочисленные примеры, позволяющие слушателям «войти в предмет».
Краткая программа теоретической части:
Интегралы по траекториям без теории поля (введение в фейнмановские интегралы)
Предполагается, что слушатели умеют дифференцировать и слегка интегриговать. Желательно (но не обязательно) знание основ квантовой механики.
Литература:
Программа:
Системы параметров. Комплекс Кошуля. Регулярные последовательности. Глубина модуля. Кольца и модули Коэна-Маколея. Проективная и инъекьтивная размерность, теорема Ауслендера-Бухсбаума. Гомологическая размерность в нетеровых локальных кольцах, гомологический критерий регулярности Серра. Факториальность регулярных локальных колец. Критерий нормальности Серра.
Литература:
Плоские модули и алгебры. Достаточные условия плоскостности. Модули дифференциалов. Неразветвленные, гладкие, этальные алгебры. Конечные и квазиконечные алгебры, основная теорема Зарисского. Чистота локуса ветвления.
Литература:
Необходимые предварительные знания: элементарная коммутативная алгебра в объеме книги Атьи-Макдональда, элементарная гомологическая алгебра.
Мы хотим рассказать о простейших понятиях дифференциальной геометрии и их связи с калибровочными теориями поля.
Программа:
Мы ориентируемся на младшекурсников, приветствуется знакомство с лагранжевым формализмом. Чуть позже будет добавлен список литературы.
Планируется обсуждать всякую топологию, преимущественно связаную с теорией узлов. Хотя программа вольная.
Цель курса — познакомить слушателей с основными понятиями теории векторных расслоений.
Программа (с чего мы начнем):
Литература:
Курс ориентирован на студентов, желательно знакомство с элементарной гомотопической топологией, в частности, c когомологиями.
Продолжение курса предыдущего семестра.
Продолжение курса предыдущего семестра.
Курс рассчитан на студентов первого и второго курса, однако приглашаются все желающие. Никаких предварительных знаний не предполагается.
Вы познакомитесь с понятиями коммутативной алгебры и их геометрической интерпретацией. Коммутативная алгебра без сомнения нужна всем, кто хотя бы как-то связан с математикой: алгебраическим геометрам, алгебраистам, физикам…
Программа курса будет варьироваться под интересы слушателей.
Первое занятие состоится 9 марта (воскресенье) в 14:00 в ПОМИ.
Мы познакомимся с таким крайне полезным алгебраическим объектом как спектральная последовательность. Семинар будет по книжке J. McCleary A User's Guide to Spectral Sequences (pdf-ка доступна).
Спектральные последовательности — один из наиболее элегантных, мощных и сложных методов вычисления в математике. На семинаре мы разберем самые важные примеры спектральных последовательностей и их приложения: спектральная последовательность Лере-Серра, спектральная последовательность Эйленберга-Мура, спектральная последовательность Адамса, спектральная последовательность Хохшильда-Серра.
Первое занятие состоится 12 марта (среда) в 17:30 в ПОМИ.
Будет три лекции: 20 апреля в 12:00, 26 апреля в 14:00 и 1 мая в 12:00.
Миникурс посвящен памяти Михаила Гусарова (1958–1999), которому в этом году исполнилось бы 50 лет.
Основной целью курса является доказательство теоремы Гусарова о представимости любого инварианта конечного типа комбинацией стрелочных диаграмм. Простейшим примером к этой теореме служит формула Поляка-Виро для Arf-инварианта узла (коэффициента при t^2 в полиноме Конвея). Помимо этого, будет дан обзор других результатов Гусарова, относящихся к инвариантам конечного типа, в частности, речь будет идти об n-эквивалентности узлов и о вариациях заузленных графов.
Некоторые физические модели допускают точное решение (в курсе будет рассказано, что это означает). Поиск таких систем, а также доказательство точной решаемости — довольно большая ветвь современной теоретической и математической физики. Подобные системы возникают в задачах разных областей: в аналитической механике, в физике твёрдого тела, в статистической физике, а также в квантовой теории поля и теории струн.
Оказывается, что к решению всех этих интегрируемых систем можно подойти унифицировано, выработать единый способ. Изучению этого метода (т.н. квантовый метод обратной задачи) на примере простейших систем и будут посвящены лекции.
Программа вводной части:
Литература:
Как найти гомологии пространства узлов (вложений окружности в R^n)? Нужно рассмотреть пространство всех гладких отображений окружности в R^n. Это векторное пространство. Вложения образуют в этом пространстве дополнение «дискриминантного множества» — множества отображений с самопересечениями или другими особенностями. Ввиду двойственности Александера, нам достаточно найти гомологии этого множества. Его можно представлять как многомерную поверхность, параметризованную многомерной плоскостью, но имеющую самопересечения (простые, тройные и т. д.), которые, к счастью, тоже параметризуются плоскостями. Так как гомологии плоскостей известны, то гомологии дискриминантного множества определяются комбинаторикой его самопересечений — которая поддаётся описанию. При рассмотрении узлов в R^3 здесь естественно появляются знаменитые инварианты Васильева.
Эта схема (подход Васильева) применима и к другим пространствам: дополнениям наборов аффинных подпространств в аффинном пространстве, классическим группам Ли, пространствам непрерывных отображений между данными многообразиями, пространствам функций без сложных особенностей. Удаётся полностью описать гомотопический тип пространства функций без сложных особенностей («h-принцип Васильева»; его частный случай, теорема Игусы, важен для алгебраической K-теории).
Предполагается знакомство слушателей с теорией гомологий.
Открытие того, что детерминированные утверждения могут быть доказаны из вероятностных соображений, позволило доказать ряд замечательных теорем анализа, теории чисел, комбинаторики, выпуклой геометрии. Интересные свойства тех или иных объектов (от графов до непрерывных функций) часто проще проверить «в среднем», чем для какого-то конкретного примера. Предлагается ознакомиться с разными гранями вероятностного метода.
В программе:
Для понимания не требуется знаний, выходящих далеко за пределы школьной программы.
Конспект:
Приветствуются пожелания (fedorpetrov собака mail.ru)
Функциональный интеграл (он же континуальный интеграл или интеграл по траекториям) — интеграл от функционала на некотором пространстве функций. В математике функциональные интегралы используются, например, в теории случайных процессов; проблема корректного определения таких интегралов является задачей теории меры. В физике функциональные интегралы применяются в статистической физике, квантовой механике и квантовой теории поля; их вычисление требует, как правило, применения теории возмущений.
В нашем курсе будут изложены основы диаграммной техники вычисления функциональных интегралов (диаграммы Фейнмана) в конечномерном и бесконечномерном случаях и рассмотрены связанные с этой техникой математические вопросы: комбинаторика графов, регуляризация расходящихся рядов и т.д. Будут приведены примеры применения функциональных интегралов для вычисления функций Грина, оператора эволюции и других величин в физических моделях (гармонический осциллятор, атом водорода, простые модели теории поля).
Курс ориентирован на студентов-математиков, интересующихся методами современной теоретической физики. Предварительных знаний из теор. физики у слушателей не предполагается (но знакомство с началами классической теор. механики приветствуется).
Обновление от 30 ноября. Примерный план теперешних лекций (прошлая лекция и одна-две следующие).
Диаграммная техника.
Цель лекций — продемонстрировать на простых примерах, как работает диаграммная техника квантовой теории поля.
Пока рассматриваются обычные N-мерные интегралы: общие формулы для древесного и однопетлевого вкладов применяются к проблеме перечисления помеченных деревьев и однопетлевых графов различных типов(3,4-валентные вершины, произвольные вершины, ориентированные деревья с N «источниками» M «стоками»). (эта часть почти закончена — осталась примерно половина лекции)
Следующая тема — простые матричные интегралы: диаграммная техника т'Хоофта и склейки 2n-угольников. Вывод формулы Харера-Загира для числа склеек при помощи матричноых интегралов: использование полиномов Эрмита для вычисления необходимого матричного интеграла.
Курс сочетает изложение математических методов, связанных с необходимостью квантовать протяжённые объекты, возникающие в квантовой теории поля, — с обсуждением ярких физических проявлений таких объектов: конфайнментом кварков, спонтанным нарушением киральной симметрии, «устройством» протона и так далее. Хотя лекции начинаются с проявлений инстантонов в квантовой механике и маломерных теориях поля, владение квантовой механикой для слушателей необходимо. Попутно даются практические сведения о непрерывных группах Ли, о компьютерном моделировании квантовой теории поля «на решётке», и других инструментах современной теоретической физики.
В данном курсе будет представлено введение в алгебру SU(n) преобразований для новичков. Упор будет сделан на группе SU(3), лежащей в основе калибровочной теории сильных взаимодействий — Квантовой Хромодинамике (КХД). Мы обсудим основные понятия, стуктуру и проблемы КХД. Также рассмотрим процедуру вывода цветовых факторов, фейнмановских диаграмм, вычислим «КХД-заряд» цветных объектов, определяющих интенсивность сильного взаимодействия и т.п.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля
Феймановская программа расчитана на школьников 9-11 классов, интересующихся физикой и направлена на выработку вкуса к физическим рассуждениям. Подразумевает изучение знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» дома и обсуждение всех трудных и непонятных мест мест на семинаре вместе с решением сответствующих задач.
В цикле из примерно 10 лекций будет дан обзор ряда недавних препринтов, посвященных новым теориям гомологий для узлов и зацеплений, а именно, гомологиям Хованова-Розанского и Хегора-Флоера. Обе теории являются категорификациями классических полиномиальных инвариантов и, судя по всему, включаются в единую науку, которая пока что до конца не построена.
В начале курса будет дано введение в гомологии Хованова и Хованова-Розанского примерно в объеме лекций Тёрнера (Paul Turner. Five Lectures on Khovanov Homology. arXiv:math/0606464).
Затем будет дана комбинаторная конструкция гомологий Хегора-Флоера для зацеплений. Здесь мы будем следовать двум оригинальным работам пяти авторов (arxiv.org:math/0607691, arxiv.org:math/0610559), а также изложим упрощенную конструкцию, принадлежащую Анне Беляковой (arxiv.org:math/0705.0669).
Далее мы обсудим «загадочное соответствие» между обеими теориями в духе статьи Расмуссена «Knot polynomials and knot homologies» (arXiv:math/0504045) и расскажем о попытке их объединения, предпринятой Данфилдом, Гуковым и Расмуссеном («The Superpolynomial for Knot Homologies», arXiv:math/0505662).
В заключительной части курса, в зависимости от объема оставшегося времени, мы надеемся затронуть некоторые темы, которым посвящены более свежие препринты, в частности:
Для понимания курса достаточно знакомства с линейной алгеброй и элементарной алгебраической топологией. Желательно иметь некоторое представление об узлах и их инвариантах. Все более продвинутые понятия будут по ходу дела объясняться.
Аннотация и список литературы — см. предыдущий семестр. При этом курс будет в основном независим от главы, прочитанной в предыдущем семестре.
Лекции будут проводиться по средам с 19:00. Первая лекция состоится 24 октября.
Семинар проводится с 10:00 до 12:00 по воскресеньям в ПОМИ. (первое занятие состоится 7го октября)
В основном предполагается решать и разбирать задачи. Особых знаний не требуется, приглашаются все желающие.
Литература: Rolfsen, Knots and links.
На семинаре предполагается познакомиться с конкретными классами алгебраических многообразий и структур, среди которых алгебраические кривые, алгебраические поверхности, торические многообразия, абелевы многообразия, векторные расслоения…
Литература:
Литература:
Возможные дальнейшие темы:
Мы хотим познакомить аудиторию с элементарной теорией гомотопий на примере клеточных гомологий и ее связи с дифференциальной топологией в теории Морса. Курс ориентирован на младшекурсников, никаких знаний о теории гомологий не предполагается. Будет много простых задач.
Приблизительная программа:
Курс по классической механике с нуля, рассчитаный, в основном, на студентов первого курса. Никаких предварительных знаний не требуется.
В планах рассказать про лагранжеву и гамильтонову механику по пути вводя необходимый математический аппарат. Упор будет сделан на геометрическую составляющую.
Литература:
Целью данного семинара является приобретение слушателями (студентами 1-2 курсов) некоторых элементарных навыков работы с аналитическими функциями. Эти навыки очень полезны в занятиях теоретической физикой, поэтому есть смысл освоить их как можно раньше. Все необходимое будет разобрано на занятиях, поэтому никаких предварительных знаний не требуется. Организационное собрание семинара состоится 10 ноября в 16:00, ауд. 203 ПОМИ.
Четыре лекции.
Первая лекция в воскресенье 7-го октября в 14:00 в 311 аудитории ПОМИ. Далее предпологаются лекции по вечерам на неделе: вторник, среда, пятница и (по заказу) суббота утром. Возражения по расписанию можно высказать на форуме.
План:
В первой лекции мы напомним основные понятия — когерентные пучки, производные категории, производные функторы. Также будут описаны естественно возникающие классы некомутативных многообразий.
Во второй лекции будет введено понятие исключительного набора, и обобщающее его понятие полуортогонального разложения, позволяющие достаточно явно описывать производные категории.
В третьей лекции будет описана связь производных категорий с бирациональной геометрией. Будут описаны изменение производной категории при простейших бирациональных преобразованиях, связь между теорией минимальных моделей и полуортогональными разложениями, приведены примеры некоммутативных разрешений особенностей.
В четвертой лекции будет описано явление гомологической проективной двойственности — замечательной связи между производными категориями линейных сечений гомологически проективно двойственных многообразий — являющееся обобщением классической проективной двойственности с точки зрения производных категорий.
При наличии желания слушателей возможно будет проведена пятая лекция, на которой будут рассказаны дополнительные подробности.
Первая лекция 16-го октября в 20:00.
Как известно, гладкие комплексные кривые (римановы поверхности) бывают положительной кривизны (проективная прямая ${\mathbb P}^1$, или риманова сфера), нулевой кривизны (эллиптическая кривая, или тор) и отрицательной кривизны (кривые рода $g\geq 2$).
В высших размерностях ситуация гораздо сложнее и само понятие «положительности» не столь очевидно. В алгебраической геометрии рассматривают обильность («положительность») или численную эффективность («неотрицательность») канонического расслоения $K_X=\Lambda^n (T_X)^*, n=dim(X)$. По теореме Кодаиры, обильность линейного расслоения $L$ эквивалентна существованию на нем метрики положительной кривизны; с другой стороны, обильность можно интерпретировать численно, в терминах степеней ограничения $L$ на кривые (они, конечно, должны быть положительны, если $L$ обильно, но на самом деле условие еще чуть более сильное).
Здесь возникает несколько вопросов. Во первых, многообразия размерности начиная с двух можно «раздувать»; при этом положительность теряется, если даже она была, а само многообразие меняется мало. Другими словами, неотрицательность можно ожидать только на некоторых «минимальных моделях»; существуют ли такие модели и как их строить? С другой стороны, интересно, как отрицательность $K_X$ отражается на геометрии многообразия (при $n=1$ она равносильна тому, что $X\cong \mathbb P^1$!)
Для поверхностей ответ известен классически: либо стягивание т. н. $(-1)$-кривых приводит к модели с численно эффективным $K_X$ , либо поверхность покрывается рациональными кривыми, и в этом случае после подходящих стягиваний мы получим ${\mathbb P}^1$-расслоение над кривой или ${\mathbb P}^2$.
Структурная теория многомерных многообразий — достижение последних 30 лет, и работа еще не закончена.
Мы разберем один из самых первых и самых красивых результатов этой теории, принадлежащий Мори. Он утверждает, что многообразия с отрицательным $K_X$ покрываются рациональными кривыми. Более того, верна и более сильная, «локальная» версия этого результата: если ограничение $K_X$ на кривую $C$ отрицательно, то через каждую точку $C$ проходит рациональная кривая.
Метод доказательства — это и есть «bend-and-break». Оказывается, что если вложение кривой в $X$ деформируется с фиксированной точкой, то от возникающей «в пределе» деформации можно отщепить рациональную компоненту. Для того, чтобы предъявить такие «подвижные» кривые, переходят в положительную характеристику.
Предполагаются, видимо, три лекции. Сначала я напомню общий контекст и маломерную ситуацию (то есть, уточню все вышеизложенное). Затем мы разберем «bend-and-break», а в конце, при наличии времени и сил, я постараюсь дать некоторое общее представление о теории минимальных моделей в размерности 3 и выше.
Труба будущего (комплексификация светового конуса) — это классическая однородная область D(n) вещественной ортогональной группы O(2,n) сигнатуры (2,n). Автоморфные формы определяются как мероморфные функции на n-мерной комплексной области D(n), инвариантные (с некоторым весом) относительно действия целочисленной ортогональной группы.
Примерами таких форм являются классические модулярные формы от одной переменной, (см. [1], [2]), потому что при $n=1$ группа $О(2,n)$ изогенна группе SL(2), а область D(1) совпадает с верхней полуплоскостью. Другой важный пример, модулярные формы Зигеля рода 2, получается при n=2, так как группа О(2,3) изогенна Sp(4).
Автоморфные формы на ортогональной группе О(2,n) имеют важные приложения в алгебраической геометрии (теории модулей абелевых, куммеровых и К3 поверхностей), в теории алгебр Каца-Муди-Борчердса, в топологии и теоретической физике. Выдающимся открытием в этой области стала теория бесконечных произведений Борчердса. Предлагаемый цикл лекций имеет целью дать «инструктивное» введение в этот предмет и обсудить «живые» примеры использования автоморфных форм в современной математике.
Литература:
Первое занятие состоится состоится в четверг, 15 февраля, в 18:00, ауд. 106. ПОМИ (Фонтанка, 27).
Важное замечание. По прежнему актуальны задачи осеннего миникурса. Они могут служить основой курсовой, дипломной…
Еще замечания. С одной стороны, это — независимый от осеннего миникурса самостоятельный спецкурс. С другой стороны, многое будет рассказано с точки зрения гиперболических многогранников, псевдотриангуляций и седловых поверхностей (см. осенний курс). Не требуется никаких предварительных знаний.
Как обычно, со временем в сети появятся задачи, литература и конспекты.
Экзамен можно сдать в четверг, сразу после заключительной лекции или в пятницу, с 16:00, ауд. 311 (семинар по маломерной математике). Вопросы к экзамену.
Вопросы и пожелания можно присылать по адресу panina@iias.spb.su.
Вводный курс, посвященный изложению стандартной техники, которая применяется в изучении 3-мерных многообразий. Особый упор будет сделан на конкретные примеры и методы работы с ними. Будут затронуты также некоторые вопросы топологии 4-мерных многообразий, необходимые для работы с трехмерными. В конце курса я расскажу о современном положении дел с проблемой классификации маломерных многообразий.
Предварительная программа:
Литература
Задачи к экзамену (ps, 90 кб), решать можно до конца мая.
Продолжение курса осеннего семестра.
Продолжение курса осеннего семестра.
Продолжение семинара.
Примерный план:
Продолжение занятий со школьниками.
Первая лекция состоится 24 февраля. В дальнейшем расписание можно скорректировать с учетом пожеланий слушателей.
Предметом лекций служат полные локальные кольца, которые возникают как пополнения локальных колец гиперповерхностей в особых точках и несут информацию о характере этих особенностей. При этом основное внимание будет уделяться случаю плоских кривых (т.е. кольцам вида K[[X,Y]]/(f)), в том числе случаю кривых над полями положительной характеристики.
Литература:
Николай Андреев, автор знаменитого сайта «Математические этюды» рассказывает о замечательных геометрических задачах и показывает свои замечательные фильмы.
Программа:
Литература:
У гармонических и аналитических функций есть естественные дискретные аналоги. Дискретно гармонические функции определяются на любых графах, а дискретно аналитические — на (локально) планарных. Мы обсудим, какие свойства «обычных» гармонических и аналитических функций переносятся на дискретные, и как использовать дискретные в «обычном» комплексном анализе.
Конспект, запись Дмитрия Павлова: ps.gz (40 кб), pdf (110 кб)
Этот спецкурс является продолжением спецкурса «Алгебраическая геометрия 1» 2005-2006 гг. Знание материала АГ1 желательно, но не обязательно. Необходимые знания описать довольно сложно, да это и не в стиле отечественной традиции. Было бы желание!
Предполагается изучение базовых понятий, конструкций и теорем алгебраической геометрии. По мере технической готовности планируется знакомство с конкретными классами многообразий и нерешенными проблемами.
Ориентировочная программа: Пучки. Схемы. Первоначальные свойства схем и морфизмов. Связь схем и многообразий. Дифференциалы. Пучки модулей. Дивизоры и обратимые пучки. Проективный спектр и раздутие. Когомологии: ацикличность аффинных схем, вычисление когомологий по Чеху, конечномерность когомологий. Обратимые расслоения на проективном пространстве и их когомологии. Двойственность Серра-Гротендика. Далее предполагается детальное знакомство с конкретными классами многообразий: кривые, поверхности, торические многообразия, абелевы многообразия.
Основная книга: Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия.
Полезная литература.
Литература:
Программа:
Задачи по курсу. pdf, 120 кб.
Мы хотим познакомить аудиторию с началами теории гомологий. Предварительные познания слушателей предполагаются самыми скромными.
Предварительный план:
После этого можно будет рассмотреть что-нибудь по выбору публики (например: характеристические классы, теорию Морса, когомологии алгебр Ли или теорию Ходжа на римановом многообразии).
Задачи к зачету, pdf.План:
Литература:
Мы с Семеном Подкорытовым обещали студентам, что наши курсы будут идти параллельно, что конечно сделает процесс восприятия весьма эффективным. При этом подразумевается, что будут решаться различные задачи по теме.
Частице-подобные решения (солитоны) нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, обладают удивительным свойством — сохранять свои скорости и форму после столкновения. Более того, полная характеристика рассеяния дается только в терминах двухчастичных столкновений. Эта картина сохраняется и в квантовой теории таких уравнений и может быть сформулирована на чисто алгебраическом языке с помощью матрицы рассеяния (S-матрицы) и уравнения Янга-Бакстера. В лекциях будут приведены примеры решений этого уравнения и его связь с квантовыми группами.
Литература:
Первое занятие состоится в понедельник 2 октября в 18:00 в ПОМИ, ауд. 203.
Мотивация. Совсем недавно стало ясно, что иногда оказывается полезным рассматривать максимально невыпуклые объекты. Например, вкладывать в плоскость планарные графы так, чтобы области разбиения меньше всего походили на выпуклые многоугольники. Или вместо выпуклых многогранников рассматривать гиперболические (=седловые) виртуальные многогранники. При этом успешно решается ряд на первый взгляд разрозненных проблем (задача А.Д. Александрова о единственности выпуклых поверхностей, задача Коннелли о плотницкой линейке, задача об алгоритмическом вложении планарных графов). остается много нерешенных задач разного уровня сложности (для курсовых, дипломных и т. д.).
Подробности — см. math.MG/0607171
См. также мой доклад на семинаре по теории представлений и динамическим системам.
Программа миникурса (октябрь 2006).
Цель миникурса — дать минимальные необходимые представления о предмете и снабдить желающих задачами для самостоятельной работы.
Конспект:
Программа спецкурса (весна 2007). Цель спецкурса — дать представление о смежных вопросах (классических и современных).
Не требуется никаких предварительных знаний кроме основ линейной алгебры. Будет здорово, если придут послушать (и порешать!) первокурсники. Вопросы и пожелания можно присылать по адресу panina@iias.spb.su.
Со временем в сети появятся задачи, литература и конспекты.
Теория Ходжа лежит в основе комплексной алгебраической геометрии. Я расскажу основные факты теории Ходжа и (если хватит времени) поведаю о применении теории Ходжа к теории деформаций.
План:
Необходимые знания: теорема Стокса, когомологии де Рама, разложение единицы на гладком многообразии, общие понятия о гильбертовых пространствах и представлениях алгебры Ли sl(2).
Учебники:
Конспект:
Вводный курс из 4 лекций, 15, 22, 29 октября и 12 ноября (воскресенья) в 10:00.
Литература:
Тождества Роджерса-Рамануджана знамениты своими многочисленными связями с самыми разными науками — и математическими и физическими. Это и теория представлений, и конформная теория, и геометрия пространств модулей расслоений на алгебраических кривых (и не только кривых, если иметь в виду обобщения).
Про это и будет рассказ. Насколько много удастся рассказать — будет видно по ходу дела. Во всяком случае я хочу рассказать вывод тождеств «методом стационарной фазы» — то есть на самом деле тождества эквивалентны факту о том, что «квазиклассическая асимптотика» некой величины совпадает с ней самой.
Предварительные знания — желательно, чтобы слушатели что-то знали о представлениях аффинных алгебр — по крайней мере sl(2) — с «крышкой». Но этих знаний нужно не очень много.
Четыре лекции: 5-го ноября в 16:30, 6-го ноября в 19:00, 7-го ноября в 19:00, 8-го ноября в 19:00
План:
В цикле, состоящем из 4-х лекций, мы постараемся пройти путь от таких базисных понятий алгебраической геометрии как когерентные пучки и производные категории до современной динамично развивающейся теории зеркальной симметрии.
Первая лекция будет вполне стандартной и образовательной. В ней мы изложим и объясним такие базисные понятия из алгебраической геометрии как пучки, когерентные пучки, производные категории, производные функторы. Изложение не будет совсем строгим и абстрактным. Мы попытаемся сделать это максимально доступным для всех неспециалистов в алгебраической геометрии. (Желательно иметь представления о таких понятиях как многообразия и векторные расслоения.)
Во второй лекции мы обзорно представим современную теорию производных категорий когерентных пучков, эквивалентностей между ними, преобразований Фурье-Мукаи и теорию исключительных наборов.
В третьей лекции предполагается рассказ о зеркальной симметрии с математической точки зрения. Данный подход к зеркальной симметрией обычно называется гипотезой о гомологической зеркальной симметрии для многообразий Калаби-Яу. Он был предложен Максимом Концевичем. При таком подходе зеркальная симметрия предстает как удивительное соотношение между алгебраическими и симплектическими сторонами геометрических объектов. Данная теория привлекает в качестве одного из основных объектов производную категорию когерентных пучков.
В четвертой лекции будет объяснено как зеркальная симметрия распространяется со случая многообразий Калаби-Яу на случай многообразий других типов. Для этого вводятся модели Ландау-Гинзбурга и определяются категории D-бран типа А и типа В в этих моделях. Будут рассмотрены конкретные примеры зеркальной симметрии и рассказано о естественном появлении некоммутативных многообразий в данном контексте.
В первой лекции будет излагаться вполне стандартный материал. Факты про когерентные пучки могут быть найдены в любом стандартном учебнике по алгебраической геометрии например:
Теория производных категорий хорошо изложена в
Материал второй лекции хорошо изложен в
Третья лекция будет следовать обзору
Материал четвертой лекции разбросан по разным статьям. Про D-браны типа В можно прочитать в
Категория D-бран типа А определяется в
Зеркальная симметрия для рациональных поверхностей прописана в
По четвергам в 19:00, первая лекция 30 ноября; ориентировочно 4 лекции. Это будет некоторым дополнением к лекциям Фейгина, но несколько в другом направлении.
Примерная программа: краткое введение в конформную теорию поля, алгебра Вирасоро и ее представления старшего веса, классификация минимальных моделей (центральный заряд <1), формулы для характеров минимальных моделей в виде бесконечных произведений и рядов (тождества типа Р-Р), их связь с тета-функциями, теорией разбиений и алгебрами Ли, асимптотика характеров и дилогарифмические тождества. Курс рассчитан на студентов 2-5 курсов. Из предварительных знаний требуются только основы линейной алгебры.
We show that the series expansion of quantum field theory in the Feynman diagrams can be explicitly mapped on the partition function of the simplicial string theory — the theory describing embeddings of the two-dimensional simplicial complexes into the space-time of the field theory. The summation over two-dimensional geometries in this theory is obtained from the summation over the Feynman diagrams and the integration over the Schwinger parameters of the propagators. We discuss the meaning of the obtained relation and derive the one-dimensional analog of the simplicial theory on the example of the free relativistic particle.
We describe the Hawking radiation of black holes and its relation to the Unruh effect. We show that the Sokolov-Ternov effect — the polarization of particles in storage rings coming from synchrotron radiation due to spin flip transitions — contains the Unruh effect for circular acceleration as a characteristic exponential contribution to the polarization, when one considers particles with arbitrary gyromagnetic number $g$. It is shown that for the electron, which has $g \approx 2$, the circular Unruh effect is «hidden» within the standard Sokolov-Ternov effect and thus unobservable. We discuss the possibility of experimental observation of these effects. We end up with the discussion of the issue of the Hawking information paradox.
Занятия проходят в ПОМИ (Фонтанка 27) по понедельникам, в 18:00, ауд. 203.
Программа курса по лекциям
Литература к курсу:
Для понимания материала не требуется знаний, выходящих за рамки общего курса линейной алгебры. Поэтому приглашаются студенты всех курсов.
Конспект (запись очередной лекции появляется не позже, чем через неделю после прочтения):
Рациональная теория гомотопий (по Сулливану).
В рациональной теории гомотопий группы гомологий и гомотопий пространств тензорно умножаются на Q (поле рациональных чисел) и превращаются в векторные пространства. При этом трудности, связанные с элементами конечного порядка, исчезают; это упрощение оказывается разительным. Тем не менее в топологии для ответа на многие вопросы достаточно рациональной информации: рациональных препятствий для доказательства несуществования отображения, рациональных инвариантов для различения пространств. К рациональной теории обычно сводится вопрос о конечности числа гомотопических классов отображений между двумя пространствами или числа гомотопических типов пространств с заданными свойствами.
Оказывается, рациональный гомотопический тип пространства определяется его т.н. минимальной моделью. Это дифференциальная алгебра, «расширенный вариант алгебры когомологий». Строится через особые дифференциальные формы (в случае гладкого многообразия можно использовать обычные дифференциальные формы, правда, с потерей части информации). Задание минимальной модели часто можно выписать явно, особенно для т.н. формальных пространств, к которым относятся, например, группы Ли и неособые комплексные проективные многообразия. С помощью минимальных моделей задачи рациональной теории гомотопий обычно легко решаются.
Распетливание.
Стабильным в теории гомотопий называют то, что сохраняется при переходе от пространства к его надстройке (например, гомологии — стабильный инвариант). Направление стабильного взгляда на теорию гомотопий «ортогонально» направлению рационального: стабильная рациональная теория тривиальна. Стабильная гомотопическая категория аддитивна и напоминает производные категории, изучаемые в алгебре. Её объекты, т.н. спектры — последовательности пространств, каждое из которых есть пространство петель следующего. Стабильная теория гомотопий — великая наука, для введения в которую нужен отдельный курс. Мы сосредоточимся на построении спектров, в особенности с заданным начальным членом (распетливание). Здесь появляются славные понятия операды, A-бесконечность- и E-бесконечность- структур. Предполагается построить спектры алгебраической K-теории.
Слушатели предполагаются знакомыми с основными понятиями топологии, алгебры и анализа на уровне 1-2 курса.
Литература:
Необходимые предварительные знания: элементарные сведения по теории групп.
Литература:
Продолжение курса осеннего семестра.
Этот курс (ориентировочно 12 лекций) рассчитан на слушателей, имеющих представление о теории узлов примерно в объеме моих осенних (2005 г) лекций в Физматклубе. Я предполагаю затронуть некоторые более продвинутые темы, в частности, относящиеся к взаимодействию теории узлов и теоретической физики.
Предварительная программа курса (будет уточняться):
Начало курса 19 февраля. 12 февраля будет прочитана буферная лекция на тему «Обзор инвариантов Васильева».
В курсе буду приведены различные примеры классификационных задач из геометрии, комбинаторики, теорий функций, тензоров, меры, представлений и т.д. Каждый из этих примеров будет связан с той или иной задачей о соответствующих объектах; например задача о классификации метрических пространств с мерой тесно связана с теорией случаных матриц, а классификация тензоров — с теорией представлений и т.д. Все эти вопросы увязываются с понятием универсальности в категориях этих объектов. Универсальное метрическое пространство Урысона и универсальный граф Радо-Эрдеша-Реньи — главные примеры такого рода. Никаких предварительных специальных знаний не требуется.
Первая лекция 20 февраля в 17.10 в ПОМИ.
Продолжение курса осеннего семестра.
Курс весеннего семестра является продолжением курса осеннего семестра. Ниже приведен примерный план осеннего семестра. В нем отмечены те темы, которые удалось разобрать. Программа-минимум весеннего семестра — закрыть оставшиеся «белые пятна» в исходной программе.
Продолжение курса весеннего семестра.
Принято верить, что плоские решеточные модели стат. физики становятся конформно инвариантными когда шаг решётки устремляется к нулю. Мы обсудим недавний прогресс в понимании этого вопроса на примере модели Изинга. Этот круг вопросов находится на пересечении анализа, вероятности, комбинаторики, (математической) физики, и, надеемся, будет полезен всем интересующихся хотя бы одной из этих областей.
Хотя понимание базового комплексного анализа и теории вероятностей не повредит, оно необязательно для посещения миникурса, и знаний в объёме первых двух курсов должно быть достаточно. Миникурс является продолжением октябрьского, но не зависит от него.
Классификация римановых групп голономий, полученная Берже, лежит в фундаменте современной дифференциальной геометрии. В приложении к алгебраической геометрии, теория голономий римановых многообразий, вместе с теоремой Калаби-Яу, влечет весьма сильные результаты об алгебраической и дифференциальной геометрии многообразий с нулевым каноническим классом (гиперкэлеровых и Калаби-Яу). Курс рассчитан на студентов, интересующихся алгебраической и дифференциальной геометрией, и знакомых с понятием связности на гладком многообразии и теорией Ходжа (гармонические формы, разложение Ходжа дифференциальных форм на типы).
Приблизительный план:
11, 12, 13 мая, 18:00.
Программа курса:
Введение в теорию узлов и окрестную математику. Рассчитано на студентов 2-3 курса, прошедших стандартный минимум по матанализу и алгебре и имеющих какое-то понятие о топологии. Планируется примерно 10 лекций, в течение которых хочется дойти по крайней мере до пункта 10.
Задуманная программа:
Содержание прочитанных лекций:
Литература по курсу:
Основные темы:
Желательно (хотя и не обязательно) знакомство слушателей с основами теории римановых поверхностей в объеме первой части курса, прочитанной весной 2005 г.
Предполагается организация семинара для более подробного рассмотрения наиболее важных и интересных (с точки зрения аудитории) моментов излагаемого материала.
Предполагаемые знания:
Содержание 1-й части курса:
По мере продвижения программа будет расширяться и уточняться. Во второй части курса планируется подробно изучить алгебраические кривые и немного поверхности. Далее — схемы, пучки и когомологии.
Литература:
Курс рассчитан на студентов 3-5 курсов, уже знакомых с понятиями теории представлений классических алгебр Ли (хотя бы на примере sl_2).
Основные элементы программы курса:
Обычно исследование модели спиновой цепочки разбивается на два этапа. На первом (алгебраическом) этапе исходная задача сводится к исследованию системы алгебраических уравнений — уравнений Бете. Второй этап (аналитический) состоит в исследовании решений уравнений Бете. Цель курса — на примере простейших спиновых XXX- и XXZ- цепочек объяснить алгебраическую часть.
ПланЭто примерный план базового курса.
Возможные дополнительные темы:
На более абстрактном уровне об алгебраических структурах, возникающих в теории интегрируемых моделей, будет рассказано в курсе А. Быцко.
Многие классические задачи комплексной проективной исчислительной геометрии формулируются как задачи перечисления значений параметров семейства различных объектов (многообразий, конфигураций, отображений), при которых эти объекты имеют заданный тип вырождения. Стандартный подход к решению такого рода задач состоит в применении теории пересечений, прекрасно изложенной в одноименном учебнике У. Фултона. С ростом коразмерности особенности вычисления становятся все более и более сложными, что существенно ограничивает применимость методов теории пересечений.
Я изложу подход к решению исчислительных задач, основанный на топологических идеях Р. Тома. Он заметил, что из топологических сооображений ответ должен выражаться как как универсальный многочлен от характеристических классов различных многообразий и расслоений, имеющихся в задаче. Чтобы определить коэффициенты этого многочлена, достаточно рассмотреть некоторое количество более простых аналогичных задач, ответ на которые известен. В силу универсальности, полученный многочлен дает ответ и на исходную задачу. Таким образом, окончательный ответ можно получить, производя вычисления, совсем не относящиеся к исходной задаче!
Одно из преимуществ данного подхода состоит в его общности. Вычисление одного многочлена Тома дает ответ на целый ряд исчислительных задач, первоначальное решение которых разбросано по десяткам несвязанных между собой статей.
Теория многочленов Тома была обобщена Казаряном на случай мультиособенностей. Оказывается, моноособенности соотносятся с классами Черна в теории векторных расслоений в той же мере, как мультиособенности соотносятся с операциями Ландвебера-Новикова в теории кобордизмов. Кто бы мог подумать, что все это имеет прямое отношение к исчислительной проективной геометрии?!
Наша цель — дать набросок гамильтонова формализма (иначе говоря, геометрии фазовых пространств классической механики), попутно отвлекаясь на знакомство с некоторыми необходимыми (всем) сюжетами математики. В первую очередь среди них можно назвать тензорные и внешние алгебры, многообразия и векторные расслоения над ними, касательные вектора, тензорные операции. Возможно, будет рассмотрено интегрирование и даны простейшие сведения о комплексах (симплициальном и де Рама).
От слушателей предполагается знание линейной алгебры и начал анализа (усвоенного первого курса университета более чем достаточно). Первое занятие прошло 30 октября.
Существует электронный конспект первых семи лекций: dvi, pdf, ps.
Любые замечания направляйте по адресам pak@fizmatclub.spb.ru и pavlov@fizmatclub.spb.ru.
Лекции посвящены геометрии алгебраических кривых на плоскости. В 1876 году А. Харнак построил для каждого d>0 семейство вещественных алгебраических кривых степени d на плоскости с максимальным (для этого d) количеством компонент связности. Только относительно недавно оказалось, что именно эти кривые обладают рядом исключительных геометрических и топологических свойств. Мы обсудим некоторые («амёбные») методы работы с комплексными и вещественными кривыми и многообразиями старших размерностей.
Миникурс будет посвящен введению в Эволюции Шрамма-Лёвнера (SLE или Schramm-Loewner Evolutions) — новый метод построения случайных кривых на плоскости. Метод изящно сочетает классические (сами по себе несложные) понятия из комплексного анализа и теории вероятностей, и уже привел к доказательству нескольких важных гипотез в математической физике.
Хотя понимание базового комплексного анализа и теории вероятностей не повредит, оно необязательно для посещения миникурса, и знаний в объёме первых двух курсов должно быть достаточно. Приглашаются все интересующиеся анализом, вероятностью, или (математической) физикой.
Пример: Несложно доказать, что количество различных простых ломанных длины n, начинающихся в фиксированной вершине, растёт как μn для какого-то μ (зависящего от решётки). Используя методы Конформной Теории Поля, Ниенхус (нестрого) аргументировал более точную оценку: μ^n n^11/32, где второй член универсален (не зависит от решётки)! Задолго до него Флори предсказал, что при больших n типичная простая кривая имеет диаметр около n^3/4, т.е. похожа на кривую фрактальной размерности 4/3.
Подобные гипотезы были предложены для многих других моделей: модели Изинга, перколяции, моделей Поттса и т.д. Обычно аргументация использовала различные аспекты Конформной Теории Поля а также постулировала что рассматриваемые дискретные модели в каком-то смысле сходятся к континуальным случайным объектам, если шаг решётки устремить к нулю. Более того, последние инвариантны относительно всех конформных преобразований.
В течении долго времени эти предсказания ускользали от математиков — даже строгая формулировка упомянутого постулата казалась очень сложной задачей. Хотя данная гипотеза все ещё не доказана (хорошая задача - попробуйте!), эволюция Шрамма-Лёвнера строго определяет предельный объект и объясняет появление 4/3 и 11/32.
Литература:
Миникурс состоит из двух полуторачасовых лекций и, таким образом, является в два раза более полным рассказом о Тропической Геометрии, чем предварительный рассказ на семинаре «Глобус » в Москве 10 ноября.
С формальной точки зрения тропическую геометрию можно определить как алгебраическую геометрию, основанную на полуполе тропических чисел. (Тропические числа — это вещественные числа и минус бесконечность, оснащенные арифметическими операциями взятия максимума и сложения.) При этом такая геометрия не является такой уж «надуманной» и оторванной от классической геометрии наукой. Она немедленно возникает хоть из комплексной, хоть из вещественной геометрии как только мы начинаем рассматривать геометрические объекты «в большом пределе», т.е. вырождать, скажем комплексную, структуру на них максимальным возможным образом. (Такая точка зрения появляется из «Зеркальной Симметрии».)
Не в пример своим комплесным контрпартнерам, тропические многообразия довольно просты в описании. Скажем, тропические кривые оказываются ничем иным как метрическими графами, а их отображения в проективные пространства (и другие торические многообразия) соответствуют взвешенным сбалансированным прямолинейным графам в евклидовом пространстве. При этом большинство классических теорем верны и тропически: есть и теорема Абеля-Якоби, и неравенство Римана-Роха, и Якобиан для кривой, и Тета-дивизор на Якобиане и т.д…
Связь между тропической и классической геометриями можно использовать для ответа на целый ряд проблем как комплексной, так и вещественной геометрии. Некоторые из таких применений мы и рассмотрим. Так например, тропическая геометрия является единственным известным способом вычисления вещественных аналогов инвариантов Громова-Виттена (так называемых инвариантов Вельшинжера). Например, какие бы общие 3d-1 точки мы ни взяли на проективной плоскости, через них всегда будет проходить хотя бы одна рациональная кривая, определенная над R.
Целью семинара является обучение студентов методам и результатам топологической программы, с непрерывным переходом к решению простейших (новых!) задач в рамках этой программы. Ожидается, что решение этих задач даст студентам необходимый опыт как в квантовой теории поля, так и в гомологической алгебре, что в любом случае является полезным. Они сформируют свой свежий взгляд (основанный на личном опыте) на проблемы квантовой гравитации и дискретизации в квантовой теории поля, что должно положительно сказаться на формировании их научного мировоззрения. Овладение методами гомологической алгебры (и того ее обобщения, которое следовало бы назвать квантовой гомологической алгеброй) облегчит им понимание теории топологических струн, являющееся сейчас главным напрвлением развития струнной программы.
Подробнее о курсе и связи между струнным и топологическим подходами, программа, этот документ также доступен в pdf и ps.
Основные темы для обсуждения (конкретный выбор материала, степень подробности и темпы изложения будут зависеть от подготовленности аудитории):
Программа:
Описание с московской страницы курса:
Нам хотелось бы, следуя от частного к общему (и от примеров к общей теории), показать, как классическая гамильтонова механика и её симплектогеометрическая модель (понимаемые в духе книги В.И. Арнольда) возникают из более фундаментальных квантовой механики и её алгеброгеометрической модели переходом к «квазиклассическому пределу», а также обсудить и обратную задачу: как по данной геометрической и/или механической модели построить квантовую теорию, квазиклассическим пределом которой она является. От участников предполагается лишь знание линейной алгебры, опыт вычислений с матрицами и многочленами, плюс представление о многообразиях как «чём-то склеенном из стандартных локальных карт»).
Подробнее о курсе. По ссылке доступна подробная программа и листки с упражнениями.
Лекции и задачи расcчитаны на 3-й курс и выше.
Оглавление:
Отличие курса от многочисленных известных введений в данный круг вопросов состоит в двух главных пунктах:
Цель этого курса — заложить необходимый фундамент конформной теории поля (CFT) для дальнейшего изучения разнообразных сюжетов в таких современных направлениях физики и математики (с возможным акцентом как на математику, так и на физику), как:
Лекции адресованы студентам (3–5 курсов) кафедр математической физики и физики высоких энергий физического факультета СПбГУ.
Подробнее о курсe (на английском)… Описание доступно также в форматах dvi, pdf и ps.
Программа курса:
Данный курс посвящен квантовой теории поля.
Целью является расшифровка наиболее часто встречающихся слов в речи известных (и не очень) теоретиков. Автор старается использовать элементарные термины и максимальное число простых иллюстраций.
К настоящему моменту были рассмотрены следующие темы:
Примерная программа семинара:
Обычно исследование модели спиновой цепочки разбивается на два этапа. На первом (алгебраическом) этапе исходная задача сводится к исследованию системы алгебраических уравнений — уравнений Бете. Второй этап (аналитический) состоит в исследовании решений уравнений Бете.
Цель курса — на примере простейшей спиновой XXX-цепочки объяснить алгебраическую часть.
Подробнее…