Курс не предполагает почти никаких предварительных знаний. Нужно только знать что такое коммутативные кольца и что такое кольцо многочленов. Курс может иметь продолжение с выходом на алгебраическую K-теорию (K_0, K_1).
Занятия будут проходить в ПОМИ (Фонтанка 27) по понедельникам, в 18:00, ауд. 106. Первое занятие состоится во вторник 17 февраля в 18:00, ауд. 106. Время проведения может быть изменено — если есть конкретные предложения, пишите gaiane-panina@rambler.ru.
Особенности курса:
Программа курса:
Литература к курсу:
Продолжение курса осеннего семестра
Начало 11 февраля в 19:00
Онтологией философы называют науку, цели которой отчетливо сформулированы уже Аристотелем, науку, занимающуюся сущим как сущим, т. е. «вещами» не в силу того, что они обладают теми или иными заранее предположенными свойствами, а в силу того, что они есть. К загадочным «пифагорейцам» и Платону восходит традиция рассматривать «число» (структурированное множество) в качестве фундаментального понятия и главного инструмента такого исследования. Эта традиция много раз выходила на передний план в истории европейской мысли. В определенной степени именно к ней можно отнести появление и развитие математизированных естественных наук, претендующих на роль универсальной онтологии природного. Но при этом вопрос о сущем как таковом был благополучно забыт. На рубеже ХХ-ХХI вв. Ален Бадью пытается к нему вернуться, используя при этом сравнительно современную математическую технику — форсинг П. Коэна, теорию топосов и пр. В нашем семинаре ставим перед собой задачу разобраться в этих попытках и ответить на вопрос, имеем ли мы дело с математической метафорой или, как декларирует сам Бадью, с математической онтологией (онтологией как математикой).
Продолжение семинара осеннего семестра
Продолжение курса осеннего семестра
Окончание курса осеннего семестра
Программа:
Продолжение курса осеннего семестра
Программа
В этом семестре мы будем заниматься цепями Маркова. Самые известные примеры цепей Маркова: случайные блуждания по прямой, плоскости или пространству, ветвящиеся процессы, урновые модели. Предельные теоремы, показывающие, что при стремлении временем к бесконечности распределение вероятностей цепи Маркова не зависит от начального распределения и стремится к некоторому инвариантному. Научимся находить это инвариантное распределение.
От слушателей требуется знание основных понятий теории вероятностей. Участие в занятиях прошлого семестра не обязательно.
Продолжение курса осеннего семестра
Хорошо известен следующий факт: петля в топологическом пространстве X, реализующая элемент a фундаментальной группы pi_1(X) пространства Х затягивается в X двумерной поверхностью тогда и только тогда, когда a лежит в коммутанте pi_1(X). А узел в R^3 тривиален тогда и только тогда, когда он затягивается несамопересекающимся диском.
С другой стороны, известно, что на любой узел в R^3 можно натянуть несамопересекающуюся двумерную поверхность — поверхность Зейферта.
Тем самым, теорию узлов можно рассматривать как некий ландшафт, протягивающийся от коммутанта pi_1(X) до e. Теория групп даёт нам некоторую тропку от одного к другому : пусть G — группа, G_0:=[G,G], G_{k+1} =[G_k,G_k], бывает так, что G_i = e для некоторого i.
Грубо говоря, гропиус (grope) класса i — это геометрическая интерпретация элемента из G_i. Придирчивый взгляд на эту ситуацию много дал для понимания теории узлов в последние 5-7 лет.
Возможно, мы успеем посмотреть на инварианты Васильева с этой точки зрения.
Необходимые знания: коммутант, фундаментальная группа. Интересующийся слушатель, вне всякого сомнения, легко узнает эти понятия за пару дней, если раньше с ними не сталкивался.
Семинар предполагает собой совместный разбор статей. Лица, желающие участвовать в разборе статей или слушать выбравших предыдущий пункт, должны написать об этом на nikaan@mathcenter.spb.ru. Встречные предложения с удовольствием принимаются.
Ronald Fintushel, Ronald J. Stern. Knots, Links, and 4-Manifolds. Theorem 1.1 Let X be a simply connected smooth 4-manifold with b^{+} >1. Suppose that X contains a smoothly c-embedded torus T such that \pi_1(X \ T) = 1. Then for any A-polynomial P(t), there is a smooth 4- manifold X_P which is homeomorphic to X and has Seiberg-Witten invariant SW_X_P = SW_X * P(t) where t = exp(2[T]).
Кратко: вырезаем из многообразия окрестность тора, и вклеиваем туда дополнение в S^3 к узлу K, помноженное на окружность. При некоторых предположениях полученное многообразие гомотопически эквивалентно (а, значит, и гомеоморфно) исходному. А знаменитый инвариант Зайберга-Виттена у полученного многообразия, оказывается, от исходного многообразия отличается умножением на полином Александера узла K.
------------------------------------------------------------------------Кроме того, мы продолжим разбираться в инварианте Зайберга-Виттена.
------------------------------------------------------------------------XIAO-SONG LINT. FINITE TYPE LINK INVARIANTS OF 3-MANIFOLDS
Название говорит само за себя - построение инвариантов конечного порядка в трёхмерных многообразиях. Никаких особых знаний разбор статьи не требует.
------------------------------------------------------------------------JACOB RASMUSSEN. KHOVANOV HOMOLOGY AND THE SLICE GENUS
Abstract. We use Lee?s work on the Khovanov homology to define a knot invariant s. We show that s(K) is a concordance invariant and that it provides a lower bound for the slice genus of K. As a corollary, we give a purely combinatorial proof of the Milnor conjecture.
Гладкий род узла - минимальный род гладко вложенной поверхности, затягивающей узел в D^4. Оказывается, что некий инвариант, легко считающийся по диаграмме узла (правда, реальные вычисления для конкретных узлов займут слишком много времени при нынешней скорости вычислений) не меняется при замене узла на конкордантный ему (два узла конкордантны, если существует вложение S^1\times I -> S^3\times I, на концах дающее наши узлы).
SELMAN AKBULUT. EXOTIC STRUCTURES ON SMOOTH 4-MANIFOLDS
Abstract. A short survey of exotic smooth structutes on 4-manifolds is given with a special emphasis on the corresponding cork structures. Along the way we discuss some of the more recent results in this direction, obtained jointly with R. Matveyev, B.Ozbagci, C.Karakurt and K.Yasui.
Corks
Let M be a smooth closed simply connected 4-manifold, and M' be an exotic copy of M (a smooth manifold homeomorphic but not diffeomorphic to M). Then we can find a compact contractible codimension zero submanifold W \subset M with complement N, and an involution f : ∂W → ∂W giving a decomposition: M = N \cup_{id} W , M' = N \cup_{f} W....
Это обзор - определения, примеры и идеи, что делать дальше. Интересно было бы разобрать и написанное выше утверждение - называемое теоремой о пробке. Есть доказательство Кирби на несколько страниц - сугубо геометрическое, вот первая страница:
Akbulut?s corks and h-cobordisms of smooth, simply connected 4-manifolds. Rob Kirby
Theorem: Let M^5 be a smooth 5-dimensional h-cobordism between two simply connected, closed 4-manifolds, M_0 and M_1. Then there exists a subh- cobordism A^5 \subset M^5 between A_0 \subset M_0 and A_1 \subset M_1 with the properties: (1) A_0 and hence A and A_1 are compact contractible manifolds, and (2) M − intA is a product h-cobordism, i.e. it is diffeomorphic to (M_0−intA_0) ? [0, 1]. This theorem first appeared in a preprint of Curtis & Hsiang in fall 1994. Soon after, much shorter proofs were found by Freedman & Stong [3], Matveyev [9], and Z. Biˇzaca. The following improvements were also shown: Addenda: The h-cobordism A can be chosen so that, (A) M − A (and hence each M_i − A_i) is simply connected (Freedman & Stong) [3], (B) A is diffeomorphic to B_5 (Biˇzaca, Kirby) (but not, of course, preserving the structure of the h-cobordism), (C) A_0 ? I and A_1 ? I are diffeomorphic to B5 [9], (D) A_0 is diffeomorphic to A_1 by a diffeomorphism which, restricted to ∂A_0 = ∂A_1, is an involution [9]. Corollary: Any homotopy 4-sphere, \Sigma^4, can be constructed by cutting out a contractible 4-manifold, A_0 from S_4 and gluing it back in by an involution of ∂A_0.
-----------------------------------------------------------------------------New topologically slice knots
Stefan Friedl, Peter Teichner
Abstract In the early 1980?s Mike Freedman showed that all knots with trivial Alexander polynomial are topologically slice (with fundamental group Z). This paper contains the first new examples of topologically slice knots. In fact, we give a sufficient homological condition under which a knot is slice with fundamental group Z \times Z[1/2]. These two fundamental groups are known to be the only solvable ribbon groups. Our homological condition implies that the Alexander polynomial equals (t − 2)(t^{−1} − 2) but also contains information about the metabelian cover of the knot complement (since there are many non-slice knots with this Alexander polynomial).
Топологически срезанный узел - это узел, лежащий в S^3, который можно затянуть в D^4 несамопересекающимся диском. Тут можно поступить двояко : разобрать всё, поверив в точную последовательность хирургии, а можно изучить оную(например, по книжке Мандельбаума) - это, видимо, общеобязательная топологическая техника, совершившая революцию несколько десятилетий назад.
Курс рассчитан на 8-10 лекций. Его конечной целью является доказательство теоремы о том, что инварианты Васильева различают косы и гомотопически различают струнные зацепления. Основная ссылка — 4.
Программа
Литература
Цель курса — выучить современные методы рассчёта амплитуд рассеяния в теории Янга-Миллса, используя следующие обзоры
Примерный план первых лекций
Поскольку цель состоит в практическом овладении различными полезными приемами, курс будет лекционно-семинарский, т.е. с решениями конкретных задач у доски.
Первое занятие — 19 февраля в 18:00 ауд. 311
Время может меняться. Если кто-то из заинтересованных лиц не может в это время, пишите по адресу derkach@pdmi.ras.ru. Попробуем выбрать время таким образом, чтобы все желающие смогли присутствовать.
Организационные сведения на форуме.
В неком смутном виде давно известно, что между комплексами представлений алгебр Вирасоро или Каца-Муди на дополнительных уровнях (c и 26-с, в случае Вирасоро) существует соответствие. Цель данного курса — сформулировать это утверждение в виде теоремы об эквивалентности триангулированных категорий. Для этого нужны две серии определений: понятие контрамодуля (над коассоциативной коалгеброй, тейтовской алгеброй Ли, тейтовской парой Хариш-Чандры) и понятия экзотических производных категорий (копроизводных, контрапроизводных, полупроизводных). В свете этих определений, утверждение об эквивалентности экзотических производных категорий представлений на соответствующих уровнях становится немедленным следствием двух результатов: абстрактного гомологического принципа (комодульно-контрамодульного соответствия для полуалгебр) и теоремы об изоморфизме двух полуалгебр, связанных с тейтовской алгеброй Ли. Подробности доказательств этих теорем могут быть приведены или опущены по желанию аудитории в зависимости от продолжительности курса.
Желающих и заинтересованных просим писать на pifagorov@gmail.com и positselski@yandex.ru. Заявки принимаются со всей планеты. Для успеха сетевого курса нужно хотя бы два мотивированных заинтересованных слушателя.
Предварительные сведения:
Набросок плана:
Литература: Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. arXiv:0708.3398.
Курс посвящен определению того, что такое «теория гомотопий» в смысле достаточно общем для всевозможных приложений. Основным определением является определение модельной категории, аксиомы которой образуют список основных свойств топологических пространств, используемых в обычной теории гомотопий.
Понятие модельной категории возникло при попытке аксиоматизировать «теории гомотопий» возникающие при обобщении гомологической алгебры на произвольные неабелевы категории и обычную теорию гомотопий в алгебраической топологии.
Целью курса является ознакомление с техникой модельных категорий и тем как эта техника проявляет себя в конкретных примерах в алгебраической топологии, гомологической алгебре симплициальных множествах и т.д.
Изложение будет следовать книжкам Daniel G. Quillen «Homotopical algebra» и M. Hovey «Model categories».
Требуется знакомство с теорией категорий, началами алгебраической топологии и гомологической алгебры.
Семинар посвящен применению функциональных методов в квантовой механике и квантовой теории поля.
Запланировано 6 лекций с 25 мая до 6 июня. Слушатели должны знать квантовую механику. Общий материал курса.
В курсе лекций я сформулирую открытые математические задачи, важные для предмета. В конце будут экзамены для добровольцев. Однако студенты, не сдавшие экзамены, не смогут со мной обсуждать предмет после окончания курса лекций.
Речь пойдет о современных достижениях в нескольких классических задачах вариационного исчисления и геометрической теории меры:
Требуется знание основ общей теории меры. Желательно знание основ функционального анализа.
Детальный план курса:
Примечание: материал, помеченный курсивом, — если (как) получится или если будет нужно по ходу дела.
Литература:
Начало 16 марта 17:00, ауд. 106.
Планируется обсуждение книги Джета Неструева «Гладкие многообразия и наблюдаемые» и решение задач. На семинаре будет предложен необычный взгляд на гладкие многообразия. Мы попытаемся разобрать преимущества и недостатки нового подхода. Также слушатели узнают почему физическая лаборатория это коммутативная R-алгебра, научатся складывать килограммы и кельвины, вводить дифференциальное исчисление на конусе и кресте.
Данный семинар предназначен для начинающих математиков и физиков,для понимания достаточно знаний элементарных определений из общей алгебры.
Среди любых шести людей найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Это нехитрое утверждение знакомо многим с детства. Многим также известно его естественное обобщение, известное как теорема Рамсея: если покрасить все r-элементные подмножества (гиперребра) n-элементного множества в k цветов, то при достаточно большом n>R(r,k,N) в нем найдется N-элементное подмножество, все гиперребра которого одноцветны.
Менее известно, что идеи теории Рамсея проникли во многие (иной сказал бы, что во все) области математики. Упомянем знаменитые теоремы ван дер Вардена: при покраске натурального ряда в несколько цветов найдется арифметическая прогрессия одного цвета и Грэхема-Ротшильда: при покраске пространства достаточно большой размерности над данным конечным полем в данное число цветов найдется одноцветное аффинное подпространство данной размерности. Некоторым дочитавшим до этого места может быть приятно узнать, что обе сформулированные теоремы допускают одновременное обобщение на языке теории категорий.
Мы планируем сосредоточиться главным образом на применении рамсеевских методов в геометрии банаховых пространств. В частности, планируется разобрать теорему Розенталя о пространствах, содержащих l_1; результаты Гоуэрса-Мори о пространствах, не обладающих в некотором смысле никакой структурой и решение Гоуэрса проблемы Банаха о пространстве, изоморфном всем своим бесконечномерным подпространствам (да, оно обязательное гильбертово).
Начальные сведения общего характера, особенно по банаховым пространствам, приветствуются, но не обязательны.
Большое количество явлений может быть понято уже на классическом (квазиклассическом ) уровне. В данном курсе хотелось бы дать достаточно подробное изложение «классической теории поля», акцентировав внимание на геометрической интерпретации, используемых понятий, и конкретных физических приложениях в физике элементарных частиц и конденсированного состояния.
Программа
Справка по многообразиям и дифференциальным формам (pdf).
Литература:
Миникурс (4 лекции): 22,23,24,25 июня в 14:00 в 106 аудитории.
Предположительно будут затронуты следующие темы: теория асферичности клеточных комплексов, картинки в К-теории, размерные подгруппы, гомотопические группы сфер, трансфинитные ряды в группах, пределы по категориям расширений, производные функторы от неаддитивных функторов, неабелевы тензорные произведения и др. Будут разобраны алгебраические методы, позволяющие, к примеру, доказать существование 3-кручения в H_7SL(Z), отсутствие 3-кручения в \pi_{11}(S^2), посчитать маломерные гомотопические группы надстроек над классифицирующими пространствами некоторых групп.
Будет рассказано о новых проектах, открытых вопросах и гипотезах. Например. будут обсуждаться идеи, как искать контрпримеры к гипотезе делителей нуля в групповых кольцах, www.mi.ras.ru/~romanvm/zero-divisors.pdf
Многие вещи из планируемого написаны в R. Mikhailov, I.B.S. Passi: Lower central and dimension series of groups, Lecture Notes in Mathematics 1952, Springer (2008), 354p.