HYPERBOLIC VIRTUAL POLYTOPES
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Пусть K – гладкое выпуклое тело в трехмерном евклидовом пространстве. Если существует константа С, разделяющая (нестрого) главные кривизны в каждой точке поверхности K, то K – шар радиуса С.
Первый контрпример к гипотезе построен Yves Martinez-Maure (вот его статья на русском языке в переводе В.A. Александрова, вот рисунок к статье).
Одновременно с публикацией контрпримера вышла статья А.В. Погорелова, содержащая доказательство гипотезы. Заинтригованный очевидным противоречием, Виктор Александров предложил мне разобраться в ситуации.
Я разобралась, пользуясь при этом техникой виртуальных многогранников, разработанной А. Пухликовым и А. Хованским. При этом пришлось придумать гиперболические виртуальные многогранники, которым и посвящен этот сайт. Выяснилось, что прав Martinez-Maure – гипотеза не верна. Более того, оказалось, что существует множество разнообразных контрпримеров.
С другой стороны, метод Погорелова приводит к интересной теореме о дугах перегиба седловых сфер. о дугах перегиба седловых сфер.
С гиперболическими многогранниками связаны забавные трехмерные картинки. Первые картинки создала моя аспирантка Марина Князева, см. 3D gallery.
Кроме того, обнаружилась простая, но неожиданная связь с теорией псевдотриангуляций.