Дополнительные главы математики для нематематиков:
"Функции комплексного переменного"
д.ф.-м.н. Е.О. Степанов
(Курс Института Леонарда Эйлера совместно с Алферовским университетом)
Занятия по вторникам в 106 ауд., с 15.00 до 18.00. Начало 11.02
В рамках серии курсов, имеющих целью повышение математической грамотности нематематиков, прежде всего инженеров, физиков и программистов, предполагается изложить основы классической теории функций комплексного переменного и достаточно широкого набора ее приложений, в т.ч. в математическом анализе, геометрии и физике. Этот курс в настоящее время практически выпал из обязательной образовательной программы многих вузов, либо предельно сокращен. Наша цель в данном случае, как и во всей серии «Дополнительных глав для нематематиков» - постараться довести объем математических знаний и общую математическую культуру выпускников нематематических специальностей вузов до того, который считался нормальным 30-40 лет назад, и фактически является минимально необходимым для работы инженеров во многих высокотехнологических отраслях промышленности (скажем, в разработке сложного программного обеспечения, робототехнике, анализе больших данных).
Занятия могут быть полезны студентам 2-3 курсов нематематических специальностей. Вообще некоторые элементарные знания того, что такое комплексное число, и навыки работы с ними (на уровне простейших алгебраических операций) будут полезны, но подробно обсуждать, зачем собственно комплексные числа понадобились, мы будем в этом курсе.
Программа:
1. Комплексные числа: для чего они понадобились. Комплексная плоскость, сфера Римана, комплексная проективная прямая.
2. Евклидова плоскость и комплексные числа. Аналитическая геометрия на плоскости. Решение классических сложных задач евклидовой планиметрии (задача Ньютона, задача Гаусса, теорема Паскаля…) «Комплексное» описание множества плоских многоугольников.
3. Функции комплексного переменного. Непрерывность. Степенные ряды. Элементарные функции. Отображение областей. Отображения Мебиуса и производная Шварца. Двойное отношение. Профили Жуковского.
4. Голоморфные и целые функции: комплексная производная и дифференциал, условия Коши-Римана, ряды Тейлора. Конформность. Принцип максимума модуля. Теорема об открытом отображении. Конформные отображения. Теорема Римана. Гармонические функции. Теорема Лиувилля,
5. Контурные интегралы: интегральная теорема Коши, теорема Мореры, теорема о среднем, интегральная формула Коши. Вычеты дифференциальных форм.
6. Ряды Лорана. Особые точки. Теорема Сохоцкого. Мероморфные функции.
7. Логарифмические вычеты. Принцип аргумента (теорема о нулях и полюсах) и вращение двумерных векторных полей. Нули голоморфной функции. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
8. Лемма Шварца. Теорема Шварца-Пика. Гиперболическое расстояние и представление голоморфных автоморфизмов диска.
9. Решение задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона при помощи конформных отображений. Функции Грина.
10. Комплексный потенциал и функция тока. Обтекание плоских областей.
