Дополнительные главы алгебры

Константин Игоревич Пименов и Игорь Михайлович Зильберборд
проводят в весеннем семестре 2020 года
Кружок
'Дополнительные главы алгебры",

прежде всего рассчитанный студентов второго и первого курса ФМиКН СПбГУ, но открытый для всех желающих.
Желательно владение университетским курсом алгебры в объеме трех семестров, но будут учтены и интересы первокурсников.

Формат кружка --- лекции руководителей на перечисленные ниже темы, решение и разбор задач силами участников.
Работа участников кружка над некоторыми из этих тем может для кого-то из них продолжиться в курсовую работу.

Подробности и материалы по перечисленным ниже темам будут обновляться по указанной ссылке:
https://drive.google.com/open?id=1g23tmJtvdE7-X0qfR0vpxovswKMBq-rr

Первое полноценное занятие по теме N1 состоится в субботу, 22 февраля, начало в 13:00 в ауд. 303 на 14 линии 29.
Участникам кружка, которые не учатся в СПбГУ, желательно для прохода в здание захватить с собой паспорт.

Задачи по первой теме уже выложены в файле BinaryInvariant.pdf
по ссылке выше.

Каждой из тем будет посвящено в среднем 2 занятия.



1. Введение в классическую теорию инвариантов: 1. Что такое каталектикант, и для чего Давид Гильберт доказывал "теорему Гильберта о базисе"?
2. Приложения алгебры Ли sl_2 в комбинаторике: свойство Шпернеровости частично упорядоченных множеств и унимодальность некоторых последовательностей по Р.Стенли.
3. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике: как задаются образующими и соотношениями дискретные группы преобразований плоскости, сферы и плоскости Лобачевского.
4. Приложения полупростых представлений конечных групп, в том числе - в теории групп и теории вероятностей.
5. Гауссовы периоды, простые числа в арифметических прогрессиях и число точек на некоторых кубических кривых над конечным полем.
6. Что такое (дискретное) преобразование Фурье, и почему там вылезает минус: взгляд через группу Гейзенберга. Одно из приложений ДПФ --- тождества МакУильямс для весовых перечислителей кодов.
7. Теорема коммутативности Джекобсона: как из тождества x^n =x следует коммутативность кольца и как при этом применяются результаты структурной теории колец.


Все вопросы можно задать К.И.Пименову по электронной почте k.pimenov@spbu.ru

В программе занятия: 1. Разбор задачи про каталектикант силами студентов. 2. Графическое изображение инвариантов (тензорные диаграммы). 3. Дифференциальное уравнение на инварианты и связь группы SL_2(R) с соответствующей алгеброй Ли. 4. Полное описание инвариантов кубической бинарной формы и бинарной квартики.

29 мы перескочим на третью тему. Но до теоремы Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике мы не доберемся. Обсудим алгебраический подход к классификации орнаментов на плоскости, а именно: --- типы решеток (т.е. подгрупп изоморфных Z+Z, порожденных двумя векторами на евклидовой плоскости), --- чем похожа и чем отличается классификация конечных подгрупп в группе движений плоскости от классификации конечных подгрупп в GL_2(Q) и GL_2(Z). --- обсудим понятие фундаментальной области, и какой геометрический орбифолд получается для нескольких конкретных групп. Материал доступен школьникам, рекомендуется посмотреть картинки из Википедии, хотя часть я и принесу с собой: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group А также в главу 5 книжки для школьников Сергея Васильевича Дужина с соавтором "Transformation Groups for beginners". Разворот на с. 118-119 японского текста книги Дужина я распечатаю, основная задача -- разобраться с этой таблицей.

Домашнее задание по кристаллографическим группам на субботу, 7 марта. 1. Для кристаллографических групп $\Gamma$ с прямоугольной и ромбической решетками классифицировать те из них, для которых группа линейных частей $G=\Gamma/L$ изоморфна $D_2$. Полный текст см. в файле по ссылке. На занятии мы будем обсуждать, как геометрия фундаментальной области для кристаллографической группы определяет ее задание образующими и соотношениями. Первокурсникам рекомендуется ознакомиться с заданием образующими и соотношениями группы D_N симметрий правильного N-угольника.

Занятие 21 марта пропускаем в связи с карантином. 28 марта есть вероятность устроить занятие в ПОМИ, на Фонтанке 27. Тема: радикал Джекобсона кольца и теоремы коммутативности. Тема рассчитана на 2-3 занятия.

Занятие в субботу будет в 13-00 в онлайн-комнате 302, 675-315-555 Тема занятия внеплановая: ликбез по теории решеток: что такое дистрибутивные и модулярные решетки, свойства решетки подмодулей. Задача над которой все потом могут поломать голову (теорема Дедекинда): какое максимальное количество векторных пространств можно получить при помощи операций суммы и пересечения из трех данных? Очевидная задача, над которой вы можете подумать сейчас-— тот же вопрос для трех множеств и операции объединения и пересечения. В переводе на язык теории решеток —- нарисуйте диаграмму Хассе свободной дистрибутивной решетки, порожденной тремя элементами. -------------------------------------------------------------------- В конце я немного собираюсь поговорить про тему о Гауссовых периодах, чтобы кого-нибудь из вас вдохновит на доклад.

Занятие посвящено продолжению темы 2. Примеру применения теории представлений алгебры Ли sl_2 в комбинаторике. Следуя запискам Р.Стенли мы увидим, как базовая структурная теория позволяет доказывать Шпернеровость некоторых частично упорядоченных множеств.

17 апреля. Программа --- применения радикала Джекобсона в теории колец. Завершение доказательства теоремы коммутативности Джекобсона. Случай тела мы разберем по Херстейну. См. также книжку Лэма, утв. 13.9 в приложенном файле.

Посвящено классфикации конечных поддгрупп в группе вращений, группы движений трехмерного пространства и группы кватернионов по умножению. Рассмотрены базовые факты, относящиеся к бинарным группам многогранников.

Последнее занятие 25 апреля. Тема занятия: теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике и ее многомерные обобщения. Введение в классификацию двумерных орбифолдов.