Дополнительные главы алгебры

Константин Игоревич Пименов и Игорь Михайлович Зильберборд
проводят в весеннем семестре 2020 года
Кружок
'Дополнительные главы алгебры",

прежде всего рассчитанный студентов второго и первого курса ФМиКН СПбГУ, но открытый для всех желающих.
Желательно владение университетским курсом алгебры в объеме трех семестров, но будут учтены и интересы первокурсников.

Формат кружка --- лекции руководителей на перечисленные ниже темы, решение и разбор задач силами участников.
Работа участников кружка над некоторыми из этих тем может для кого-то из них продолжиться в курсовую работу.

Подробности и материалы по перечисленным ниже темам будут обновляться по указанной ссылке:
https://drive.google.com/open?id=1g23tmJtvdE7-X0qfR0vpxovswKMBq-rr

Первое полноценное занятие по теме N1 состоится в субботу, 22 февраля, начало в 13:00 в ауд. 303 на 14 линии 29.
Участникам кружка, которые не учатся в СПбГУ, желательно для прохода в здание захватить с собой паспорт.

Задачи по первой теме уже выложены в файле BinaryInvariant.pdf
по ссылке выше.

Каждой из тем будет посвящено в среднем 2 занятия.



1. Введение в классическую теорию инвариантов: 1. Что такое каталектикант, и для чего Давид Гильберт доказывал "теорему Гильберта о базисе"?
2. Приложения алгебры Ли sl_2 в комбинаторике: свойство Шпернеровости частично упорядоченных множеств и унимодальность некоторых последовательностей по Р.Стенли.
3. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике: как задаются образующими и соотношениями дискретные группы преобразований плоскости, сферы и плоскости Лобачевского.
4. Приложения полупростых представлений конечных групп, в том числе - в теории групп и теории вероятностей.
5. Гауссовы периоды, простые числа в арифметических прогрессиях и число точек на некоторых кубических кривых над конечным полем.
6. Что такое (дискретное) преобразование Фурье, и почему там вылезает минус: взгляд через группу Гейзенберга. Одно из приложений ДПФ --- тождества МакУильямс для весовых перечислителей кодов.
7. Теорема коммутативности Джекобсона: как из тождества x^n =x следует коммутативность кольца и как при этом применяются результаты структурной теории колец.


Все вопросы можно задать К.И.Пименову по электронной почте k.pimenov@spbu.ru

Домашнее задание по кристаллографическим группам на субботу, 7 марта. 1. Для кристаллографических групп $\Gamma$ с прямоугольной и ромбической решетками классифицировать те из них, для которых группа линейных частей $G=\Gamma/L$ изоморфна $D_2$. Полный текст см. в файле по ссылке. На занятии мы будем обсуждать, как геометрия фундаментальной области для кристаллографической группы определяет ее задание образующими и соотношениями. Первокурсникам рекомендуется ознакомиться с заданием образующими и соотношениями группы D_N симметрий правильного N-угольника.