| | "Предельные теоремы для потоков на поверхностях и преобразований Вершика" (миникурс)
А.И. Буфетов (МИАН)
Суббота 14.11.09 16:00 311
Воскресенье 15.11.09 16:00 311
Вторник 17.11.09 16.00 106
Петя нарисовал на листе бумаги в линейку правильный пятиугольник,
взял точку вне его и нарисовал еще один правильный пятиугольник, симметричный
исходному относительно выбранной точки.
Петя склеил два полученных пятиугольника по
параллельным сторонам. Все вершины заклеились
при этом в одну точку и получилась
компактная ориентированная поверхность рода два.
Если удалить вершину, то на проколотой
поверхности возникает плоская
структура, то есть атлас карт, функции перехода между которыми суть
параллельные
переносы. В вершине же плоская структура имеет коническую
особенность: угол в вершине равен трем развернутым.
Линейки Петиного тетрадного листа задают на проколотой
поверхности слоение, т.е., разбиение на прямые и
окружности. Курс будет посвящен эргодическим
свойствам слоений на плоских поверхностях.
Будем считать, что площадь нашей поверхности равна единице.
Как в 1982 г. доказали H. Masur и W.A.Veech, в общем положении листы таких
слоений (т.е., Петины линейки в нашем примере) равномерно распределены на
поверхности: каждый лист проводит в каждом открытом
множестве столько времени, какова площадь множества.
Другими словами, среднее любой непрерывной функции, вычисленное вдоль
растущих отрезков любого слоя, сходится к интегралу функции по поверхности.
Нас будет интересовать скорость этой сходимости, и мы выпишем
асимптотическое разложение для интегралов от гладких функций вдоль слоений
на плоских
поверхностях, а из асимптотического разложения
получим предельные теоремы для эргодических интегралов.
Главную роль в курсе будут играть методы символической
динамики, конкретно, специальные потоки над так называемыми
преобразованиями А.М.
Вершика (близкую конструкцию предложил
также S.Ito).
Все определения будут даны в курсе, и предварительных знаний от слушателей не
требуется никаких. В курсе будет много задач.
| |
