С. С. Подкорытов, "Теория гомологий".

Теория гомологий

начало в воскресенье 13 февраля в 14:30 ауд 311

Как доказать негомеоморфность евклидовых пространств разных
размерностей? Это делает теория гомологий - основа
алгебраической топологии, главное средство топологии
многообразий и вообще любой топологии. Знакомство с ней
необходимо не только топологам, но и всем, кто хочет иметь
дело с многообразиями: многим аналитикам, матфизикам,
геометрам, алгебраическим геометрам и физикам-теоретикам.
Знакомство с теорией гомологий полезно при изучении
гомологической алгебры, позволяя видеть геометрические образы
за её абстракциями. Алгебраическая топология широко
используется в современной алгебре и комбинаторике.

Программа курса

Сингулярные, симплициальные и клеточные гомологии.
Кольцо когомологий.
Двойственность Пуанкаре.
Применения: теорема Жордана, теоремы Брауэра и Лефшеца о
неподвижной точке, теорема Улама - Борсука.

Требования: знакомство с топологическими пространствами,
абелевыми группами и векторными пространствами.

Литература

A. Hatcher, Algebraic Topology
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

а также
А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии,
А. Дольд, Лекции по алгебраической топологии,
В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий

Кроме лекций, планируются занятия решением задач.
Задачи: http://www.pdmi.ras.ru/~ssp/ii.pdf

Определение сингулярных и симплициальных гомологий.

ВНИМАНИЕ! Занятия будут на 14 линии в д. 29.

Группа H_1 и фундаментальная группа.
Теорема о гомотопии.

Занятия будут на 14 линии в д. 29.

Барицентрицеское подразделение. Теорема о покрытии.
Точная последовательность Майера - Вьеториса.

Занятия на 14 линии в д. 29.

Сравнение симплициальных и сингулярных гомологий.
Гомологии с коэффициентами.
Эйлерова характеристика.

Занятия на 14 линии в д. 29.

Теорема Лефшеца о неподвижной точке.
Относительные гомологии. Теорема о вырезании.
Степень отображения между сферами.

Занятия на 14 линии в д. 29.

Теорема о степени.
Клеточные гомологии.
Гомологии вещественных и комплексных проективных пространств.

Занятия на 14 линии в д. 29.
ВНИМАНИЕ: переход на летнее время

Коэффициентная последовательность.
Теорема об универсальных коэффициентах для гомологий: случай группы без кручения.

ВНИМАНИЕ: занятия в ПОМИ

Теорема об универсальных коэффициентах для гомологий (общий случай).
Теорема Кюннета.

Занятия в ПОМИ (как обычно).

Теорема об ацикличных моделях.
Теорема Эйленберга - Зильбера.

Внешнее гомологическое умножение.
Когомологии.

Когомологии с коэффициентами в поле.
Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий.
Группа Брушлинского.

Отображение Александера - Уитни.
Внешнее когомологическое умножение. Теорема Кюннета для когомологий.
Внутреннее когомологическое умножение (cup-произведение).

Двойственность Пуанкаре.

Кольца когомологий проективных пространств.
Теорема Хопфа о размерностях алгебр с делением.
Индекс пересечения, кольцо Лефшеца.
Гомоморфизмы не в ту сторону.

Коэффициент зацепления. Вторичная двойственность.
Сигнатура.

Аддитивность Новикова.
Класс Эйлера.
КОНЕЦ