Лекции будут проходить по субботам в ПОМИ в аудитории 311, в 15.00. Коммуникация
будет происходить через
тг канал. Большая просьба
регистрироваться..
Пусть X гладкое алгебраическое многообразие над C. Как определить когомологии
соответствующего топологического пространства с коэффициентами в постоянном пучке
используя только структуру алгебраического многообразия, то есть не используя аналитическую
топологию? Или как определитькогомологии в харакеристике p обладающие тем свойством
что если многообразие допускает подъем в характеристику 0 его когомологии совпадают с
классическими? Эти вопросы возникли в связи с гипотезами Вейля и их когомологической
интерпретацией, и являлись вероятно одной из главных мотиваций развития алгебраической
геометрии Гротендиком и его школой. С наивной точки зрения, проблема в том что
чеховское вычисление когомологий возможно когда у нас в распоряжении имеются сколь
угодно малые открытые множества с тривиальными высшими когомологиями, что не так
для топологии Зарисского. В алгебраической ситуации чеховское вычисление приводит к
нулевому ответу, тк перечение любых двух открытых по Зарисскому множеств непусто.
Геометрический факт, лежащий в основе того что вычислить когомологии используя
только алгебраическую геометрию возможно, таков: на гладком алгебраическом многообразии
над C существуют сколь угодно малые окрестности Зарисского имеющие гомотопический
тип K(π,1) (пространств Эйленберга-Маклейна с нулевыми высшими гомотопическими
группами, первая гомотопическая группа которых некая ненулевая группа, разумеется
зависящая от окрестности). Тогда универсальные накрытия таких открытых окрестностей
стягиваемы, и понятие топологии Гротендика дает некоторый рецепт чеховского вычисления
когомологий, основанного на таких накрытиях, более общих чем просто открытые подмножества.
Эти стягиваемые универсальные накрытия топологически бесконечнолистны, но структура
алгебраического многообразия может быть только на конечных накрытиях. Это приводит
к томучторассматривается конечнолистная аппроксимация этих накрытий и как следствие
группа коэффициентов должнабыть кручением. Эта идея приводит к определению топологий
Гротендика и этальным когомологиям. Курс задуман как введение в предмет.
Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:
G.Tamme, Introduction to ´etale cohomology, Springer 1994
M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962 (это исторически первый и вероятно
самый понятный текст)
P.Deligne, ´ Etale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский
перевод)
Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии,
и самыми базовыми понятиями в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре. В
частности, не предполагается знакомство с понятием этального морфизма и тп.
Guest User