Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

---

Лекции будут проходить по субботам в ПОМИ в аудитории 311. Время уточняется . Коммуникация
будет происходить через тг канал. Большая просьба регистрироваться..

---

Мы продолжим изучение этальных когомологий, начатое в прошлом семестре.
В прошлом семестре мы обсуждали в основном общие вещи, относящиеся к топологиям Гротендика: когомологи пучков в топологии, спуск для плоской топологии, когомологии Чеха, спектральная последовательность Лере, эквивалентность топологий.

В этом семестре мы займемся собственно этальной топологией.

После напоминания основных свойств этальных морфизмов и их примеров, мы определим этальную фундаментальную группу. Мы покажем независимость этальной фундаментальной группы от выбора базовой геометрической точки, необходимой для ее определения, где геометрическая точка может быть связана как с замкнутой точкой многообразия, так и например с его общей точкой. В случае мноогобразия $X$ над $\mathbb{Q}$, этальная фундаментальная группа соответствующего многообразия $\bar{X}$ над $\bar{\mathbb{Q}}$ оказывается изоморфной проконечному пополнению обычной топологической фундаментальной группы комплексного многообразия $X_{\mathbb{C}}$, и при этом возникает короткая точная последовательность

из чего следует что каждое многообразие $X$ над $\mathbb{Q}$ задает действие группы Галуа $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ внешними автоморфизмами проконечного пополнения топологической фундаментальной группы. По существу каждый выбор выбор ``рациональной формы" $X$ данного комплексного многообразия $X_\mathbb{C}$ задает такое действие. Два связанных сюжета--теорема Белого и группа Гротендика-Тейхмюллера. Дальше мы вычислим этальные когомологии $spec(k)$ спектра поля (ответ дается непрерыным в смысле проконечной топологии аналогом когомологий групп $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$), и этальные когомологии гладких кривых над алгебраически замкнутым полем. Самым нетривиальным шагом вычисления для кривых является теорема Тцена, для чего нам потребуется группа Брауэра поля и ее когомологическая интерпретация: $\mathrm{Br}(K)=H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), \overline{K}^{\times})$. Наконец мы докажем теорему Артина обещанную в прошлом семестре, утверждающую что для гладкого комплексного многообразия $X$ над $\mathbb{C}$, и для конечного пучка кручения $F$ на $X$, этальные когомологии $H^\udot_{\et}(X,F)$ изоморфны когомологиям $X$ с коэффициентами в $F$ в классической аналитической топологии.

Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:

G.Tamme, Introduction to \'{e}tale cohomology, Springer 1994

M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962

P.Deligne, \'{E}tale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский перевод)

Ж.-П. Серр, Когомологии Галуа

J.P. Murre, Lectures on An Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group

H.W.Lenstra, Galois theory for schemes

Ph. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology

Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии, и самыми базовыми понятиями алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, а также некоторое знакомство с содержанием курса в прошлом семестре.

Локально представимые и достижимые категории.

---

Телеграм-группа семинара для объявлений и обсуждений: t.me/LPAC_PDMI.

Желающих участвовать просьба регистрироваться

---

Примерно так же, как в алгебраической топологии нас обычно интересуют "хорошие" пространства — например, топологические многобразия или клеточные комплексы, или же в алгебраической геометрии нам приятнее работать со схемами конечного типа над полем или целыми числами, так же и в "алгебраической теории категорий" можно определить класс хорошо описываемых категорий, которые ведут себя намного лучше произвольных. Тем не менее, этот класс покрывает большое количество встречающихся "в жизни" категорий. Например, категория множеств, категория групп, категория Delta-порождённых топологических пространств, категория Банаховых пространств, 1-категория категорий...

Этот класс — это класс локально представимых категорий. Для них верна, например, "наивная теорема о сопряжённом функторе": любой конепрерывный функтор между представимыми категориями является левым сопряженным. Они всегда имеют строгий функтор в Set. Неожиданным и приятным свойством является то, что любая такая категория является свободным пополнением малой категории относительно некоторого сорта копределов (двойственность Габриеля-Ульмера).

Можно ослабить условия на существование (ко)пределов, оставив требование быть свободным пополнением, и получить понятие достижимой категории, который включает в себя уже почти любую "описуемую" категорию, и замкнут относительно всех lax пределов; например, категории полей, линейных порядков, мономорфизмов в локально представимой, любые Каруби-полные малые категории...

Основные результаты и сюжеты, которые планируется обсудить:
1. Эквивалентность определений представимой категории.
2. Соответствие Габриеля-Ульмера.
3. Алгебраические теории, классы инъективности и лимит-скетчи как обобщения алгебраических теорий.
4. Достижимые категории, общие скетчи. Конкретность достижимых категорий, их (co)-well-poweredness.
5. Теоретико-множественные аспекты, принцип Вопенки, теоремы о наличии/отсутствии полных вложений в представимые категории.
6*. Теоретико-модельная интерпретация, инфинитарная логика как язык достижимых категорий.

Литература
Jiří Adámek, Jiří Rosický. Locally Presentable and Accessible Categories. doi:10.1017/CBO9780511600579
Michael Makkai, Robert Paré. Accessible Categories: The Foundations of Categorical Model Theory doi:10.2307/2275346

Необходимые преререквизиты — свободное обращение с (ко)пределами и сопряжёнными функторами на уровне определений и базовых свойств. Будем рады участию любителей логики и её категорных аспектов, ценителей теории представлений (планируется секция приложений к представлениям конечномерных алгебр), и просто всех заинтересованных в теории категорий студентов и математиков.
Формат проведения — лекции с конструкциями, определениями и формулировками теорем + семинар с разбором доказательств и решением упражнений.

Группа для объявлений и обсуждений: t.me/LPAC_PDMI

---

The organizational meeting will take place at 18:00 on Wednesday, March 4, in room 203 of the PDMI. The course's Telegram group is available at https://t.me/+CVvmd4GBvN4zNjBi
Interested participants are also asked to register on the website.

---

The goal of the lectures is to present Suslin’s celebrated rigidity theorem, its
application for the computation of the algebraic k-theory with finite coefficients for
algebraically closed fields and also some general properties of Jacobians required
for the proof.
Prerequisites:

Algebraic K-theory (e.g. localization and functoriality properties), and basic alge-
braic geometry.

References

[1] P. Griffiths and J. Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley Classics
Library. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994. Reprint of the 1978 original.

[2] S. Lang. Abelian varieties, volume No. 7 of Interscience Tracts in Pure and Ap-
plied Mathematics. Interscience Publishers, Inc., New York; Interscience Pub-
lishers Ltd., London, 1959.

[3] F. Lecomte. Rigidit ́e des groupes de Chow. Duke Math. J., 53(2):405–426, 1986.
[4] D. Mumford. Abelian varieties, volume 5 of Tata Institute of Fundamental
Research Studies in Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research,
Bombay; by Hindustan Book Agency, New Delhi, 2008. With appendices by C.
P. Ramanujam and Yuri Manin, Corrected reprint of the second (1974) edition.
[5] A. Suslin. On the K-theory of algebraically closed fields. Invent. Math.,
73(2):241–245, 1983.

С 21 февраля 2026 года возобновляет свою работу

Кружок по дополнительным главам алгебры

Под руководством доцента СПбГУ К. И. Пименова https://t.me/kip302002

:Желающих участвовать просьба регистрироваться

Мы будем в основном ориентироваться на первый и второй курс МКН (и опираться на его программу), но, разумеется, не против посещения кружка заинтересованными участниками любого возраста.
Формат кружка состоит в обсуждении нескольких независимых сюжетов, по 1-2 занятия на каждый, которые:
с одной стороны - дополняют общий курс алгебры;
с другой стороны дают возможность посмотреть на что-то в исторической перспективе.

С нами можно связаться также в группе ВКонтакте:

https://vk.com/club192456307

Материалы к занятиям (по которым можно при желании сделать доклад) будут размещаться в каталоге https://drive.google.com/drive/folders/1uWX3fur4HCfbQwLfUyXFY9alnNJrNI0h?usp=sharing

Предполагается, что занятия кружка будут проходить по субботам утром в ПОМИ, наб. реки Фонтанки, д. 27.

Первое занятие состоится 21 февраля с 11-30 до 13-30 в ауд. 306 ПОМИ и будет посвящено теме, под номером один в списке ниже.

Мы видим формат кружка как что-то промежуточное между лекцией и семинаром, не ставим целью на кружке доказывать общие теоремы, но точно хотим разбирать конкретные примеры, приложения и задачи. Желательно – с активным участием студентов.

Примерный список тем будет сформирован

после обсуждения на одном из первых занятий кружка

Каждая тема обычно занимает 1-2 занятия. Участники могут повлиять на выбор тем.

1. Арифметика квадратичных колец. Как работает “алгоритм Евклида” и что дает на выходе для, скажем, кольца Z[15], не являющегося даже ОГИ.

2. Расширения групп и 2-коциклы. Приложение к классификации орнаментальных групп.

3. Теорема о замкнутой подгруппе в матричной группе. Теорема Бибербаха о кристаллографических группах.

4. Корни из единицы и гауссовы периоды. Сколько точек на кривой x3+y3 =1 над конечным полем.

5. Теория перечисления Пойа и симметрические функции.

6. Umbral calculus по G.C.Rota: единый взгляд на несколько классических полиномиальных базисов.

7. Представления колчанов и теорема Дедекинда о трех подпространствах.

8. Дополнительные главы теории представлений: о проективных представлениях, коциклах и мультипликаторе Шура. Как понять, при каких p знакопеременная группа A5 содержится в PSL2(Fp).

9. Проективные плоскости и теорема фон Штаудта о координатизации абстрактной проективной плоскости. Почему теорема Паппа равносильна коммутативности умножения.

10. “Зверинец” классической теории инвариантов — дискриминант, каталектикант, Гессиан… — на что обычно не хватает времени в стандартном курсе полилинейной алгебры.

11. Почему в обратном преобразовании Фурье не обойтись без знака и как это связано с представлениями группы Гейзенберга и SL2.

---

Пятницы 18:00 ауд 203 ПОМИ. Первое организационное собрание 19 февраля. Желающих участвовать просьба регистрироваться.

---

Анонс. Оказывается в алгебраической геометрии имеется полный аналог теории накрытий
(из классической топологии). А именно, если Х связно, то имеется аналог фундаментальной
группы pi_1(X). Ниже пишем pi_et(X). Основной результат гласит.

Теорема 1 (Основная). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_et(X).

А что же имеется ввиду под накрытием Х? Курс начнется с ответа на этот вопрос для гладких
комплексноых алгебраическоих многообразий (связных = неприводимых). То есть работаем над полем С
и все многообразия гладкие. Для такого Х пишем Х(С) для Х, снабженного комплексной топологией.
Определение 1. Говорят, что X'--> X этален, если X'(C)--> X(C) - локальный гомеоморфизм.
Определение 2. Говорят, что этальный X'--> X конечен, если X'(C)--> X(C) - накрытие.

В этом случае автоматически прообраз любой точки х из Х - нульмерное алгебраическое многообразие.
поэтому это просто несколько точек (конечное число n(x)). И, кроме того, для всех х из Х число
n(x) одно и то же.
Определение 3. Говорят, что морфизм X'--> X - это накрытие Х, если X'--> X этальный и конечный.
Если X' еще и связно, то накрытие называется связным.

Теорема 2 (иллюстрация Основной). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_1(X(С)).

Эта теорема позволяет дать такое определение группы pi_et(X), упомянутой выше, но не определенной.
Определение 4 (в гладком комплексном случае). Определим pi_et(X) как проконечное пополнение группы pi_1(X).

Интересный Вопрос. Пусть Х - как в Теореме 2. Пусть фи: Y--> X(C) конечное связное накрытие (топологическое).
Найдется ли комплексное связное алгебраическое многообразие X' такое, что X'(С)=Y и отображение фи - это
морфизм алгебраических многообразий. Ответ: ДА!!!
Выведем это из теоремы 2. Накрытие (топологическое) Y/X(C) задает подгруппу конечного индекса Н в pi_1(X(С)).
По теореме 2 подгруппе Н соответствует связное накрытие X'--> X. Легко проверить, что Y=X'(С) и фи - это вточности
X'(С)--> X(С).

Рассматрим теперь многообразия ( гладкие и связные, нульмерные (!!!) ) над произвольным полем k.
Пусть характеристика поля k равна нулю и X=(Spec k, O_Spec k) - соответствующая аффинная схема.
Кратко пишем X=Spec k, подразумевая структурный пучок. В этом случае
а) группа pi_et(X) - это просто группа Галуа Gal(bar k/k);
б) Теорема 1 - это в точности основная теорема теории Галуа (!!!).

Еще пример вопроса (теоремы). Докажите сами.
Пусть X как в теореме 2, причем размерность Х равна 2. Пусть х - точка Х. Пусть Y=X-x и пусть
Y'-->Y связное накрытие Y. Докажите, что имеется накрытие фи:X'-->X такое, что накрытие
X'- прообраз точки х --> X-x это в точности накрытие Y'-->Y.
Т.е. каждое связное накрытие Y продолжается до связного накрытия Х.

Еще пример крайне полезного утверждения. Пусть фи:X'-->X накрытие и s:X--> s(X) - сечение фи.
Тогда X'=s(X) дизьюнктно Х". Т.е. s(X) - компонента связности X' относительно топологии Зариского.

ЦЕЛЬ КУРСА. Следуя А.Гротендику развить теорию этальных морфизмов в категории аффинных схем (аффинные для простоты изложения).
Определить понятия этального пучка абелевых групп, показать, что в категории таких пучков достаточно много иньективных.
Это позволит определить этальные когомологии с коэфициентами в таком пучке. Доказать, что для комплексого алгебраического
многообразия Х и топологического пространства Х(С)
Теорему (М.Артин). H^i_et(X,Z/nZ)=H^i(Х(С),Z/nZ), где справа стоят обычные когомологии топологического пространства Х(С).

Замечание. Курс расчитан на студентов, знакомых с основами алгебраической геометрии.

Литература. Altman A., KLeiman S. Introduction to Grothendieck duality theory. LNM 146, 1970

Из Альтмана и Кляймана будут необходимы ТОЛЬКО главы о классах морфизмов.
Двойственность в данном курсе мы проходить НЕ будем!!!

С. Ягунов

Пучки и когомологии в алгебраической геометрии. (весна 2026)

---

Первая лекция -- 10.02 19:00 в ПОМИ (311)
Телеграмм канал курса -- https://t.me/+qg7bPJLq4rw4Yjdi

---

В прошлом году мы остановились на доказательстве теоремы Римана-Роха для гладких кривых.
В этом семестре мы продолжим изучение теории схем, и начнем с обсуждения случаев малой размерности ---
кривых и поверхностей. Тем самым, мы, более не менее, завершим разбор книги Хартсхорна.

Ранее мы поговорили об основных понятиях современной алгебраической геометрии, таких, как алгебраические многообразия, схемы и пучки на них, а также немного о гротендиковском подходе к геометрии
--- способах задания топологий в алгебро-геометрическом контексте.

В этом семестре я планирую обсудить различные топологии.
Начав с топологии Зарисского,
мы постепенно перейдем к такому важному предмету, как этальные когомологии.
Возможно, мы также обсудим некоторые вычислительные аспекты, связанные с теорией пересечений на схемах.

В перспективе я планирую рассказать немного и о появившийся в последние десятилетия подходах к алгебраической геометрии,
использующих понятия мотивов и А^1-спектров, представляющих различные теории когомологий на схемах.

Данный курс является продолжением читанного в прошлых двух семестрах курса "Когомологии в алгебраической геометрии", а также,
в некотором более слабом смысле, курсов 2024 года "Пучки и их когомологии" и "Основы гомотопической алгебры", однако я буду рад видеть также
и слушателей, не посещавших этих курсов. При необходимости я собираюсь провести несколько дополнительных
лекций, на которых рассказать вкратце необходимый материал. Также (почти) все лекции этих курсов могет быть найдены
здесь https://yagunov.info/Courses/Courses.html

---

Отвественные: Акацевич Павел, Антон Халяпин и Александр Плахотников. По субботам в 12:00, 311 ауд. ПОМИ. Первое занятие 31.01.2026.
Просьба регистрироваться.

---

Цикл семинаров в двух частях посвящён римановой и спектральной геометриям, геометрическим эволюционным уравнениям, прежде всего потоку Риччи.

В рамках первой части рассматриваются основные понятия теории римановых многообразий, включая римановы метрики, аффинные и метрические связности, геодезические, тензоры кривизны и их алгебраические свойства, а также специальные классы метрик, в частности, метрики Эйнштейна. Существенное внимание уделяется теоремам сравнения в римановой геометрии и их геометрическим и топологическим следствиям.
Отдельный блок посвящён потоку Риччи, его аналитическим и геометрическим свойствам, солитонам Риччи и особенностям поведения потока на однородных многообразиях.

Во второй части мы обсудим различные техники анализа спектра оператора Лапласа—Бельтрами на многообразиях, в том числе:
спектральные теоремы/асимптотики/неравенства, изоспектральность, отображение Дирихле—Неймана и задачу Стеклова.

Конкретный набор тем и глубина их рассмотрения будут адаптированы под уровень подготовки и интересы участников.