Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

С. Ягунов

Модулярные формы и приложения III

---

Весной 2024 продолжается курс "Модулярные формы и приложения II"
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 20 сентября в ПОМИ (комната 311)
Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста здесь.
Сайты курса: yagunov.info/Modular/mindex4.html
https://indico.eimi.ru/category/97/
Телеграм канал: https://t.me/+-vqf-efH3yIzNzli

---

В первом семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций относительно полной модулярной группы SL_2(ℤ). Мы определили модулярные функции и формы, вычислили размерности их пространств, определили действующие в этих пространствах операторы Гекке (Hecke). Также обсуждались различные арифметические приложения, такие, например, как формулы для сумм степеней делителей чисел и функция Рамануджана.

Второй семестр был, в значительной степени, посвящен эллиптическим функциям и кривым. Мы ознакомились с различными подходами к теории эллиптических функций, научились считать рациональные точки на некоторых эллиптических кривых, определили их дзета-функции. Мы обсудили такие широко известные гипотезы, как гипотеза Хассе и Берча-Суиннертон-Дайера. Также, в качестве одного из хорошо известных арифметических приложений теории эллиптических кривых, мы обсуждали классическую задачу о конгруэнтных числах.

В этом семестре мы займемся развитием теории модулярных форм относительно конгруэнц-подгрупп. Постараемся рассказать немного о гипотезе Таниямы-Вейля (из которой следует, например, великая теорема Ферма) и о стратегии ее доказательства.

Однако, мы начнем семестр, как обычно, с обсуждения одного классического вопроса из арифметики. На сей раз, это будет проблема о представимости чисел суммами квадратов, и вычислении числа таких представлений. Ответы на эти вопросы мы извлечем из теории модулярных форм. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, приглашаются, также, заинтересованные слушатели, не участвовавшие в предыдущих семестрах.

И.А. Панин

Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика II

---

И.А. Панин

Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика

---

Лекции будут читаться в ПОМИ. Заинтересованных просьба зарегистрироваться На первом организационном занятии (на неделе 4 -- 8 августа) для спецкурса решится точный день и точное время. Все будет объявлено в рассылке зарегистрированным и на сайте физматклуба

---

Б.Б. Шойхет

Операды II

---

Курс Физматклуба - EIMI, весна 2024, ПОМИ, Zoom. Сайт курса на Indico. Желающих участвовать просьба: 1. Зарегистрироваться на Indico, 2. Подписываться на Телеграм-канал "Операды" для обсуждения расписания.

---

В прошлом семестре мы изучили некоторые основные вопросы связанные с операдами: основные определения и примеры, топологические операды $E_n$ и их цепные операды и гомологии, свободные операды и свободные резольвенты операд.
В этом семестре предполагается обсудить вопросы теории операд связанные с высшей теорией категорий и с теорией гомотопий. Один из основных сюжетов--$n$-операды Батанина, которые не операды в смысле первого семестра, так как арность в этих операдах не целое неотрицательное число, а уровневое дерево с $n$ уровнями. Мы рассмотрим два функтора--простой функтор {\it десимметризации} $\Des$ из симметрических операд в $n$-операды, и нетривиальный функтор {\it симметризации } $\Sym$ из $n$-операд в симметрические операды, левый сопряженный к $\Des$. Глубокая и нетривиальная теорема Батанина состоит в том что симметризация стягиваемой кофибрантной $n$-операды это операда имеющая гомотопический тип $E_n$. Значение этой теоремы в том что действиями стягиваемых $n$-операд можно описывать слабые $n$-категории.
Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. Я надеюсь рассказать его основные идеи.
Также мы рассмотрим приложения как это все работает: связь с описанием гомотопических свойств категории малых дг категорий (по работе Тамаркина What do dg categories form? и моему альтернативному подходу к той же задаче), с $n$-моноидальными категориями, и если получится с первыми главами трактата Гротендика Pursuing Stacks (последнее являлось изначальной мотивацией Батанина, и впоследствии было развито в работах Бергера и Цисински).
Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов, а также знакомство с курсом Операды читанном мной в первом семестре 2023/24 учебного года.
Литература: [1.] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer
[2.] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972
[3.] M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher operads
[4.] M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and compactification of real configuration spaces