Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

Крыжевич Сергей Геннадьевич (Gdansk Tech)

Основные пакеты программного обеспечения для решения математических задач

В понедельник 9-го сентября возобновляет свои встречи кружок любителей
арифметики. Мы собираемся в 18-00 в 306 комнате.
Если она будет занята, то в 319.
Сайт кружка https://indico.eimi.ru/category/107/
Информацию о том, чем мы занимаемся,
можно найти на моей домашней странице
http://www.pdmi.ras.ru/~smirnov/

двумерных сигма-моделей. Фундаментальное свойство теорий такого вида – это наличие таргетпространства, некоторого нетривиального многообразия. Поля в таких теориях оказываются отображениями простарнства-времени в таргет-пространство. С матфизической точки зрения, в сигма-моделях часто наблюдается ряд интересных эффектов. Например, структура их ультрафиолетовых особенностей во многом повторяет сложную структуру УФ особенностей четырехмерной теории Янга-Миллса. Это, в свою очередь, позволяет рассматривать сигма-модели как простой двумерный пример для изучения явления асимптотической свободы и других ренормализационных эффектов. Зачастую сигма модели оказываются интегрируемыми. Они представляют огромный полигон для демонстрации свойств интегрируемости в квантовой теории поля. Кроме того, сигма модели имеют многочисленные приложения в теории струн, а так же геометрии. Так же, сигма-модели часто встречаются в приложениях. Различные эффекты в двумерных системах в физике конденсированного состояния с хорошей точностью описываются сигмамоделями. Так же, сигма-модели часто являются эффективными низкоэнергетическими теориями в физике высоких энергий и их изучение помогает пролить свет на различные нетривиальные явления.
1. Первый месяц. Общее введение. Квантовая теория поля, функциональный интеграл, напоминание курса дифференциальной геометрии и топологии. Основные источники: [1–4].
2. Второй-третий месяц. Введение в сигма-модели и классические результаты. Мотивировки, основные примеры: линейная сигма-модель, главное киральное поле, O-модель. Основные результаты и эффекты: спонтанное нарушение симметрии, однопетлевая перенормировка, бетафункция, поток Риччи, разложение в пределе больших N.
механике и уравнениям матфизики. Желательно знание основ квантовой теории поля и дифференциальной геометрии, однако
весь основной материал будет кратко напомнен в ходе введения. Семинар предполагает работу и участие каждого присутствующего – доклады организуют

Определения многих важных математических понятий даются на двух уровнях:
локальном и глобальном. Обычно на локальном уровне рассматривают достаточно просто
устроенные объекты, такие как векторные пространства, сходящийеся ряды, кольца, и т.д., а почти вся сложность
глобального объекта задается правилами (данными склейки), по которым локальные объекты склеиваются в глобальный.
На этом пути возникают такие важные понятия, как векторное расслоение, аналитическое многообразие, схема ...
Сразу же оказывается, что свойства глобального объекта могут радикально не совпадать со свойствами
локальных. Так, например, хорошо известна теорема о "причесывании ежа": не существует нигде не обращающегося в ноль
непрерывного касательного векторного поля на двумерной сфере. Здесь локальными объектами являются касательные
пространства к сфере в каждой ее точке, которые, по отдельности, конечно, имеют большой запас ненулевых векторов. Эта теорема
неразрывно связана с топологическими свойствами пространства, на котором рассматривается векторное поле.
Так, например, аналогичное утверждение для трехмерной сферы оказывается уже неверным.

Теория пучков занимается аксиоматизацией и изучением общих свойств объектов, построенных таким путем.
При этом, сразу же обнаруживается, что "самый важный функтор" на категории
пучков -- функтор глобальных сечений, является точным лишь с одной стороны. Попытки понять, как работать с таким функтором,
приводят к необходимости построения теории когомологий пучков. С точки зрения этой теории, обычная гомологическая
алгебра оказывается, по сути, теорией, изучающей когомологии пучка над одноточечным пространством.

В современной математика пучки возникают почти на каждом шагу: алгебраическая геометрия, топология, математический анализ,
математическая физика и дифференциальные уравнения --- это далеко не полный перечень. Таким образом, владение методами
теории пучков позволяет не только лучше понимать различные разделы математики, но и видеть глубокие связи и взаимоотношения
между ними.

От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также
представление о гомологической алгебре.

Гомотопии и гомологии относятся, пожалуй, к числу наиболее часто упоминаемых
топологических инвариантов. Несколько неформально можно сказать, что гомологии
возникают, как "линеаризация" гомотопий. При этом, группы гомологий, обычно, вычисляются
значительно проще, чем группы гомотопий. Самый известный пример к этомы тезису, вероятно, сферы.

Понятие цепного комплекса, ключевого для вычисления групп гомологий, довольно быстро перешло в алгебру,
и привело к возникновению части математики, называемой ныне гомологической алгеброй.
Построение алгебраического аналога теории гомотопий оказалось несколько более сложной задачей.

В данном курсе мы постараемся рассказать о том, как же это происходило, и что, в итоге,
из всего этого вышло --- теория модельных категорий.

В последние десятилетия гомотопические матоды активно используются в самых различных областях математики,
включая, например, математическую логику и автоматическую верификацию теорем. Поэтому, понимание того, как
построить теорию гомотопий на уровне категорий, будет полезно для математиков самых разных направлений.

От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также
представление о гомологической алгебре.