Skip Main MenuSkip Calendar
Mon |
Tue |
Wed |
Thu |
Fri |
Sat |
Sun |
---|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
|
| |
С. Ягунов
Модулярные формы и приложения III
Весной 2024 продолжается курс "Модулярные формы и приложения II" Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 20 сентября в ПОМИ (комната 311) Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста здесь. Сайты курса: yagunov.info/Modular/mindex4.html https://indico.eimi.ru/category/97/ Телеграм канал: https://t.me/+-vqf-efH3yIzNzli
В первом семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций относительно полной модулярной группы SL_2(ℤ). Мы определили модулярные функции и формы, вычислили размерности их пространств, определили действующие в этих пространствах операторы Гекке (Hecke). Также обсуждались различные арифметические приложения, такие, например, как формулы для сумм степеней делителей чисел и функция Рамануджана.
Второй семестр был, в значительной степени, посвящен эллиптическим функциям и кривым. Мы ознакомились с различными подходами к теории эллиптических функций, научились считать рациональные точки на некоторых эллиптических кривых, определили их дзета-функции. Мы обсудили такие широко известные гипотезы, как гипотеза Хассе и Берча-Суиннертон-Дайера. Также, в качестве одного из хорошо известных арифметических приложений теории эллиптических кривых, мы обсуждали классическую задачу о конгруэнтных числах.
В этом семестре мы займемся развитием теории модулярных форм относительно конгруэнц-подгрупп. Постараемся рассказать немного о гипотезе Таниямы-Вейля (из которой следует, например, великая теорема Ферма) и о стратегии ее доказательства. Однако, мы начнем семестр, как обычно, с обсуждения одного классического вопроса из арифметики. На сей раз, это будет проблема о представимости чисел суммами квадратов, и вычислении числа таких представлений. Ответы на эти вопросы мы извлечем из теории модулярных форм. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, приглашаются, также, заинтересованные слушатели, не участвовавшие в предыдущих семестрах. |
|
И.А. Панин
Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика II
Курс продолжается в весеннем семестре 2024. Первое занятие в пятницу 16 февраля. Ауд. 203 ПОМИ 19.30.-- 21.30
И.А. Панин
Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика
Лекции будут читаться в ПОМИ. Заинтересованных просьба зарегистрироваться На первом организационном занятии (на неделе 4 -- 8 августа) для спецкурса решится точный день и точное время. Все будет объявлено в рассылке зарегистрированным и на сайте физматклуба
А.Гротендик определил группы К_0(Х) алгебраических ногообразий для того, чтобы сформулировать и доказать общую теорему Римана--Роха. Последняя является одним из ключевых вычислительных средств в алгебраической геометрии. Цель настоящего курса -- сформулировать и доказать указанную теорему в формулировке А.Гротендика. В работах А.Л.Смирнова и лектора была сформулирована и доказана еще более общая теорема такого типа: а именно, было введено общее понятие интегрирования на кольцевых теорих когомологий и доказали, что любое кольцевое преобразование теории phi: А --> В такое, что phi(класс Эйлера в А)=классу Эйлера в В, согласовано с интегрированиями на А и на В. Если теперь положить А=К_0, В=когомологии с рациональными коэффициентами, phi=ch (характер Черна), и сопрячь обычную ориентацию в когомологиях на род Тодда, то получится получится новая ориентация на когомологиях такая, ch(класс Эйлера в К_0)=новый класс Эйлера в когомологиях. Поэтому характер Черна согласован с обычным интегрированием (прямыми образами) на К_0 и с новым интегрированием (прямыми образами) на когомологиях. Расшифровка поледнего утверждения совпадает с теоремой Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика. Подчеркнем, что в упомянутых работах А.Л.Смирнова и лектора был раскрыт и внутренний смысл знаменателя Рода Тодда: теории А отвечает формальный групповой закон F_A над А(точки), теории В закон F_B над В(точки). Преобразованию phi отвечает морфизм Phi(t) из закона F_B в расширенный от А(точки) до В(точки) закон F_A. Род Тодда td(phi) равен по определению формальному ряду t/Phi(t). Частным случаем и является классический род Тодда t/(1-exp(-t)).
Пререквизиты.
Предполагается знание обычных когомологий и немного теории когерентных пучков. С последними можно познакомиться, например, по статье Бореля и Серра или по Хартсхорну или по брошюре Львовского (МЦНМО). Также предполагается знакомство с комплексными алгебраическими многообразиями. Данный курс расчитан на студентов 3-го, 4-го курсов, на магистрантов и аспирантов. |
|
Б.Б. Шойхет
Операды II
Курс Физматклуба - EIMI, весна 2024, ПОМИ, Zoom. Сайт курса на Indico. Желающих участвовать просьба: 1. Зарегистрироваться на Indico, 2. Подписываться на Телеграм-канал "Операды" для обсуждения расписания.
В прошлом семестре мы изучили некоторые основные вопросы связанные с операдами: основные определения и примеры, топологические операды $E_n$ и их цепные операды и гомологии, свободные операды и свободные резольвенты операд. В этом семестре предполагается обсудить вопросы теории операд связанные с высшей теорией категорий и с теорией гомотопий. Один из основных сюжетов--$n$-операды Батанина, которые не операды в смысле первого семестра, так как арность в этих операдах не целое неотрицательное число, а уровневое дерево с $n$ уровнями. Мы рассмотрим два функтора--простой функтор {\it десимметризации} $\Des$ из симметрических операд в $n$-операды, и нетривиальный функтор {\it симметризации } $\Sym$ из $n$-операд в симметрические операды, левый сопряженный к $\Des$. Глубокая и нетривиальная теорема Батанина состоит в том что симметризация стягиваемой кофибрантной $n$-операды это операда имеющая гомотопический тип $E_n$. Значение этой теоремы в том что действиями стягиваемых $n$-операд можно описывать слабые $n$-категории. Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. Я надеюсь рассказать его основные идеи. Также мы рассмотрим приложения как это все работает: связь с описанием гомотопических свойств категории малых дг категорий (по работе Тамаркина What do dg categories form? и моему альтернативному подходу к той же задаче), с $n$-моноидальными категориями, и если получится с первыми главами трактата Гротендика Pursuing Stacks (последнее являлось изначальной мотивацией Батанина, и впоследствии было развито в работах Бергера и Цисински). Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов, а также знакомство с курсом Операды читанном мной в первом семестре 2023/24 учебного года. Литература: [1.] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer [2.] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972 [3.] M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher operads [4.] M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and compactification of real configuration spaces |
|
В ПОМИ работает "Кружок любителей арифметики" под руководством Александра Леонидовича Смирнова. Кружок неформальный но очень серьезный. Серьезно готовых участвовать просьба писать Александру Леонидовичу. Вот страничка кружка https://indico.eimi.ru/category/107/
Обращение Александра Леонидовича:
Здравствуйте, друзья! Это обращение к петербургским любителям арифметики. Я трепещу всякий раз, когда сталкиваюсь с ее неповторимой красотой. Есть ли в вас это? Сердце подскажет. Теория чисел и арифметика – одно и то же. Но не всё, что про числа, интересует нас. Проблема Гольдбаха не к нам (простые числа нужно умножать, а не складывать), а теорема Ферма к нам. Аналитическая теория чисел не к нам, а гипотеза Римана к нам. Как полюбить арифметику? Никак, но можно попробовать. Например, прочесть мемуар Эйлера в «Математике и правдоподобных рассуждениях». Слова Манина «не мы выбираем математику ... , а она нас» – еще больше относятся к арифметике. Любитель не тот, кто мало знает, а тот, кто любит предмет. Среди профи немало любителей. В Математическом институте на Фонтанке собирается кружок любителей арифметики. Мы никуда не торопимся, за чаем обсуждаем разные вещи, причем не только арифметику, докладов обычно не бывает. К нам можно присоединиться. Много знаний сразу не требуется. Но на голом интересе далеко не уедешь. Серьезность намерений нужно подтверждать. There are two kinds of amateurs, my friend... Наш идеал – любители с широким взглядом на математику (например, Шафаревич). Вот то, что нужно освоить для перехода к серьезным вещам: теория Галуа (Ленг, часть «Теория полей» в «Алгебре»); ТФКП (Гурвиц, «Теория функций»); алгебраическая геометрия (Хартсхорн, задачи там есть). По арифметике: «Основы теории чисел» Виноградова (хороша набором задач); «Теория чисел» и Шафаревича (хороша задачами и виденьем Шафаревича). Наш ориентир – «Введение в современную теорию чисел» Манина и Панчишкина. Нет доказательств, но много объяснений. Освоить весь материал почти невозможно, но нужно к этому стремиться. Нас интересуют детские рисунки, теорема Ферма, дзета функции Хассе–Вейля, гипотеза Рамануджана и многое другое. Будем рады школьникам, студентам, более старшим участникам. Пишите. Всего доброго! Александр Леонидович Смирнов smirnov@pdmi.ras.ru
|
| |