Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

---

Пятницы 18:00 ауд 203 ПОМИ. Первое организационное собрание 19 февраля. Желающих участвовать просьба регистрироваться.

---

Анонс. Оказывается в алгебраической геометрии имеется полный аналог теории накрытий
(из классической топологии). А именно, если Х связно, то имеется аналог фундаментальной
группы pi_1(X). Ниже пишем pi_et(X). Основной результат гласит.

Теорема 1 (Основная). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_et(X).

А что же имеется ввиду под накрытием Х? Курс начнется с ответа на этот вопрос для гладких
комплексноых алгебраическоих многообразий (связных = неприводимых). То есть работаем над полем С
и все многообразия гладкие. Для такого Х пишем Х(С) для Х, снабженного комплексной топологией.
Определение 1. Говорят, что X'--> X этален, если X'(C)--> X(C) - локальный гомеоморфизм.
Определение 2. Говорят, что этальный X'--> X конечен, если X'(C)--> X(C) - накрытие.

В этом случае автоматически прообраз любой точки х из Х - нульмерное алгебраическое многообразие.
поэтому это просто несколько точек (конечное число n(x)). И, кроме того, для всех х из Х число
n(x) одно и то же.
Определение 3. Говорят, что морфизм X'--> X - это накрытие Х, если X'--> X этальный и конечный.
Если X' еще и связно, то накрытие называется связным.

Теорема 2 (иллюстрация Основной). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_1(X(С)).

Эта теорема позволяет дать такое определение группы pi_et(X), упомянутой выше, но не определенной.
Определение 4 (в гладком комплексном случае). Определим pi_et(X) как проконечное пополнение группы pi_1(X).

Интересный Вопрос. Пусть Х - как в Теореме 2. Пусть фи: Y--> X(C) конечное связное накрытие (топологическое).
Найдется ли комплексное связное алгебраическое многообразие X' такое, что X'(С)=Y и отображение фи - это
морфизм алгебраических многообразий. Ответ: ДА!!!
Выведем это из теоремы 2. Накрытие (топологическое) Y/X(C) задает подгруппу конечного индекса Н в pi_1(X(С)).
По теореме 2 подгруппе Н соответствует связное накрытие X'--> X. Легко проверить, что Y=X'(С) и фи - это вточности
X'(С)--> X(С).

Рассматрим теперь многообразия ( гладкие и связные, нульмерные (!!!) ) над произвольным полем k.
Пусть характеристика поля k равна нулю и X=(Spec k, O_Spec k) - соответствующая аффинная схема.
Кратко пишем X=Spec k, подразумевая структурный пучок. В этом случае
а) группа pi_et(X) - это просто группа Галуа Gal(bar k/k);
б) Теорема 1 - это в точности основная теорема теории Галуа (!!!).

Еще пример вопроса (теоремы). Докажите сами.
Пусть X как в теореме 2, причем размерность Х равна 2. Пусть х - точка Х. Пусть Y=X-x и пусть
Y'-->Y связное накрытие Y. Докажите, что имеется накрытие фи:X'-->X такое, что накрытие
X'- прообраз точки х --> X-x это в точности накрытие Y'-->Y.
Т.е. каждое связное накрытие Y продолжается до связного накрытия Х.

Еще пример крайне полезного утверждения. Пусть фи:X'-->X накрытие и s:X--> s(X) - сечение фи.
Тогда X'=s(X) дизьюнктно Х". Т.е. s(X) - компонента связности X' относительно топологии Зариского.

ЦЕЛЬ КУРСА. Следуя А.Гротендику развить теорию этальных морфизмов в категории аффинных схем (аффинные для простоты изложения).
Определить понятия этального пучка абелевых групп, показать, что в категории таких пучков достаточно много иньективных.
Это позволит определить этальные когомологии с коэфициентами в таком пучке. Доказать, что для комплексого алгебраического
многообразия Х и топологического пространства Х(С)
Теорему (М.Артин). H^i_et(X,Z/nZ)=H^i(Х(С),Z/nZ), где справа стоят обычные когомологии топологического пространства Х(С).

Замечание. Курс расчитан на студентов, знакомых с основами алгебраической геометрии.

Литература. Altman A., KLeiman S. Introduction to Grothendieck duality theory. LNM 146, 1970

Из Альтмана и Кляймана будут необходимы ТОЛЬКО главы о классах морфизмов.
Двойственность в данном курсе мы проходить НЕ будем!!!

С. Ягунов

Пучки и когомологии в алгебраической геометрии. (весна 2026)

---

Первая лекция -- 10.02 19:00 в ПОМИ (311)
Телеграмм канал курса -- https://t.me/+qg7bPJLq4rw4Yjdi

---

В прошлом году мы остановились на доказательстве теоремы Римана-Роха для гладких кривых.
В этом семестре мы продолжим изучение теории схем, и начнем с обсуждения случаев малой размерности ---
кривых и поверхностей. Тем самым, мы, более не менее, завершим разбор книги Хартсхорна.

Ранее мы поговорили об основных понятиях современной алгебраической геометрии, таких, как алгебраические многообразия, схемы и пучки на них, а также немного о гротендиковском подходе к геометрии
--- способах задания топологий в алгебро-геометрическом контексте.

В этом семестре я планирую обсудить различные топологии.
Начав с топологии Зарисского,
мы постепенно перейдем к такому важному предмету, как этальные когомологии.
Возможно, мы также обсудим некоторые вычислительные аспекты, связанные с теорией пересечений на схемах.

В перспективе я планирую рассказать немного и о появившийся в последние десятилетия подходах к алгебраической геометрии,
использующих понятия мотивов и А^1-спектров, представляющих различные теории когомологий на схемах.

Данный курс является продолжением читанного в прошлых двух семестрах курса "Когомологии в алгебраической геометрии", а также,
в некотором более слабом смысле, курсов 2024 года "Пучки и их когомологии" и "Основы гомотопической алгебры", однако я буду рад видеть также
и слушателей, не посещавших этих курсов. При необходимости я собираюсь провести несколько дополнительных
лекций, на которых рассказать вкратце необходимый материал. Также (почти) все лекции этих курсов могет быть найдены
здесь https://yagunov.info/Courses/Courses.html

---

Отвественные: Акацевич Павел, Антон Халяпин и Александр Плахотников. По субботам в 12:00, 311 ауд. ПОМИ. Первое занятие 31.01.2026.
Просьба регистрироваться.

---

Цикл семинаров в двух частях посвящён римановой и спектральной геометриям, геометрическим эволюционным уравнениям, прежде всего потоку Риччи.

В рамках первой части рассматриваются основные понятия теории римановых многообразий, включая римановы метрики, аффинные и метрические связности, геодезические, тензоры кривизны и их алгебраические свойства, а также специальные классы метрик, в частности, метрики Эйнштейна. Существенное внимание уделяется теоремам сравнения в римановой геометрии и их геометрическим и топологическим следствиям.
Отдельный блок посвящён потоку Риччи, его аналитическим и геометрическим свойствам, солитонам Риччи и особенностям поведения потока на однородных многообразиях.

Во второй части мы обсудим различные техники анализа спектра оператора Лапласа—Бельтрами на многообразиях, в том числе:
спектральные теоремы/асимптотики/неравенства, изоспектральность, отображение Дирихле—Неймана и задачу Стеклова.

Конкретный набор тем и глубина их рассмотрения будут адаптированы под уровень подготовки и интересы участников.

---

Лекции будут проходить по субботам в ПОМИ в аудитории 311, в 15.00. Коммуникация
будет происходить через тг канал. Большая просьба регистрироваться..

---

Пусть X гладкое алгебраическое многообразие над C. Как определить когомологии
соответствующего топологического пространства с коэффициентами в постоянном пучке
используя только структуру алгебраического многообразия, то есть не используя аналитическую
топологию? Или как определитькогомологии в харакеристике p обладающие тем свойством
что если многообразие допускает подъем в характеристику 0 его когомологии совпадают с
классическими? Эти вопросы возникли в связи с гипотезами Вейля и их когомологической
интерпретацией, и являлись вероятно одной из главных мотиваций развития алгебраической
геометрии Гротендиком и его школой. С наивной точки зрения, проблема в том что
чеховское вычисление когомологий возможно когда у нас в распоряжении имеются сколь
угодно малые открытые множества с тривиальными высшими когомологиями, что не так
для топологии Зарисского. В алгебраической ситуации чеховское вычисление приводит к
нулевому ответу, тк перечение любых двух открытых по Зарисскому множеств непусто.
Геометрический факт, лежащий в основе того что вычислить когомологии используя
только алгебраическую геометрию возможно, таков: на гладком алгебраическом многообразии
над C существуют сколь угодно малые окрестности Зарисского имеющие гомотопический
тип K(π,1) (пространств Эйленберга-Маклейна с нулевыми высшими гомотопическими
группами, первая гомотопическая группа которых некая ненулевая группа, разумеется
зависящая от окрестности). Тогда универсальные накрытия таких открытых окрестностей
стягиваемы, и понятие топологии Гротендика дает некоторый рецепт чеховского вычисления
когомологий, основанного на таких накрытиях, более общих чем просто открытые подмножества.
Эти стягиваемые универсальные накрытия топологически бесконечнолистны, но структура
алгебраического многообразия может быть только на конечных накрытиях. Это приводит
к томучторассматривается конечнолистная аппроксимация этих накрытий и как следствие
группа коэффициентов должнабыть кручением. Эта идея приводит к определению топологий
Гротендика и этальным когомологиям. Курс задуман как введение в предмет.

Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:

G.Tamme, Introduction to ´etale cohomology, Springer 1994

M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962 (это исторически первый и вероятно
самый понятный текст)

P.Deligne, ´ Etale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский
перевод)

Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии,
и самыми базовыми понятиями в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре. В
частности, не предполагается знакомство с понятием этального морфизма и тп.