Физико-математический клуб при ПОМИ и СПбГУ

В прошлом семестре мы разобрали некоторые сюжеты, так или иначе связанные с распетливанием и алгебраической К-теорией: -пространства Сигала, групповое пополнение несвязных топологических моноидов, плюс-конструкцию Квиллена и Q-конструкцию. Это приводит к нескольким определениям высшей алгебраитческой K-теориии.

В этом семестре планируется углубиться в эту тематику. Мы разберем совпадение определений K-теории через плюс- и Q-конструкции и докажем фундаментальные теоремы Квиллена. Также мы обсудим К-теорию Вальдхаузена и ее связь с Q-конструкцией, что открывает новые возможности, связанные с использованием слабых эквивалентностей. Планируется такжеобсудить отдельные более явные сюжеты, такие как K2 от поля, некоторые вычисления высших K-групп, и связи с алгебраической геометрией. Очень желательно некоторое знакомство с тем что было в прошлом семестре.

Литература:

Quillen, Higher Algebraic K-theory, LNM 341

Grayson, Higher Algebraic K-theory II (after Quillen)

Милнор, Введение в алгебраическую К-теорию Srinivas, Algebraic K-theory

Цель курса - познакомить слушателей с красивейшей теорией, теорией схем Гротендика, теорией, преобразившей алгебраическую геометрию. Пред схема, подобно всём геометрическими объектам с дополнительной структурой - это топологическое пространство Х, снабжённое пучком колец O. Их характерное свойство - наличие такого открытого покрытия {U_i} , что {U_i, O ограниченный на U_i} - это одна из стандартных предсхем вида Spec A, где А - коммуникативное кольцо с единицей. Категория аффинных схем (схем типа Spec A) эквивалентна категории коммутативных колец с единицей (с обращёнными стрелками). В категории предсхем всегда есть расслоенные произведения, причём расслоенное произведение Spec A и Spec B над Spec C это Spec (A tensor B), tensor над С. Наличие расслоенного произведения позволяет делать такие операции, как расширить скаляры от поля k до поля К, определить понятие схемного слоя морфизма f: X --> Y над точкой y из Y, определить понятие групповой пред схемы Х над S. В частности, для S =Spec (Bbb Z) ввести классические групповые схемы над Вb Z: GL_n, SL_n, PGL_n, O_n, SO_n, Sp_2n Определить проективное пространство P^n над S и описать всё морфизмы (над S) из S- пред схемы X в P^n_S. Проективное пространство над S это схема типа Proj (R), где R - градуированное коммутативное кольцо. Частными случаями этой конструкции являются Грассманианы (над S), раздутия схемы вдоль замкнутой под схемы и ... . Содержательная теория схем невозможна без обсуждения когерентных пучков и их когомологий. Курс будет следовать 3-м книгам:

[1] Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности (лекции 3--11)

[2] Ю. И. Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы.

[3] Р. Хартсторн. Алгебраическая геометрия

Сайт курса.

В осеннем семестре 2025 года планируется продолжить изучение основ квантовой теории поля. В рамках основной программы будут рассмотрены такие понятия, как расходимость, регуляризация, сингулярность и перенормировка. Особое внимание будет уделено анализу конкретных примеров с проведением детальных вычислений.

Занятия планируется начать с октября. Семинары будут проводиться в офлайн-формате в ПОМИ РАН. День недели будет согласовываться с участниками для удобства. За дополнительной информацией и вопросами обращайтесь по электронной почте regul1@mail.ru. Также вы можете запросить ссылку на Telegram-канал.