| | |
В понедельник 9-го сентября возобновляет свои встречи кружок любителей арифметики. Мы собираемся в 18-00 в 306 комнате. Если она будет занята, то в 319. Сайт кружка https://indico.eimi.ru/category/107/ Информацию о том, чем мы занимаемся, можно найти на моей домашней странице http://www.pdmi.ras.ru/~smirnov/ |
| |
Начало в воскресенье 15 сентябрв в 311 ауд. ПОМИ
Аннтоация
Студенческий семинар посвящен изучению специального класса квантовых теорий поля – двумерных сигма-моделей. Фундаментальное свойство теорий такого вида – это наличие таргетпространства, некоторого нетривиального многообразия. Поля в таких теориях оказываются отображениями простарнства-времени в таргет-пространство. С матфизической точки зрения, в сигма-моделях часто наблюдается ряд интересных эффектов. Например, структура их ультрафиолетовых особенностей во многом повторяет сложную структуру УФ особенностей четырехмерной теории Янга-Миллса. Это, в свою очередь, позволяет рассматривать сигма-модели как простой двумерный пример для изучения явления асимптотической свободы и других ренормализационных эффектов. Зачастую сигма модели оказываются интегрируемыми. Они представляют огромный полигон для демонстрации свойств интегрируемости в квантовой теории поля. Кроме того, сигма модели имеют многочисленные приложения в теории струн, а так же геометрии. Так же, сигма-модели часто встречаются в приложениях. Различные эффекты в двумерных системах в физике конденсированного состояния с хорошей точностью описываются сигмамоделями. Так же, сигма-модели часто являются эффективными низкоэнергетическими теориями в физике высоких энергий и их изучение помогает пролить свет на различные нетривиальные явления.
План семинара
Планируется устраивать два двухчасовых заседания в неделю. Конкретные дни предполагается выбрать после консультаций с участниками. 1. Первый месяц. Общее введение. Квантовая теория поля, функциональный интеграл, напоминание курса дифференциальной геометрии и топологии. Основные источники: [1–4]. 2. Второй-третий месяц. Введение в сигма-модели и классические результаты. Мотивировки, основные примеры: линейная сигма-модель, главное киральное поле, O  -модель. Основные результаты и эффекты: спонтанное нарушение симметрии, однопетлевая перенормировка, бетафункция, поток Риччи, разложение в пределе больших N.
3. Остальное время. Продвинутые сюжеты.
• Интегрируемость в сигма-моделях. Модель WZNW и другие примеры.
• Инстантонная точка в сигма-моделях: торические сигма-модели, сигма-модель как логарифмическая CFT.
Пререквизиты
Требуется базовое знание основ теорфизики и математики: курсы по теории поля, квантовой механике и уравнениям матфизики. Желательно знание основ квантовой теории поля и дифференциальной геометрии, однако весь основной материал будет кратко напомнен в ходе введения. Семинар предполагает работу и участие каждого присутствующего – доклады организуют
сами участники семинара. Кроме того темы докладов и разбираемые сюжеты могут быть скорректированы в соответствии с пожеланиями участников.
Список литературы
[1] Т. П. Ченг and Л. Ф. Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. Рипол Классик.
[2] Ashok Das. Field Theory: A Path Integral Approach. WORLD SCIENTIFIC, 2 edition.
[3] Mark J. D. Hamilton. Mathematical Gauge Theory: With Applications to the Standard Model of Particle Physics. Springer.
[4] Mikio Nakahara. Geometry, Topology and Physics, Second Edition. CRC Press.
|
| |
Пучки и их когомологии.
Первая лекция во вторник 10.09 в 19:00 в ПОМИ (ауд. 311)
Определения многих важных математических понятий даются на двух уровнях: локальном и глобальном. Обычно на локальном уровне рассматривают достаточно просто устроенные объекты, такие как векторные пространства, сходящийеся ряды, кольца, и т.д., а почти вся сложность глобального объекта задается правилами (данными склейки), по которым локальные объекты склеиваются в глобальный. На этом пути возникают такие важные понятия, как векторное расслоение, аналитическое многообразие, схема ... Сразу же оказывается, что свойства глобального объекта могут радикально не совпадать со свойствами локальных. Так, например, хорошо известна теорема о "причесывании ежа": не существует нигде не обращающегося в ноль непрерывного касательного векторного поля на двумерной сфере. Здесь локальными объектами являются касательные пространства к сфере в каждой ее точке, которые, по отдельности, конечно, имеют большой запас ненулевых векторов. Эта теорема неразрывно связана с топологическими свойствами пространства, на котором рассматривается векторное поле. Так, например, аналогичное утверждение для трехмерной сферы оказывается уже неверным. Теория пучков занимается аксиоматизацией и изучением общих свойств объектов, построенных таким путем. При этом, сразу же обнаруживается, что "самый важный функтор" на категории пучков -- функтор глобальных сечений, является точным лишь с одной стороны. Попытки понять, как работать с таким функтором, приводят к необходимости построения теории когомологий пучков. С точки зрения этой теории, обычная гомологическая алгебра оказывается, по сути, теорией, изучающей когомологии пучка над одноточечным пространством. В современной математика пучки возникают почти на каждом шагу: алгебраическая геометрия, топология, математический анализ, математическая физика и дифференциальные уравнения --- это далеко не полный перечень. Таким образом, владение методами теории пучков позволяет не только лучше понимать различные разделы математики, но и видеть глубокие связи и взаимоотношения между ними. От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также представление о гомологической алгебре. |
| |
Введение в гомотопическую алгебру.
Предположительно (не окончательно) первая лекция в четверг 12.09 в 19:00 в ПОМИ (311)
Гомотопии и гомологии относятся, пожалуй, к числу наиболее часто упоминаемых топологических инвариантов. Несколько неформально можно сказать, что гомологии возникают, как "линеаризация" гомотопий. При этом, группы гомологий, обычно, вычисляются значительно проще, чем группы гомотопий. Самый известный пример к этомы тезису, вероятно, сферы. Понятие цепного комплекса, ключевого для вычисления групп гомологий, довольно быстро перешло в алгебру, и привело к возникновению части математики, называемой ныне гомологической алгеброй. Построение алгебраического аналога теории гомотопий оказалось несколько более сложной задачей. В данном курсе мы постараемся рассказать о том, как же это происходило, и что, в итоге, из всего этого вышло --- теория модельных категорий. В последние десятилетия гомотопические матоды активно используются в самых различных областях математики, включая, например, математическую логику и автоматическую верификацию теорем. Поэтому, понимание того, как построить теорию гомотопий на уровне категорий, будет полезно для математиков самых разных направлений. От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также представление о гомологической алгебре. |
| |
Алгебра и теория гомотопий
Предположительно (не окончательно) начало в субботу 14 сентября в 14:00 в 311 ауд ПОМИ
Мы обсудим различные сюжеты связанные с алгебраическим описанием гомотопического типа $n$-кратных пространств петель. Мы начнем с изложения работы Мэя [2] в которой дается характеризация $n$-кратных пространств петель в терминах действия операды маленьких дисков $E_n$. Более того, строится явное распетливание, то есть пространство $Y$ такое что данное пространство $X$ с действием операды $E_n$ и некоторым условием на $\pi_0$ слабо гомотопически эквилентно $n$-кратному пространству петель $\Omega^n(Y)$, с помощью монадной бар-конструкции. Далее планируется обсудить подход Сигала к той же задаче через $\Gamma$-пространства, групповое пополнение, и доказательство Сигала теоремы Барратта-Придди-Квиллена. А также категоризацию распетливания Сигала по Томасону. Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов. Некоторое знакомство с элементарной теорией категорий будет полезно. Предварительных знаний теории операд не предполагается. \vspace{ 2mm} Литература: [1] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer [2] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972 [3] Дж.Адамс, Бесконечнократные пространства петель [4] G.Segal, Categories and cohomology theories, Topology 13 (1974) |
| |
И.А. Панин начинает курс "Алгебраическая геометрия I"
Первое орг занятие будет
В четверг 5-го сентября
В 18.00
В поми, к. 203
Фонтанка 27
Анонс.
Мы будем сначала работать над алгебраически замкнутым полем k, например над полем С. Будут определены аффинные алгебраические
многообразия, алгебраические многообразия и морфизмы между ними.
Построим произведение алгебраических многообразий.
Далее рассмотрим классы проективных и квази-проективных, аффинных и квази-аффинных многообразий. Рассмотрим конструкции Мах:=Specm и Proj. Первая описывает все аффинные,вторая—все проективные многообразия. Рассмотрим примеры: Р^n, гиперповерхности в Р^n, квадрика, Грассмановы многообразия и т.д. Докажем, что образ проективного проективен.
Определим понятие размерности, неприводимости, разложим каждое многообразие на неприводимость компоненты (однозначно). Определим касательное пространство в точке, дадим определения гладкости в точке и
гладкости многообразия. Докажем лемму Нетер о нормализации, теорему о размерности слоев и научимся «считать параметры».
Докажем, гладких неприводимых кривых над k столько, сколько расширений
K/k вида K > k(t)>k таких, что K конечно над k(t). Покажем, что каждый непостоянный морфизм между такими кривыми — это разветвленное накрытие.
Докажем формулу Гурвица (если k=C) и выведем следствия.
Введём понятие алгебраического векторного расслоения. Если его база Х аффинна, то докажем, что пространство Sect его сечений над Х — это локально свободный С[Х]-модуль.
Дадим конструкцию раздутия гладкого многообразия в точке (в замкнутом гладком подмногообразии). Докажем, что гладкая квадрика в Р^3 — это
произведение Р^1 на себя, что гладкая кубика в Р^3 - это Р^2 с шестью раздутыми точками. Отсюда увидим, что на такой кубике лежит ровно 27 прямых.
Далее поле k станет не замкнутым (R, Q, конечное поле, C(t), … ). Определим аффинные и произвольные алгебраические многообразия над таким k. Определим морфизмы между ними. Разберём примеры, чтобы развить интуицию о многообразиях над таким полем k.
Одна из целей курса — подвести слушателей к теории схем Гротендика. Последних пока не будет. Но, мы будем систематически использовать язык,
который позже плавно приведёт к схемам Гротендика.
Списка литературы пока нет, но появится. Предполагается знание полей, колец
(коммутативных), модулей, идеалов. Знакомство с с понятиями топологического пространства и непрерывного отображения. Буду пояснять по ходу курса, что ещё надо почитать (с чем познакомиться) самостоятельно.
Курс рассчитан на вдумчивых студентов 2-го курса и старше. |
| |
